Resolución de ecuaciones que presentan propiedades inversas de suma y multiplicación

Aquí resolverás ecuaciones que presentan las propiedades inversas de suma y multiplicación.

La banda de la Escuela Floyd es excelente y es muy respetada en la comunidad. Cada año, la banda crece y los estudiantes que participan hacen un gran compromiso con las prácticas, los juegos de fútbol y los desfiles.

Cuando los estudiantes se reúnen para su primera práctica, la señora Kline, la directora de la banda, reúne a todos para darles unos anuncios.

“Marcharemos in el gran desfile de este año nuevamente”, dijo con una sonrisa de oreja a oreja.

“Estoy tan feliz”, dijo Keri apoyándose en Anica. “Esperaba que lo hiciéramos”.

“También incorporaremos cuatro nuevos estudiantes este año. Empezamos con 140 y sumaremos cuatro. Esto significa que necesitamos rehacer nuestra formación para el gran final. Necesitamos reorganizar la banda en ocho filas iguales. Veamos cómo se verá esto. Por favor, saquen un papel y un lápiz”, dijo la señora Kline volviéndose a la pizarra.

“Puedo calcular el número de estudiantes en cada fila con una ecuación”, dijo Anica sonriendo.

“Sí y no olviden contar a Jake, como el tambor Mayor al frente”, añadió Keri.

¿Sabes cómo debe verse esta ecuación? Conocemos la suma de los estudiantes, un Tambor Mayor y sabemos que necesitamos ocho filas iguales. Como dijo Anica, necesitaremos una ecuación para calcular el número de estudiantes en cada fila. Esta sección te enseñará todo lo que necesitas saber acerca de las ecuaciones, así sabrás como resolver este ejercicio al final.

Orientación

¿Qué sabes de las ecuaciones?

Una ecuación es un enunciado con un signo de igualdad donde la cantidad en un lado de la igualdad es la misma que la cantidad en el otro lado de la igualdad.

Aquí hay una ecuación simple.

$x+11=15$

Aquí tenemos una ecuación con una variable donde $x$ es la cantidad desconocida. Para resolver esto, lo usual es realizar una operación inversa u operación opuesta . Restamos once de 15 y obtenemos 4. Ese es el valor de la variable.

La mayoría de las veces, ni siquiera piensas en realizar una operación inversa, tu mente de forma automática resuelve el problema de esta forma.

Cuando tienes una ecuación con una variable, se llama ecuación de un solo paso. Solo se necesita una operación o una operación inversa para resolverla. Has tenido mucha práctica resolviendo ecuaciones de un solo paso.

Para resolver ecuaciones de dos pasos, necesitaremos usar más de una operación inversa.

Observemos cómo resolver una ecuación de dos pasos.

Cuando realizamos operaciones inversas para encontrar el valor de una variable, trabajamos para obtener la variable sola en un lado de las igualdades. Esto se llama despejar la variable. Es una estrategia para resolver ecuaciones. Puedes despejar la variable si estas resolviendo ecuaciones tanto de un paso como de dos pasos.

Aquí hay una ecuación de dos pasos.

Encuentra el valor de $a$ : $3a + 12 = 45$ en.

Podemos denominar cada parte de la ecuación un término . Hay un término con una variable y hay un término sin una variable. Observa que hay dos términos en el lado izquierdo de la ecuación: $3a$ y 12.

El primer paso es usar las operaciones inversas para obtener el término que incluye una variable, $3a$ , por el mismo en un lado del signo de igualdad (=). Debido a que el tres está conectado a la variable, realizamos la otra operación inversa primero. Trabajamos con el número conectado con la variable después.

En la ecuación, 12 se añade a $3a$ . . Entonces, podemos usar la inversa de adición (sustracción). Podemos sustraer 12 de ambos lados de la ecuación.

Veamos qué sucede cuando sustraemos 12 de ambos lados de la ecuación.

$3a + 12 & = 45\\\3a + 12 - 12 & = 45 - 12\\\3a + 0 & = 33\\\3a & = 33$

Ahora, el término que incluye una variable, $3a$ , está por sí mismo en un lado de la ecuación.

Ahora podemos usar las operaciones inversas para dejar $a$ sola. Ya que $3a$ equivale a $3 \times a$ , podemos usar la inversa de multiplicación (división). Podemos dividir ambos lados de la ecuación por 3. Veamos qué ocurre cuando dividimos ambos lados de la ecuación por 3.

