Resolución de ecuaciones de múltiples pasos que tienen fracciones

Aquí resolverás ecuaciones de múltiples pasos que tienen fracciones.

¿Alguna vez has intentado resolver problemas que tienen millas? Estudia esta situación.

El domingo, Leah caminó 4 millas. El lunes, Leah caminó un tercio de las millas que caminó el martes. Leah caminó 12 millas durante esos 3 días.

La $t$ representará el número de millas que Leah caminó el martes. Escribe una ecuación algebraica que represente el número total de millas que ella caminó durante los 3 días. Encuentra el número de millas que Leah caminó el martes. Encuentra el número de millas que Leah caminó el lunes.

Presta atención a esta sección, ya que te ayudará a calcular fracciones. Entonces, podrás resolver tus problemas de forma exitosa.

Orientación

¿Sabes cómo resolver esta ecuación que tiene fracciones?

Encuentra el valor de $n$ en: $n - \frac{n}{2}-\frac{1}{12} = \frac{5}{6}$

Veamos cómo podemos hacer esto.

Primero, resta los términos semejantes $n$ y $\frac{n}{2}$ que están al lado izquierdo de la ecuación. Recuerda que $\frac{n}{2} = \frac{1}{2}n$ y que $n = 1 n = \frac{2}{2}n$ .

$n - \frac{n}{2} - \frac{1}{12} &= \frac{5}{6}\\\\left( \frac{2}{2}n - \frac{1}{2}n \right) - \frac{1}{12} &= \frac{5}{6}\\\\frac{n}{2} - \frac{1}{12} &= \frac{5}{6}$

El siguiente paso es despejar el término con la variable, $\frac{n}{2}$ , a una lado de la ecuación. Ya que $\frac{1}{12}$ se resta de $\frac{n}{2}$ , deberías sumar $\frac{1}{12}$ a ambos lados de la ecuación.

Al realizar este paso, deberás sumar $\frac{1}{12}$ y $\frac{5}{6}$ , dos fracciones con distinto denominador. Antes de sumar estas fracciones, necesitarás darles un denominador común. Esto significa que necesitas encontrar un múltiple común para los dos denominadores y reescribir las ecuaciones para que sean una fracción equivalente con ese denominador. Ya que mínimo común múltiple de 12 y 6 es 12, necesitarás reescribir $\frac{5}{6}$ como una fracción equivalente con denominador 12. No necesitas reescribir $\frac{1}{12}$ ya que esta ya tiene denominador 12.

$\frac{n}{2}-\frac{1}{12} &= \frac{5}{6}\\\\frac{n}{2} - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} &= \frac{5}{6} + \frac{1}{12}\\\\frac{n}{2} + \left ( - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} \right ) &= \frac{5}{6} + \frac{1}{12} && \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}\\\\frac{n}{2} + 0 &= \frac{10}{12} + \frac{1}{12}\\\\frac{n}{2} &= \frac{11}{12}$

Ya que $\frac{n}{2}$ es lo mismo que $n \div 2$ , debemos multiplicar cada lado de la ecuación por 2 o $\frac{2}{1}$ para, así, tener $n$ por sí misma en un lado de la ecuación.

$\frac{n}{2} &= \frac{11}{12}\\\\frac{n}{\bcancel{2}} \times \frac{\bcancel{2}}{1} &= \frac{11}{12} \times \frac{2}{1}\\\\frac{n}{1} &= \frac{22}{12}\\\n &= \frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$

El valor de $n$ es $1 \frac{5}{6}$ .

Algunas ecuaciones con fracciones también tendrán un conjunto de paréntesis en ellas. Para calcular estos problemas, necesitarás utilizar la propiedad distributiva para simplificar la ecuación.

Encuentra el valor de $r$ : $\frac{2}{3}(r + \frac{3}{5}) = 2$

Utiliza la propiedad distributiva al lado izquierdo de la ecuación. Multiplica cada los dos números que están en el paréntesis por $\frac{2}{3}$ y luego suma sus productos.

