Resolución de ecuaciones con la propiedad distributiva y combinar términos semejantes

Aquí, resolverás ecuaciones con la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.

¿Te gustan los dulces? Observa este sabroso problema.

A ocho niños les dieron algunos dulces. Luego, a seis niños les dieron la misma cantidad desconocida de dulces. Luego, a dos niños les dieron la misma cantidad desconocida de dulces, además de otros tres dulces. El número total de dulces que se dieron fue de treinta y ocho.

Si este es el caso, ¿cuál es la cantidad desconocida de dulces?

¿Sabes cómo resolver este problema? Escribe una ecuación y luego resuélvela para encontrar la cantidad desconocida de dulces. Pon atención y podrás resolver este problema al final de esta sección.

Orientación

Para resolver algunas ecuaciones de varios pasos, necesitarás usar la propiedad distributiva y combinar términos semejantes. Cuando esto suceda, verás que hay más de un término con la misma variable o que hay más de un número en la ecuación. Siempre querrás combinar todo lo que puedas antes de empezar a resolver la ecuación.

Apliquemos esto a la siguiente situación.

Encuentra el valor de $m$ en: $6(1 +2m) -3m = 24$

Aplica la propiedad distributiva al lado izquierdo de la ecuación. Multiplica cada uno de los dos números dentro del paréntesis por 6 y luego suma los productos.

$6(1 + 2m) - 3m &= 24\\\(6 \times 1) + (6 \times 2m) - 3m &=24\\\6 + 12m - 3m &= 24$

Luego, sustrae los términos semejantes; $12m$ y $3m$ al lado izquierdo de la ecuación.

$6 + 12m - 3m &= 24\\\6 + (12m - 3m) &= 24\\\6 + 9m &= 24$

Finalmente, resuelve como resolverías una ecuación de dos pasos. Resta 6 a ambos lados de la ecuación.

$6 + 9m &= 24\\\6-6 + 9m &= 24-6\\\0 + 9m &= 18\\\9m &= 18$

Ahora, divide ambos lados de la ecuación por 9.

$9m &= 18\\\\frac{9m}{9} &= \frac{18}{9}\\\1m &= 2\\\m &= 2\\\$

El valor de $m$ es 2.

Aquí hay otro ejemplo.

Encuentra el valor de $b$ en: $-4(2 + 3b) + 5b = 13$

Aplica la propiedad distributiva al lado izquierdo de la ecuación. Multiplica cada uno de los dos términos dentro del paréntesis por -4 y luego suma los productos.

$-4(2 + 3b) + 5b &= 13\\\(-4 \times 2) + (-4 \times 3b) + 5b &= 13\\\-8 + (-12b) + 5b &= 13$

Luego, suma los términos semejantes en lado izquierdo de la ecuación. Para sumar esos términos semejantes, $-12b$ y $5b$ , necesitarás usar tus conocimientos sobre sumar números enteros. Para repasar cómo añadir y sustraer números enteros, revisa la Lección 2.5.

$-8 + (-12b) + 5b &= 13\\\-8 + (-12b + 5b) &= 13\\\-8 + (-7b) &= 13$

Finalmente, resuelve como lo harías con una ecuación de dos pasos. Ya que -8 se suma a $(-7b)$ , puedes sustraer -8 a ambos lados de la ecuación para resolverla.

$-8 + (-7b) &= 13\\\-8 - (-8) + (-7b) &= 13 - (-8)\\\(-8 + 8) + (-7b) &= 13 + 8\\\0 + (-7b) &= 21\\\-7b &= 21$

Ahora, divide ambos lados de la ecuación por -7.

$-7b &= 21\\\\frac{-7b}{-7} &= \frac{21}{-7}\\\1b &= -3\\\b &= -3$

El valor de $b$ es -3.

Ejemplo A

$6(x+4)+3x - 2 = 54$

Solución: $x = 4$

Ejemplo B

$6y + 3(y-4) = 33$

Solución: $y = 5$

Ejemplo C

$5(a+3)+6(a+1)+8a=40$

Solución: $a = 1$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

A ocho niños les dieron algunos dulces. Luego, a otros seis niños diferentes les dieron la misma cantidad desconocida de dulces. Entonces, a dos niños les dieron la misma cantidad desconocida de dulces, además de otros tres dulces. El número total de dulces que se dieron fue de treinta y ocho.

Primero, escribe una ecuación. Descompón en problema pieza por pieza. Usaremos $c$ para la cantidad desconocida de dulces que se dieron.

$8c + 6c + 2(c + 3) = 38$

Esta es nuestra ecuación.

Ahora, resuelve la ecuación eliminando los paréntesis en primer lugar.

$8c + 6c + 2c + 6 = 38$

Luego, combina los términos semejantes.

$16c + 6 = 38$

Ahora, resta 6 a ambos lados de la ecuación.

$16c + 6 - 6 = 38 - 6$

$16c = 32$

$c = 2$

La cantidad desconocida de dulces era dos.

Vocabulario

Términos Semejantes: términos que incluyen una variable común.

Propiedad Conmutativa de Adición: establece que el orden en que se añaden diferentes números no altera la suma.

Propiedad Asociativa de Adición: establece que puedes cambiar los grupos de números que se suman sin cambiar la suma.

Propiedad Distributiva: establece que puedes multiplicar un término fuera del paréntesis con los términos dentro de este para simplificar los paréntesis.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el valor de $x$ .

$-5x+3(x+1)-4x=45$

Solución

Primero, distribuye el tres y elimina los paréntesis.

$-5x+3x+3-4x=45$

Ahora, combina los términos semejantes.

$-2x+3-4x=45$

Combina de nuevo, porque hay varios términos para combinar en este problema.

$-6x+3=45$

Luego, sustrae 3 a ambos lados de la ecuación.

$-6x+3-3=45-3$

$-6x=42$

$x = -7$

Esta es nuestra respuesta.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Solving Linear Equations 2

Practica

Instrucciones: Distribuye y combina términos semejantes y entonces resuelva cada ecuación.

$x+8(x+2)=52$
$2y+6(y+3)=34$
$4y+2(y-2)=8$
$9y+3(y-6)=30$
$6(x+2)-4x=30$
$3(y-1)+2(y+3)=13$
$4(a+3)-2(a+6)=20$
$6(x+2)-4x+6=36$
$-9(x+3)+4x=-2$
$-4(y+3)-2y=24$
$4(a+2)-9=11$
$-8(y+2)-16=16$
$5(a+4)-6a+1=12$
$x+3x+2x+3(x+1)=30$
$2x+4x+6x-2(x+3)=34$

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