$3a & = 33\\\\frac{3a}{3} & = \frac{33}{3}\\\1a & = 11\\\a & = 11$

El valor de $a$ es 11.

Revisemos nuestros pasos para resolver esta ecuación de dos pasos.

Tómate unos minutos para escribir estos pasos en tu cuaderno.

Ejemplo A

$4x + 5 = 29$

Solución: $x = 6$

Ejemplo B

$3y + 7 = 43$

Solución: $y = 12$

Ejemplo C

$6x + 8 = 71$

Solución: $x = 9$

Ahora regresemos al problema del inicio de la sección.

Primero, observemos la información dada.

Hay 144 estudiantes en la banda.

También hay un Tambor Mayor.

Necesitamos organizar a los estudiantes en ocho filas iguales.

Aquí está nuestra ecuación.

$8x=144$

Ahora te estarás preguntando por qué no incluimos al Tambor Mayor. Bueno, como señaló Keri, el Tambor Mayor está al frente. En este caso, no se cuenta a Jake en la ecuación porque no está en las filas.

Aquí, tenemos una ecuación de un solo paso. Ahora, podemos resolver la ecuación.

$x=18 \ students$

Habrá 18 estudiantes en cada fila.

Vocabulario

Ecuación: enunciado matemático con un signo de igualdad donde la cantidad en un lado de la ecuación es igual a la cantidad en el otro lado.

Variable: letra usada para representar una cantidad desconocida.

Ecuación Algebraica: ecuación con al menos una variable en ella.

Ecuación de un solo paso: ecuación algebraica con una operación en ella.

Ecuación de dos pasos: ecuación algebraica con dos operaciones en ella.

Práctica Guiada

Aquí hay una ecuación para que intentes hacerla por ti mismo.

Un jardinero cobra $20 por cada trabajo más $15 por cada hora trabajada. Cobró $80 por un trabajo que hizo ayer.

a. Escribe una ecuación algebraica para representar $h$ , , la cantidad de horas que trabajó el jardinero para cobrar $80.

b. Encuentra la cantidad de horas que el jardinero trabajó para cobrar $80.

Solución

Considera el paso a primero.

Usa un número, un signo operatorio, una variable o un signo de igualdad para representar cada parte del problema. El jardinero ganó $15 por cada hora que trabajó, entonces puedes multiplicar $15 por $h$ , el número de horas trabajadas, para encontrar cuánto dinero cobró el jardinero por sus horas de trabajo.

$& \underline{\$ 20} \ for \ each \ gardening \ job \ \underline{plus} \ \underline{\$15 \ for \ each \ hour} \ worked \ldots \underline{charged} \ \underline{\$80} \ for \ one \ldots job.\\\& \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \downarrow\\\& 20 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ + \qquad \qquad \quad 15h \qquad \qquad \qquad \qquad = \quad \ 80$

Entonces, esta ecuación, $20 + 15h = 80$ , representa $h$ , el número de horas que trabajó el jardinero para cobrar $80.

Ahora, considera el paso b .

Resuelve la ecuación para encontrar el número de horas que se demoró el jardinero en realizar ese trabajo.

Ya que 20 se añade al término que incluye una variable, $15h$ , podemos usar la inversa de suma (sustracción). Podemos sustraer 20 de ambos lados de la ecuación, como a continuación:

$20 + 15h & = 80\\\20 - 20 + 15h & = 80 - 20\\\0 + 15h & = 60\\\15h & = 60$

Ya que 15 se multiplica por la variable, $h$ , podemos usar la inversa multiplicación (división). Podemos dividir ambos lados por 15 para calcular $h$ , como acá:

$15h & = 60\\\\frac{15h}{15} & = \frac{60}{15}\\\1h & = 4\\\h & = 4$

El jardinero trabajó cuatro horas en el trabajo que hizo ayer.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Two-Step Equations

Practica

Instrucciones: Resuelve las siguientes ecuaciones de dos pasos que tienen adición y multiplicación en ellas.

$3x + 4 = 22$
$4y + 3 = 15$
$6x + 5 = 35$
$7x + 2 = 16$
$9y + 8 = 80$
$12x + 15 = 51$
$14y + 2 = 30$
$7y + 5 = 40$
$2x + 4 = 48$
$6x + 3 = 39$
$8x + 2 = 10$
$8x + 7 = 95$
$9x + 9 = 90$
$3x + 5 = 50$
$7x + 12 = 61$