Resolución de ecuaciones que presentan propiedades inversas de adición y división

Aquí, resolverás ecuaciones que presentan las propiedades inversas de la adición y la división.

Jessica y Casey trabajaron en una panadería durante las vacaciones. Un día, a Casey le pidieron que dividiera varias libras de harina. Dividió la cantidad que le dieron en tres. Entonces, añadió cuatro libras más a una de las porciones.

A Jessica le dieron la porción más grande. Si Jessica recibió 8 libras de harina, ¿Con cuántas libras de harina empezó Casey?

¿Sabes cómo resolver este problema? Para resolverlo, necesitarás escribir y resolver una ecuación de dos pasos. Pon atención a esta sección y sabrás cómo resolverlo al final de esta.

Orientación

Aprenderás cómo resolver ecuaciones de dos pasos. Comencemos.

Para resolver una ecuación de dos pasos, necesitaremos usar más de una operación inversa. Ahora, veamos cómo resolver una ecuación de dos pasos. Cuando realizamos operaciones inversas para encontrar el valor de una variable, trabajamos para obtener la variable por sí sola en un lado de la igualdad. Esto se llama despejar la variable. Es una estrategia para resolver ecuaciones. Podemos despejar la variable si vamos a resolver ecuaciones de un paso o de dos.

Encuentra el valor de $c$ en: $5 + \frac{c}{4} = 15$ .

Observa que hay dos términos en lado izquierdo de la ecuación, 5 y $\frac{c}{4}$ .

El primer paso es usar las operaciones inversas para obtener el término que incluye una variable, $\frac{c}{4}$ , por sí sola en un lado del signo de igualdad (=).

En la ecuación, 5 se suma a $\frac{c}{4}$ . Entonces, podemos usar la inversa de adición (sustracción). Podemos sustraer 5 de ambos lados de la ecuación.

$5 + \frac{c}{4} & = 15\\\5 - 5 + \frac{c}{4} & = 15 - 5\\\0 + \frac{c}{4} & = 10\\\\frac{c}{4} & = 10$

Ahora, el término que incluye una variable, $\frac{c}{4}$ , está por sí sola en un lado de la ecuación.

Ahora, podemos usar las operaciones inversas para obtener la $c$ por sí sola. Ya que $\frac{c}{4}$ es lo mismo que $c \div 4$ , podemos usar la inversa de división (multiplicación). Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 4.

$\frac{c}{4} & = 10\\\\frac{c}{4} \times 4 & = 10 \times 4\\\\frac{c}{4} \times \frac{4}{1} & = 40$

El número 4, o $\frac{4}{1}$ , es el inverso multiplicativo , o recíproco , de $\frac{1}{4}$ . Puedes encontrar el inverso multiplicativo de un número dando vuelta su numerador y su denominador. Entonces, el inverso multiplicativo de $\frac{4}{1}$ es $\frac{1}{4}$ . Cuando un número se multiplica por su inverso multiplicativo, el producto es 1.

$\frac{c}{4} \times \frac{4}{1} & = 40\\\c \times \left ( \frac{1}{4} \times \frac{4}{1} \right ) & = 40\\\c \times 1 & = 40\\\c & = 40$

El trabajo anterior muestra cómo el multiplicar cada lado de la ecuación por 4 aísla la variable.

Ya que 4 es el inverso multiplicativo o recíproco de $\frac{1}{4}$ , pudimos también haber resuelto este problema eliminando los 4 como se muestra:

$\frac{c}{\bcancel{4}} \times \frac{\bcancel{4}}{1} & = 40\\\\frac{c}{1} & = 40\\\c & = 40$

La respuesta es que $c$ es igual a 40.

Revisemos nuestros pasos para resolver esta ecuación de dos pasos.

Tómate un par de minutos para escribir estos pasos en tu cuaderno.

Ejemplo A

$\frac{x}{5} + 6 = 10$

Solución: $x = 20$

Ejemplo B

$\frac{x}{9} + 12 = 28$

Solución: $x = 144$

Ejemplo C

$\frac{x}{11} + 12 = 18$

Solución: $x = 66$

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Piensa sobre lo que conocemos. Sabemos que Casey dividió las libras de harina en tres, pero no sabemos con cuántas libras comenzó, entonces esta es nuestra variable.

$\frac{x}{3}$

Luego, sabemos que Casey añadió cuatro libras a una de las porciones.

$\frac{x}{3} + 4$

Jessica terminó con 8 libras.

$\frac{x}{3} + 4 = 8$

Ahora podemos resolver la ecuación. Comienza sustrayendo cuatro de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{3} + 4 - 4 = 8 - 4$

$\frac{x}{3} = 4$

Luego, usa la inversa de la división, la multiplicación y multiplica tres veces cuatro.

$x = 12$

Casey comenzó con doce libras de harina.

Vocabulario

Ecuación: enunciado matemático con un signo de igualdad donde la cantidad de uno de los lados de la ecuación es igual a la cantidad en el otro lado.

Variable: letra usada para representar una cantidad desconocida.

Ecuación Algebraica: ecuación con al menos una variable en ella.

Ecuación de un solo paso: ecuación algebraica con una operación en ella.

Ecuación de dos pasos: ecuación algebraica con dos operaciones en ella.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

$\frac{y}{19} + 6 = 10$

Solución

Primero, tenemos que sustraer 6 de cada lado de la ecuación.

$\frac{y}{19} = 10 - 6$

$\frac{y}{19} = 4$

Ahora podemos multiplicar 19 por 4. Esto nos dará el valor de $y$ .

$(19)(4) = 76$

$y = 76$

Esta es nuestra solución.

Revisa este Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información (requiere conexión a internet)

Solving Two-Step Equations

Practica

Instrucciones: resuelve las siguientes ecuaciones de dos pasos que tienen adición y división en ellas.

$\frac{x}{3} + 4 = 8$
$\frac{x}{5} + 8 = 10$
$\frac{a}{6} + 7 = 13$
$\frac{a}{9} + 4 = 30$
$\frac{b}{8} + 6 = 15$
$\frac{c}{12} + 9 = 18$
$\frac{x}{7} + 7 = 21$
$\frac{x}{11} + 5 = 12$
$\frac{x}{12} + 9 = 16$
$\frac{a}{14} + 6 = 8$
$\frac{x}{22} + 9 = 12$
$\frac{y}{2} + 14 = 18$
$\frac{x}{7} + 24 = 38$
$\frac{x}{8} + 15 = 30$
$\frac{x}{9} + 11 = 28$

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