Resolución de ecuaciones que presentan términos semejantes combinados

Aquí aprenderás a resolver ecuaciones que presentan términos semejantes combinados.

¿Has tenido alguna vez tener que ensayar por largo tiempo algo en específico? Observa lo que pasa en la práctica de la banda.

“Guau, fue un buen día de ensayo”, dijo Jake, cuando guardaba sus cosas en el cuarto de la banda.

“Sí, es verdad. Estoy exhausta”, dijo Anica.

“Hoy día practicamos más tiempo que ayer”, dijo Jake.

“Sí, 45 minutos más. Entonces, ensayamos en total cinco horas, si contamos ayer y hoy”, dijo Anica.

“Un momento, no vayas tan rápido. ¿Cuántos minutos ensayamos ayer y cuántos hoy día?”, Preguntó Jake mientras se sentaba.

“Esta bien, déjame que te lo explique. Necesitamos hacer una ecuación”, respondió Anica, sacando un trozo de papel y un lápiz.

¿Sabes cómo Anica pudo resolver esto? Lo sabrás, una vez que sepas como trabajar con ecuaciones de varios pasos. Pon atención a esta sección y podrás averiguar cuánto duraron los ensayos al final de esta sección.

Orientación

Considera este problema simple.

Supón que compraste 3 duraznos amarillos, 5 duraznos blancos y 2 manzanas rojas en un puesto de venta de frutas.

También podrías decir que compraste 8 duraznos y 2 manzanas porque:

$3 \ peaches + 5 \ peaches + 2 \ apples = 8 \ peaches + 2 \ apples$ .

Sin embargo, no podrías decir que compraste 10 duraznos. Cuando determinas cuántos duraznos compraste, puedes añadir 3 duraznos amarillos a 5 duraznos blancos, pero no puedes añadir las dos manzanas rojas al total. Esto porque las manzanas y los duraznos son diferentes tipos de fruta.

Cuando añades o sustraes los términos en una expresión, solo puedes combinar términos semejantes .

Considera la siguiente expresión:

$3p + 5 p + 2a$

Esta expresión representa el problema anterior. La variable $p$ representa los duraznos. La variable $a$ representa las manzanas.

Tal como puedes combinar los duraznos amarillos con los blancos porque ambos son duraznos, puedes combinar $3p$ y $5p$ porque son términos semejantes. Cada uno de estos términos incluye la misma variable, $p$ . Sin embargo, no puedes combinar $5p$ con $2a$ , porque no son términos semejantes. Cada uno de esos términos posee una variable diferente.

Los términos semejantes son términos que contienen la misma variable y se pueden combinar.

El siguiente enunciado muestra cómo puedes simplificar la expresión anterior combinando términos semejantes:

$3p + 5p + 2a = 8p + 2a$ .

Veamos cómo podemos aplicar lo que conocemos sobre combinar términos semejantes para resolver ecuaciones algebraicas.

Calcula $r$ : $5r - r - 9 = 15$ .

Primero, combina los términos semejantes: $5r$ y $r$ en el lado izquierdo de la ecuación Puede ser útil recordar que $r = 1r$ .

$5r - r - 9 & = 15\\\(5r - 1r) - 9 & = 15\\\4r - 9 & = 15$

Observa que 9 no se puede combinar con $4r$ porque no son términos semejantes.

Ahora que hemos combinado los términos semejantes, podemos resolver la ecuación tal como lo haríamos con una ecuación de dos pasos.

El siguiente paso es despejar el término con la variable, $4r$ , a un lado de la ecuación. Ya que 9 se sustrae de $4r$ , debemos añadir 9 a ambos lados de la ecuación para despejar ese término.

$4r - 9 & = 15\\\4r - 9 + 9 & = 15 + 9\\\4r +(-9 + 9) & = 24\\\4r + 0 & = 24\\\4r & = 24$

Ya que $4r$ equivale a $4 \times r$ , debemos dividir cada lado de la ecuación por 4 para obtener $r$ por sí sola en un lado de la ecuación.

$4r & = 24\\\\frac{4r}{4} & = \frac{24}{4}\\\1r & = 6\\\r & = 6$

El valor de $r$ es 6.

Encuentra el valor de $n$ en: $6n + 3 + 8n + 2 = 33$ .

Primero, combina los términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación. Los términos $6n$ y $8n$ son semejantes ya que cada uno tiene la misma variable, $n$ . Los números 3 y 2 también son semejantes, por lo que también se pueden combinar.

Usa la propiedad conmutativa de la adición para ayudarte a reordenar los términos que se añaden. Esta propiedad establece que cada término se puede añadir en cualquier orden. Luego, usa la propiedad asociativa de la adición para agrupar los términos para que los términos semejantes se añadan. La propiedad asociativa de adición estable que agrupar los términos que se añaden no influye en el resultado.

$6n + 3 + 8n + 2 & = 33\\\6n + (3 + 8n) + 2 & = 33\\\6n + (8n + 3) + 2 & = 33\\\(6n + 8n) + (3 + 2) & = 33$

Ahora, que los términos semejantes están agrupados juntos en paréntesis, combínalos.

$(6n + 8n) + (3 + 2) & = 33\\\14n + 5 & = 33$

Ahora, podemos resolverla como resolveríamos una ecuación de dos pasos.

El siguiente paso es despejar el término con la variable, $14n$ , a un lado de la ecuación. Ya que 5 se añade a $14n$ , debemos sustraer 5 a ambos lados de la ecuación para hacer esto.

