Resolución de ecuaciones que presentan propiedades inversas de sustracción y división

Aquí resolverás ecuaciones que presentan propiedades inversas de sustracción y división.

¿Alguna vez resolviste un problema acerca de papel de regalo? Observa este.

Brandon y Felicia vendieron rollos de papel de regalo para una recaudación de fondos de la escuela. Brandon vendió 3 rollos menos que la mitad de rollos que vendió Felicia. Brandon vendió un total de 9 rollos de papel de regalo.

Escribe una ecuación algébrica para representar $f$ , el número de rollos de papel de regalo que vendió Felicia. Luego, encuentra el número de rollos de papel que vendió Felicia.

¿Sabes cómo resolver este problema? Observa que habrá dos partes para tu respuesta. Pon atención a esta sección y sabrás cómo resolver este problema.

Orientación

Vas a aprender cómo resolver ecuaciones de dos pasos con sustracción y división. Comencemos.

Para resolver una ecuación de dos pasos, necesitaremos usar más de una operación inversa. Ahora, veamos cómo resolver una ecuación de dos pasos. Cuando realizamos operaciones inversas para encontrar el valor de una variable, trabajamos para obtener la variable por sí sola en un lado de las igualdades. Esto se llama despejar la variable. Es una estrategia para resolver ecuaciones. Puedes despejar la variante para resolver ecuaciones de uno o dos pasos.

Encuentra el valor de $z$ en: $\frac{z}{6} - 7 = 3$ .

Observa que hay dos términos en el lado izquierdo de la ecuación, $\frac{z}{6}$ y 7. El primer paso debe ser usar las operaciones inversas para dejar el término que incluye una variable, $\frac{z}{6}$ , aislado a un lado del signo de igualdad (=).

En la ecuación, se sustrae 7 de $\frac{z}{6}$ . Entonces, podemos usar la inversa sustracción (adición). Podemos añadir 7 en ambos lados de la ecuación, como se muestra a continuación:

$\frac{z}{6} - 7 & = 3\\\\frac{z}{6} - 7 + 7 & = 3 + 7\\\\frac{z}{6} + (-7 + 7) & = 10\\\\frac{z}{6} + 0 & = 10\\\\frac{z}{6} &= 10$

Ahora, el término que incluye una variable, $\frac{z}{6}$ , está aislado a un lado de la ecuación.

Ahora podemos usar las operaciones inversas para obtener $z$ por sí sola. Ya que $\frac{z}{6}$ es lo mismo que $z \div 6$ , podemos usar la inversa de división (multiplicación). Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 6, como se muestra a continuación:

$\frac{z}{6} &= 10\\\\frac{z}{6} \times 6 & = 10 \times 6\\\\frac{z}{\bcancel{6}} \times \frac{\bcancel{6}}{1} & = 60\\\\frac{z}{1} & = 60\\\z & = 60$

El valor de $z$ es 60.

Revisemos nuestros pasos para resolver esta ecuación de dos pasos.

Tómate unos minutos para escribir estos pasos en tu cuaderno.

Ejemplo A

$\frac{x}{3} - 8 = 9$

Solución: $x = 51$

Ejemplo B

$\frac{y}{7} - 2 = 13$

Solución: $y = 105$

Ejemplo C

$\frac{a}{7} - 2 = 12$

Solución: $a = 98$

Ahora, volvamos al problema del inicio de esta sección.

Primero, considera la parte a .

Utiliza un número, un signo de operación, una variable o un signo de igualdad para representar cada parte del problema. Ya que Brandon vendió 9 rollos de papel de regalo, representa el número de rollos que Brandon vendió con un 9. Usa las palabras claves de la guía para transcribir el resto del problema en una oración. Por ejemplo, puedes transcribir “la mitad del número de rollos que vendió Felicia” como $\frac{f}{2}$ .

