Resolución de ecuaciones con la propiedad distributiva

Aquí aprenderás como resolver ecuaciones con la propiedad distributiva.

¿Has necesitado alguna vez la propiedad distributiva para resolver un problema? Bueno, Trevor tiene un problema. Está teniendo dificultades para resolverlo.

$7(x+2)=28$

¿Sabes cómo resolver esta ecuación? Para resolverla, tendrás que aplicar la propiedad distributiva. Pon atención a esta sección y sabrás como resolver esta ecuación al final.

Orientación

Ya sabes que algunas propiedades numéricas te pueden ayudar a resolver ecuaciones.

La propiedad distributiva también te puede ayudar a resolver algunas ecuaciones.

Esta propiedad establece que cuando un factor se multiplica por la suma de dos números, podemos multiplicar cada uno de los dos números por el factor y luego sumarlos.

$7 \times (4+k) = (7 \times 4) + (7 \times k) = 28 + 7k$

$2(a + 3) = (2 \times a) + (2 \times 3) = 2a + 6$

La multiplicación también se puede distribuir sobre la sustracción.

Aquí hay dos situaciones que muestran la propiedad distributiva.

$7 \times (4 - k) = (7 \times 4) - (7 \times k) = 28 - 7k$

$2(a - 3) = (2 \times a) - (2 \times 3) = 2a - 6$

Veamos cómo la propiedad distributiva nos puede ayudar a resolver algunas ecuaciones de varios pasos.

Encuentra el valor de $k$ en: $5(3 + k) = 45$

Aplica la propiedad distributiva al lado izquierdo de la ecuación. Multiplica cada uno de los dos números dentro del paréntesis por 5 y luego suma los productos.

$5(3 + k) &= 45\\\(5 \times 3) + (5 \times k) &= 45\\\15 + 5k &= 45$

Ahora, resuélvela como lo harías con una ecuación de dos pasos. Para obtener $5k$ por sí sola a un lado de la ecuación, resta 15 a ambos lados.

$15+5k &= 45\\\15-15+5k &= 45-15\\\0+5k &= 30\\\5k &= 30$

Para obtener $k$ por sí sola a un lado de la ecuación, divide ambos lados por 5.

$5k &= 30\\\\frac{5k}{5} &= \frac{30}{5}\\\1k &= 6\\\k &= 6$

El valor de $k$ es 6.

Observemos otro ejemplo.

$2(y - 9) = 40$

Ahora, podemos distribuir el dos multiplicándolo por los términos dentro del paréntesis. Observa que el segundo término tiene un signo de sustracción delante. Recuerda incluir ese signo cuando multiplicas.

$2y - 18 = 40$

Luego, calculamos $y$ tal como lo hariamos con una ecuación de dos pasos.

$2y - 18 &= 40\\\2y - 18 + 18 &= 40 + 18\\\2y &= 58\\\y &= 29$

El valor de $y$ es 29.

Ejemplo A

$6(x + 4) = 42$

Solución: $x = 3$

Ejemplo B

$4(y - 8) = 16$

Solución: $y = 12$

Ejemplo C

$12(x - 2) = 48$

Solución: $x = 6$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

$7(x+2)=28$

Esta es la ecuación que necesitamos resolver.

Primero, tenemos que simplificar el lado izquierdo de la ecuación eliminando el paréntesis. Para hacer esto, multiplicamos ambos términos dentro del paréntesis por 7.

$7x + 14 = 28$

Luego, resolvemos esta ecuación de dos pasos. Restamos 14 a ambos lados de la ecuación.

$7x + 14 - 14 = 28 - 14$

$7x = 14$

Ahora, podemos resolver la ecuación de un solo paso dividiendo ambos lados de la ecuación por 7.

$x = 2$

Esta es nuestra respuesta final.

Vocabulario

Propiedad Distributiva: establece que puedes multiplicar un término afuera de un paréntesis con los términos dentro de este para simplificar el paréntesis.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el valor de $x$ en: $3(3 - x) =12$

Solución

Aplica la propiedad distributiva al lado izquierdo de la ecuación. Multiplica cada uno de los números dentro del paréntesis por 3 y luego, sustrae los productos. Te puede ayudar recordar que $x = 1x$ .

$3(3-x) &= 12\\\3(3 - 1x) &= 12\\\(3 \cdot 3) - (3 \cdot 1x) &= 12\\\9 - 3x &= 12$

Ahora, resuelve como lo harías con una ecuación de dos pasos. Primero, necesitamos despejar el término que incluye la variable, $3x$ , a un lado de la ecuación. En la ecuación, $3x$ se sustrae de 9. Sustraer $9 - 3x$ es lo mismo que añadir $9 + (-3x)$ . Vuelve a escribir el lado izquierdo de la ecuación para mostrar que 9 se suma a $-3x$ , y luego sustrae 9 a ambos lados.

$9 - 3x &= 12\\\9 + (-3x) &= 12\\\9 - 9 + (-3x) &= 12 - 9\\\0 + (-3x) &= 3\\\-3x &= 3$

Para obtener $x$ por sí sola a un lado de la ecuación, divide ambos lados por -3. Necesitarás usar tus conocimientos de división de números enteros para ayudarte. Por ejemplo, sabes que cuando divides dos números enteros negativos, el cuociente será positivo. Ya que sabes que $-3 \div (-3) = 1$ , también sabes que $-3x \div (-3) = 1x$ . Para repasar cómo trabajar con números enteros, revisa las Lecciones 2.5 y 2.6.

$-3x &= 3\\\\frac{-3x}{-3} &= \frac{3}{-3}\\\1x &= -1\\\x &= -1$

El valor de $x$ es -1.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy The Distributive Property

Practica

Instrucciones: usa la propiedad distributiva para resolver cada ecuación.

$2(x+3)=10$
$5(x+4)=25$
$9(x-3)=27$
$7(x+5)=70$
$5(x-6)=45$
$8(y-4)=40$
$7(x+3)=-7$
$8(x-2)=8$
$9(y+1)=90$
$-3(y+4)=24$
$-2(y-4)=16$
$-4(x-1)=8$
$9(y-4)=36$
$7(y-3)=21$
$-9(y-2)= 27$

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