$14n + 5 & = 33\\\14n + 5 - 5 & = 33 - 5\\\14n + 0 & = 28\\\14n & = 28$

Ya que $14n$ equivale a $14 \times n$ , debemos dividir cada lado de la ecuación por 14 para obtener la $n$ por sí sola a un lado de la ecuación.

$14 & = 28\\\\frac{14n}{14} & = \frac{28}{14}\\\1n & = 2\\\n & = 2$

El valor de $n$ es 2.

Ejemplo A

$3p + 5p + 2 = 18$

Solución: $p = 2$

Ejemplo B

$13x + 6x + 14a - 9a$

Solución: $19x + 5a$

Ejemplo C

$3x + 5x + 9x - 7 = 44$

Solución: $x = 3$

Ahora, regresemos al problema del inicio de la sección.

Primero, necesitamos nombrar la variable. Buscamos averiguar tiempos, entonces podemos usar $t$ como nuestra variable.

$t = time$

Luego, podemos escribir una ecuación. Sabemos que hay dos tiempos.

$t + t$

Pero, también sabemos que el ensayo de un día fue 45 minutos más largo.

$t + t + 45$

La suma total del tiempo es de 5 horas. Necesitamos asegurarnos de que ambas unidades son las mismas, entonces convertimos 5 horas a minutos y escribimos 300 minutos.

$t + t + 45 = 300$

Aquí está nuestra ecuación.

Luego, calculamos los dos tiempos.

$t + t + 45 &= 300\\\2t &= 300 - 45\\\2t &= 255\\\t &= 127.5 \ minutes$

Este es el tiempo que la banda ensayó ayer. Ensayaron 45 minutos más hoy. Añadimos 45 al total del tiempo de ayer.

$127.5 + 45 = 172.5 \ minutes$

Vocabulario

Términos Semejantes: términos que incluyen una variable común.

Propiedad Conmutativa de Adición: establece que el orden en que añaden diferentes productos no altera la suma.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Ayer, Tanya recorrió en bicicleta 3 millas más que hoy. Si recorrió un total de 13 millas en ambos días.

a. $t$ representará el número de millas que Tanya recorrió en bicicleta hoy. Escribe una ecuación algebraica para representar el número de millas que Tanya recorrió en ambos días.

b. Encuentra el número de millas que Tanya recorrió en bicicleta hoy.

c. Encuentra el número de millas que Tanya recorrió en bicicleta ayer.

Solución

Considera la parte a primero.

Sabes que $t$ representa el número de millas que Tanya recorrió hoy. Usa esa variable para escribir una expresión para el número de millas que Tanya recorrió ayer.

$& Yesterday, \ Tanya \ biked \ \underline{3} \ \underline{more \ldots than} \ she \ biked \ \underline{today}.\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \ \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 3 \qquad \ + \qquad \qquad \qquad \quad \ \ t$

Entonces, sabes que Tanya recorrió $t$ millas hoy y $3 + t$ millas ayer. También sabes que recorrió un total de 13 millas en ambos días. Usa esta información para escribir una ecuación de suma para este problema.

$&(\text{miles biked today}) + (\text{miles biked yesterday}) = (\text{total miles biked})\\\& \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \downarrow \ \ \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \qquad \ \ \downarrow\\\& \qquad \qquad \ t \qquad \quad \ \ + \qquad \qquad \ \ 3 + t \qquad \quad \ \ = \qquad \qquad 13$

Entonces, este problema se puede representar por la ecuación, $t + 3 + t = 13$ .

Luego, considera la parte b .

La variable $t$ representa el número de millas que Tanya recorrió hoy. Entonces, calcula la ecuación $t$ .

Primero, usa la propiedad conmutativa de adición para reordenar los términos que se añaden, así es más fácil ver cómo añadir los términos semejantes.

$t + (3 + t) &= 13\\\t + (t + 3) &= 13$

Ahora, añade los términos semejantes en lado izquierdo de la ecuación.

$t + t + 3 &= 13\\\(t + t) + 3 &= 13\\\2t + 3 &= 13$

Calcula la ecuación de $t$ tal como resolverías una ecuación de dos pasos. Sustrae 3 a ambos lados de la ecuación.

$2t + 3 &= 13\\\2t + 3 - 3 &= 13 - 3\\\2t + 0 &= 10\\\2t &= 10$

Luego, divide ambos lados de la ecuación por 2.

$2t &= 10\\\\frac{2t}{2} &= \frac{10}{2}\\\1t &= 5\\\t &= 5$

El valor de $t$ es 5, entonces Tanya recorrió 5 millas hoy.

Luego, considera c la parte.

En la parte a , determinaste que ayer Tanya recorrió $3 + t$ millas. Ya que $t = 5$ , substituye 5 por $t$ en la expresión para encontrar cuántas millas recorrió ayer.

$3 + t = 3 + 5 = 8$

Tanya recorrió 8 millas ayer.

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Solving Multi-Step Equations

Practica

Instrucciones: practica combinando términos semejantes a medida que simplificas cada expresión.

$8x + 3x +2$
$5y-3y+8$
$6x + 9x + x - 4$
$9x+4x-8+2x$
$2y-10y+16$
$3x+4x+5-6+2x$

Instrucciones: combina términos semejantes y resuelve cada ecuación.

$8x+3x+2=24$
$5y+2y+6=48$
$4x-6x+3=13$
$7y-10y+6=9$
$5x+8x+4=30$
$9a+3a-4=44$
$7a+4a+6=83$
$12x-14x+3=19$
$10y-16y+5=35$

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