Resolución de ecuaciones con una variable a ambos lados

Aquí, resolverás ecuaciones con una variable a ambos lados.

La banda está vendiendo palomitas de maíz para recaudar fondos. Durante las últimas semanas, los estudiantes han estado vendiendo con la esperanza de conseguir el dinero suficiente para comprar nuevos uniformes.

“De verdad espero que consigamos lo suficiente para comprar los azules”, le dijo Josie a Jake y Karen, en el almuerzo.

“Yo también”, dijo Karen.

“Estuve enfermo muchas veces, por lo que no vendí tantas cajas como esperaba”, suspiró Jake.

“No importa, Jake. Esas cosas pasan”, le dijo Karen sonriendo.

Esa tarde después de la práctica, Karen fue a organizar los pedidos que habían llegado. Empezó a contar todas las ventas que hicieron los estudiantes. Descubrió que ella y Josie habían vendido la misma cantidad de cajas. Josie vendió treinta y seis cajas más que Jake, quien había estado enfermo. Ella vendió el triple de lo que vendió Jake. Karen comenzó a averiguar cuántas cajas vendió Jake.

¿Puedes resolver esto? Necesitarás entender cómo trabajar con variables de una nueva manera para escribir una ecuación y resolverla. Aprenderás cómo hacerlo en la siguiente sección.

Orientación

¿Te acuerdas de cómo resolver una ecuación básica?

Considera el problema, $12 + t = 30$ .

La estrategia para resolver esta ecuación es usar las operaciones inversas para despejar la variable , $t$ , a un lado de la ecuación. Ya que 12 se suma a $t$ , sustraerás 12 a ambos lados de la ecuación para obtener $t$ por sí sola.

$12 + t & = 30\\\12 - 12 + t &= 30 - 12\\\0 + t &= 18\\\t &= 18$

¿Qué pasaría si necesitas resolver una ecuación como esta?

$12 + t = 30 + 3t$

¿Cómo resolvemos una ecuación con variables a ambos lados?

Para resolver una ecuación que tiene las mismas variables a ambos lados, usarás la misma estrategia básica que ya conoces. Usarás operaciones inversas para despejar las variables a un lado de la ecuación. Harás esto usando las operaciones inversas para obtener todos los términos que incluyen variables a un lado de la ecuación y usando operaciones inversas para obtener todos los términos numéricos al otro lado. Una vez que hagas esto, serás capaz de calcular la variable.

Piensa en forma lógica y esto adquiere sentido. Obtienes las variables juntas a un lado de la ecuación y luego, obtienes los números juntos al otro lado de la ecuación. Una vez que hayas hecho esto, puedes combinar los términos semejantes y calcular el valor de la variable.

Encuentra el valor de $t$ en: $12 + t = 30 + 3t$ .

La variable, $t$ , está a ambos lados de la ecuación. Podemos trabajar con los términos con variables de la misma forma que trabajamos con los números. Esto es, podemos usar las operaciones inversas para obtener todos los términos con la variable, $t$ , a un lado de la ecuación. Entonces, tal como podemos sustraer 12 a ambos lados de la ecuación para obtener todos los términos números al lado derecho de la ecuación, podemos sustraer $t$ a ambos lados de la ecuación para obtener todos los términos con variables al lado derecho de la ecuación.

Alternativamente, podemos sustraer $3t$ a ambos lados de la ecuación para obtener todos los términos con variables al lado izquierdo de la ecuación. No importa qué paso tomemos. Cualquiera nos dará la respuesta correcta. Sin embargo, ya que es más facil restar $3t - t$ que restar $t - 3t$ , sustraemos $t$ a ambos lados de la ecuación. Recuerda, $t = 1t$ .

$12 + t &= 30 + 3t\\\12 + t - t &= 30 + 3t - t\\\12 + 0 &= 30 + 2t\\\12 &= 30 + 2t$

Ahora, la única variable está al lado derecho de la ecuación. Entonces, obtengamos todos los términos numéricos al lado izquierdo de la ecuación. Ya que 30 se añade a $2t$ , podemos obtener $2t$ por sí sola al lado derecho de la ecuación sustrayendo 30 a ambos lados. Recuerda que sustraer 30 a 12 es lo mismo que añadir -30 a 12.

$12 &= 30 + 2t\\\12 - 30 &= 30 -30 + 2t\\\12 + (-30) &= 0 + 2t\\\-18 &= 2t$

Ahora, podemos usar las operaciones inversas para obtener la $t$ por sí sola a una lado de la ecuación. Para hacer esto, dividamos ambos lados por 2. Hacer esto, involucra dividir un número entero negativo, -18, por un número entero positivo, 2.