$& \underline{Brandon} \ \underline{sold} \ \underline{3} \ \underline{less \ than} \ \underline{half \ the \ number \ldots \ Felicia \ sold.}\\\& \quad \ \downarrow \qquad \ \downarrow \quad \ \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \quad \swarrow\\\& \quad \ \downarrow \qquad \ \downarrow \quad \ \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \quad \swarrow\\\& \quad \ \downarrow \qquad \ \downarrow \quad \ \swarrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \quad \searrow\\\& \quad \ \ 9 \qquad = \ \ \frac{f}{2} \qquad - \qquad \qquad \quad 3$

Entonces, en esta ecuación, $9 = \frac{f}{2} - 3$ , representa $f$ , el número de rollos de papel de regalo que Felicia vendió.

Luego, considera la parte b .

Calcula la ecuación $f$ para encontrar el número de rollos que Felicia vendió.

El primer paso debe ser usar las operaciones inversas para obtener el término que incluye una variable, $\frac{f}{2}$ , por sí sola en un lado del signo de igualdad (=). En la ecuación, 3 se resta de $\frac{f}{2}$ . Entonces, podemos usar la inversa de la sustracción y añadir 3 a ambos lados de la ecuación, como se muestra a continuación:

$9 &= \frac{f}{2}-3\\\9 + 3 & = \frac{f}{2} - 3 + 3\\\12 & = \frac{f}{2} + (-3 + 3)\\\12 & = \frac{f}{2} + 0\\\12 & = \frac{f}{2}$

Ahora, el término que incluye una variable, $\frac{f}{2}$ , está por sí solo en un lado de la ecuación.

Ahora podemos usar las operaciones inversas para obtener la $f$ por sí misma. Ya que $\frac{f}{2}$ es lo mismo que $f \div 2$ , podemos usar la inversa de la división y multiplicar ambos lados de la ecuación por 2, como se muestra a continuación:

$12 &= \frac{f}{2}\\\12 \times 2 & = \frac{f}{2} \times 2\\\24 & = \frac{f}{\bcancel{2}} \times \frac{\bcancel{2}}{1}\\\24 & = \frac{f}{1}\\\24 & = f$

El valor de $f$ es 24, entonces Felicia vendió 24 rollos de papel de regalo para la recaudación de fondos.

Vocabulario

Ecuación: enunciado matemático con un signo de igualdad donde la cantidad de uno de los lados de la ecuación es igual a la cantidad en el otro lado.

Variable: letra usada para representar una cantidad desconocida.

Ecuación Algebraica: ecuación con al menos una variable en ella.

Ecuación de un solo paso: ecuación algebraica con una operación en ella.

Ecuación de dos pasos: ecuación algebraica con dos operaciones en ella.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que resuelvas por tu cuenta.

$\frac{x}{6} - 9 = 8$

Solución

Para resolver este problema, primero tenemos que sumar 9 a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{6} - 9 + 9 & = 8 + 9 \\\\frac{x}{6} & = 17$

Luego, multiplicar 6 por 17.

$x = 102$

Esta es la respuesta.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Solving Two-Step Equations

Practica

Instrucciones: resuelve cada una de las ecuaciones de dos pasos que tienen divisiones y sustracciones.

$\frac{x}{5} - 4 = 8$
$\frac{y}{6} - 3 = 8$
$\frac{x}{7} - 7 = 10$
$\frac{x}{8} - 4 = 12$
$\frac{y}{7} - 5 = 11$
$\frac{x}{4} - 10 = 12$
$\frac{y}{4} - 8 = 2$
$\frac{x}{3} - 12 = 9$
$\frac{a}{5} - 3 = 11$
$\frac{b}{4} - 1 = 15$
$\frac{x}{2} - 8 = 4$
$\frac{a}{7} - 4 = 9$
$\frac{b}{4} - 7 = 3$
$\frac{x}{8} - 1 = 12$
$\frac{y}{6} - 8 = 5$
$\frac{x}{2} - 15 = 12$

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