$\frac{2}{3} \left ( r + \frac{3}{5} \right ) &= 2\\\\left ( \frac{2}{3} \times r \right ) + \left ( \frac{2}{\bcancel{3}} \times \frac{\bcancel{3}}{5} \right ) &= 2\\\\frac{2}{3}r + \frac{2}{5} &= 2$

Ahora, calcula como lo harías en cualquier ecuación de dos pasos. Para despejar el término de la variable, $\frac{2}{3}r$ , en un lado de la ecuación, resta $\frac{2}{5}$ de ambos lados. Para realizar esto, necesitarás reescribir el 2 como $\frac{10}{5}$ .

$\frac{2}{3}r + \frac{2}{5} &= 2\\\\frac{2}{3}r + \left ( \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \right ) &= 2 - \frac{2}{5}\\\\frac{2}{3}r + 0 &= \frac{10}{5} - \frac{2}{5}\\\\frac{2}{3}r &= \frac{8}{5}$

Ya que $\frac{2}{3}r$ es lo mismo que $\frac{2}{3} \times r$ , usa la operación inversa a la multiplicación (división) y divide ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ . Para esto, deberás dividir $\frac{2}{3}r \div \frac{2}{3}$ al lado izquierdo de la ecuación. Recuerda que, para dividir dos fracciones, toma el reciproco del divisor (la segunda fracción) y multiplica ese reciproco por el dividendo (la primera fracción). Por lo que, $\frac{2}{3}r \div \frac{2}{3}r \times \frac{3}{2}$ . Ya que multiplicarás el lado izquierdo de la ecuación por el reciproco de $\frac{2}{3}$ , el cual es $\frac{3}{2}$ , también deberás multiplicar el lado derecho de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3}r &= \frac{8}{5}\\\\frac{2}{3}r \div \frac{2}{3} &= \frac{8}{5} \div \frac{2}{3}\\\\frac{2}{3}r \times \frac{3}{2} &= \frac{8}{5} \times \frac{3}{2}\\\\frac{\bcancel 2}{\bcancel 3}r \times \frac{\bcancel 3}{\bcancel 2} &= \frac{24}{10}\\\1r &= \frac{12}{5}\\\r &= 2\frac{2}{5}$

El valor de $r$ es $2 \frac{2}{5}$ .

Calcula cada una de las variables desconocidas. Recuerda escribir tu respuesta en la forma más simplificada.

Ejemplo A

$\frac{1}{3} + \frac{4}{5} - n = \frac{2}{15}$

Solución: $1$

Ejemplo B

$\frac{3}{6}-\frac{1}{3}+x=1 \frac{1}{2}$

Solución: $1 \frac{1}{3}$

Ejemplo C

$\frac{1}{2}+\frac{7}{8}+x = 2$

Solución: $\frac{5}{8}$

Ahora regresemos al problema que está al principio de la sección.

Sabes que $t$ representa el número de milla que Leah caminó en martes. Utiliza esa variable para escribir una expresión para el número de millas que Leah caminó el lunes.

$& On \ Monday, \ Leah \ walked \ \underline{one-third \ as \ many \ miles \ as \ldots on \ Tuesday}.\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \frac{t}{3} \ or \ \frac{1}{3}t$

Así que, sabes que Leah caminó 4 millas el domingo, $\frac{1}{3}t$ millas el lunes y $t$ millas el martes. También sabes que durante esos tres días Leah caminó un total de 12 millas. Utiliza esta información para escribir una ecuación para este problema.

$& (\text{miles walked Sun.}) + (\text{miles walked Mon.}) + (\text{miles walked Tues.}) = (\text{total miles walked})\\\& \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \ \downarrow \qquad \quad \qquad \downarrow \qquad \qquad \ \downarrow \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \qquad \ \ \downarrow\\\& \qquad \qquad \ 4 \qquad \quad \ \ + \qquad \qquad \frac{1}{3}t \qquad \qquad + \qquad \qquad \ t \qquad \qquad \ = \qquad \quad \ \ 12$

Por lo que, este problema puede representarse por la ecuación, $4 + \frac{1}{3}t+t=12$ .