$-18 &= 2t\\\\frac{-18}{2} &= \frac{2t}{2}\\\-9 &= 1t\\\-9 &= t$

El valor de $t$ es -9.

Algunas veces, una ecuación tendrá paréntesis y variables a ambos lados de la ecuación. La propiedad distributiva ayuda bastante a resolver estas ecuaciones.

Encuentra el valor de $a$ en: $4a + 16 =13a - (2a + 3a)$

El primer paso debe ser simplificar la expresión al lado derecho de la ecuación. De acuerdo al orden de las operaciones, primero debemos combinar los términos semejantes dentro de los paréntesis. Luego, podemos simplificar el resto de la expresión, como se muestra a continuación:

$4a + 16 &= 13a - (2a + 3a)\\\4a + 16 &= 13a - 5a\\\4a + 16 &= 8a$

Ahora, observa que la variable, $a$ , está a ambos lados de la ecuación. Podemos usar las operaciones inversas para obtener todos los términos con la variable, $a$ , a un lado de la ecuación. Ya que hay un número al lado izquierdo de la ecuación y no hay números al lado derecho, es más fácil tratar de obtener todos los términos con variable al lado derecho de la ecuación. Podemos obtener todos los términos con variable al lado derecho de la ecuación sustrayendo $4a$ a ambos lados.

$4a + 16 &= 8a\\\4a - 4a + 16 &= 8a -4a\\\0 + 16 &= 4a\\\16 &= 4a$

Ahora, el único término con una variable, $4a$ , está al lado derecho de la ecuación. El único término numérico, 16, está en el lado izquierdo. Para calcular $a$ , podemos dividir ambos lados de la ecuación por 4.

$16 &= 4a\\\\frac{16}{4} &= \frac{4a}{4}\\\4 &= 1a\\\4 &= a$

El valor de $a$ es 4.

Ejemplo A

$6x+3=9x+6$

Solución: $x = -1$

Ejemplo B

$4x+x+2=10x-13$

Solución: $x=3$

Ejemplo C

$8y+2y=20y+10$

Solución: $y=-1$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, escribimos una ecuación.

$x =$ el número de cajas que vendió Jake. Esta es nuestra cantidad desconocida.

$x + 36 =$ el número de cajas que vendió Josie.

$3x =$ el número de cajas que vendió Karen.

$x + 36 = 3x$

Ahora calcula $x$ .

$x - x + 36 &= 3x - x\\\36 &= 2x\\\18 &= x$

Jake vendió 18 cajas de palomitas de maíz.

Karen y Josie vendieron la misma cantidad. Podemos usar la información que nos dio Karen que dice que ella vendió el triple de cajas que vendió Jake.

$&3x\\\&3(18) = 54$

Josie y Karen vendieron 54 cajas de palomitas de maíz cada una.

Vocabulario

Propiedad Distributiva: establece que podemos simplificar una expresión con paréntesis multiplicando un término fuera de estos con cada uno de los términos dentro de los paréntesis.

Operación Inversa: la operación opuesta

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

$6x + 1 = 8x + 3$

Para trabajar descompongamos este problema. Primero, necesitamos mover los términos con variables al mismo lado de la ecuación. Movamos la $6x$ . Podemos hacer esto, usando una operación inversa. Sustraemos $6x$ a ambos lados de la ecuación.

$6x + 6x + 1 &= 8x - 6x + 3\\\1 &= 2x + 3$

Aquí realizamos la operación inversa y entonces simplificamos la ecuación. Ahora, podemos resolverla tal como lo haríamos con una ecuación de dos pasos. Observa y vigila si terminas trabajando con números negativos. ¡No mezcles los signos!

$1 &= 2x + 3\\\1 - 3 &= 2x + 3 - 3\\\-2 &= 2x\\\-1 &= x$

El valor de $x$ es -1.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Solving Linear Equations 3

Practica

Instrucciones: Resuelve cada ecuación con variables a ambos lados.

$6x=2x+16$
$5y=3y+12$
$4y=y-18$
$8x=10x+20$
$7x=4x+24$
$9y=2y-21$
$-6x+22=5x$
$15y=9y+36$
$14x=10x-40$
$19y=4y-30$
$18x=2x-32$
$4x+1=2x+5$
$6x+4=4x+10$
$8x+3=5x+9$
$10y-4=6y-12$
$8x-5=10x-13$
$12y-8=14y+14$
$18x-5=20x+19$
$-20y+8=-8y-4$

Instrucciones: Resuelve cada ecuación con variables a ambos lados, simplificando cada ecuación usando, en primer lugar, la propiedad distributiva.

$2(x+3)=8x$
$3(x+5)=-2x$
$9y=4(y-5)$

Prev Next