Ahora, busquemos el valor de $t$ . Comienza sumando los términos semejantes que están al lado izquierdo de la ecuación.

$4 + \frac{1}{3}t + t &= 12\\\4 + \frac{1}{3}t + \frac{3}{3}t &= 12\\\4 + \frac{4}{3}t &= 12$

Resuelve la ecuación para encontrar el valor de $t$ tal como resolverías cualquier ecuación de dos pasos. Resta 4 de cada lado de la ecuación.

$4 + \frac{4}{3}t &= 12\\\4 - 4 + \frac{4}{3}t &= 12-4\\\0 + \frac{4}{3}t &= 8\\\\frac{4}{3}t &= 8$

Finalmente, debes dividir ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ . Recuerda que es lo mismo que multiplicar ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{3}t &= 8\\\\frac{4}{3}t \times \frac{3}{4} &= 8 \times \frac{3}{4}\\\\frac{\bcancel{4}}{\bcancel{3}}t \times \frac{\bcancel{3}}{\bcancel{4}} &= \frac{8}{1} \times \frac{3}{4}\\\1t &= \frac{24}{4}\\\t &= 6$

El valor de $t$ es 6, por lo que Leah caminó 6 millas el martes.

¿Cuántas millas caminó Leah el lunes?

Recuerda que Leah caminó $\frac{1}{3}t$ millas el lunes. Ya que $t = 6$ , sustituye 6 por $t$ en la expresión para saber cuánta millas caminó Leah el lunes.

$\frac{1}{3}t = \frac{1}{3} \times 6 = \frac{1}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{3} = 2$

Leah caminó 2 millas el lunes.

Vocabulario

Números Enteros: el conjunto de números totales y sus opuestos.

Números Racionales: un conjunto de números que incluye los números enteros, los decimales, las fracciones y los decimales exactos y periódicos. Estos números se puede escribir como fracción.

Fracción: una parte de un total escrita usando un numerador y un denominador.

Decimal: una parte de un total escrita usando valor posicional y una coma decimal.

Decimal Periódico: un decimal en el que los dígitos repiten un patrón y eventualmente terminan.

Decimal Exacto: un decimal en el que los dígitos eventualmente terminan, pero los números no repiten un patrón.

Práctica Guiada

A continuación, un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el valor de x. Asegúrate que tu respuesta esté en la forma más simplificada.

$\frac{12}{13}+\frac{11}{13}-x=\frac{6}{13}$

Solución

Primero, suma los numeradores de las dos fracciones que tienen el mismo denominador.

$\frac{23}{13} - x = \frac{6}{13}$

Ahora, debemos encontrar la cantidad que se le resta a $\frac{23}{13}$ para obtener $\frac{6}{13}$ .

Podemos convertir $\frac{23}{13}$ en un número mixto.

$1 \frac{10}{13}$

Ahora nuestro trabajo es más simple.

$10 - 4 = 6$

La respuesta es $x = 1 \frac{4}{13}$ .

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Solving Two-Step Linear Equations with Fractions

Practica

Instrucciones : Resuelve cada una de estas ecuaciones.

1. $\frac{1}{3}x = 9$

2. $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 10$

3. $\frac{3}{5}y + 1 = 7$

4. $\frac{3}{4}x = 6$

5. $\frac{1}{3} + \frac{4}{6} - x = \frac{1}{2}$

6. $\frac{4}{7}+\frac{2}{7} - x = \frac{2}{7}$

7. $\frac{5}{8}x = 10$

8. $\frac{1}{4}y + 7 = 31$

9. $\frac{1}{3}a - 4 = 12$

10. $\frac{6}{7} - {2}{7} + x = 1 \frac{1}{7}$

11. $\frac{4}{5}y - \frac{3}{5}y = 10$

12. $\frac{2}{3}x = 8$

13. $\frac{5}{6} - x = -\frac{1}{6}$

14. $\frac{3}{4}y= \frac{3}{4}$

15. $\frac{6}{8} - \frac{2}{3} + x = \frac{1}{3}$

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