Resolución de ecuaciones de múltiples pasos que tienen números racionales

Aquí aprenderás a resolver ecuaciones de múltiples pasos que tienen números racionales.

José ha tocado la trompa por muchos años y, hasta ahora, siempre ha tocado con facilidad. Ahora, la señora Kline, directora de la banda, le ha asignado una nueva pieza musical para tocar y es muy difícil. José ha estado practicando la nueva pieza.

Su mejor práctica fue el sábado, cuando practicó por 90 minutos. El domingo, debía ir a una fiesta de cumpleaños, por lo que practicó por tanto tiempo. El lunes, tenía que estudiar para un examen de matemáticas, por lo que practicó la mitad del tiempo que practicó el lunes.

Cuando José asistió a la práctica de la banda el martes, tuvo dificultades con la pieza musical.

“¿Cuánto tiempo practicaste?” le preguntó la señora Kline.

“En realidad, entre el sábado y el martes practiqué un total de 3 horas”, Dijo José.

Si esto es cierto, ¿cuánto tiempo practicó José el lunes y el martes? Deberás escribir una ecuación y resolverla para encontrar la respuesta a este problema. José necesita practicar con la trompeta un poco más y tú necesitarás la información que se enseña en esta sección para ayudarte a solucionar cada problema.

Orientación

Los números racionales incluyen a los enteros, las fracciones y los decimales exactos. En algunos casos, para resolver una ecuación deberás trabajar con una combinación de todas estas clases de números. Si sabes cómo resolver una ecuación, podrás utilizar las mismas reglas para trabajar con números racionales.

Estudia este problema.

Encuentra el valor de $b$ en: $-6 \left( 1 - \frac{b}{12} \right) = \frac{2}{3}$

Este problema tiene dos tipos distintos de números racionales: los enteros (-6 y 1) y las fracciones $\left ( \frac{b}{12} \right .$ y $\left . \frac{2}{3} \right )$ . Deberás saber cómo calcular con fracciones al igual que calcular con enteros para, así, resolver la ecuación.

Utiliza la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la ecuación. Multiplica los dos números que están dentro del paréntesis por -6 y, luego, resta los productos resultantes.

$-6 \left (1 - \frac{b}{12} \right ) &= \frac{2}{3}\\\(-6 \times 1) - \left ( -6 \times \frac{b}{12} \right ) &= \frac{2}{3}\\\-6 - \left ( \frac{-6}{1} \times \frac{1}{12}b \right ) &= \frac{2}{3}\\\-6 - \left ( \frac{-6}{12}b \right ) &= \frac{2}{3}\\\-6 - \left ( - \frac{6}{12}b \right ) &= \frac{2}{3}\\\-6 + \left ( \frac{6}{12}b \right ) &= \frac{2}{3}$

Puede que reconozcas inmediatamente que el término con la variable, $\frac{6}{12}b$ , puede simplificarse a $\frac{1}{2}b$ o $\frac{b}{2}$ . Puedes esperar a terminar el problema para simplificarlo, pero si quieres (y es lo que recomendamos) puedes simplificarlo antes de comenzar a calcular la ecuación. Esto solo hará el problema más fácil de calcular, por lo que simplifica el término con la variable a $\frac{1}{2}b$ .

$-6 + \frac{6}{12}b &= \frac{2}{3}\\\-6 + \frac{1}{2}b &= \frac{2}{3}$

Ahora, podemos calcular tal como lo haríamos en cualquier ecuación de dos pasos. Para despejar $\frac{1}{2}b$ a un lado de la ecuación podemos restar -6 de ambos lados de la ecuación.

$-6 + \frac{1}{2}b &= \frac{2}{3}\\\-6 - (-6) + \frac{1}{2}b &= \frac{2}{3} - (-6)\\\-6 + 6 + \frac{1}{2}b &= \frac{2}{3} + 6\\\0 + \frac{1}{2}b &= 6 \frac{2}{3}\\\\frac{1}{2}b &= 6 \frac{2}{3}$

Para dejar a $b$ solo en un lado de la ecuación, deberás dividir cada lado de la ecuación por $\frac{1}{2}$ . Recuerda, esto es lo mismo que multiplicar cada lado por $\frac{2}{1}$ . Además, recuera que debes reescribir el número mixto $6 \frac{2}{3}$ como una fracción impropia $\left ( \frac{20}{3} \right )$ antes de multiplicarlo por $\frac{2}{1}$ .

$\frac{1}{2}b &= 6 \frac{2}{3}\\\\frac{1}{2}b \times \frac{2}{1} &= 6 \frac{2}{3} \times \frac{2}{1}\\\\frac{\bcancel{1}}{\bcancel{2}}b \times \frac{\bcancel{2}}{\bcancel{1}} &= \frac{20}{3} \times \frac{2}{1}\\\1b &= \frac{40}{3}\\\b &= 13 \frac{1}{3}$

El valor de $b$ es $13 \frac{1}{3}$ .

Ahora, resolvamos una expresión algebraica que tiene tanto decimales como fracciones.

Encuentra el valor de $k$ en: $0.4k + 0.2k + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$ .

Primero, suma los términos semejantes $0.4k$ y $0.2k$ al lado izquierdo de la ecuación.

$0.4k + 0.2k + \frac{3}{10} &= \frac{9}{10}\\\0.6k + \frac{3}{10} &= \frac{9}{10}$

El siguiente paso es despejar el término con la variable, $0.6k$ , a un lado de la ecuación. Podemos realizar esto al restar $\frac{3}{10}$ de ambos lados de la ecuación.

$0.6k + \frac{3}{10} &= \frac{9}{10}\\\0.6k + \frac{3}{10} - \frac{3}{10} &= \frac{9}{10} - \frac{3}{10}\\\0.6k + 0 &= \frac{6}{10}\\\0.6k &= \frac{6}{10}$

Ya que $0.6k$ es lo mismo que $0.6 \times k$ , debemos dividir cada lado de la ecuación por 0,6 para dejar $k$ sola, a un lado de la ecuación. Para esto, debemos dividir una fracción, $\frac{6}{10}$ , por un decimal, 0,6. Para esto, deberás convertir amos números para te tengan la misma forma. Una manera de hacer esto es convertir la fracción $\frac{6}{10}$ a un decimal. Podemos leer, $\frac{6}{10}$ como “seis décimos”, por lo que la forma decimal de $\frac{6}{10}$ es 0,6.

$0.6k &= \frac{6}{10}\\\0.6k &= 0.6\\\\frac{0.6k}{0.6} &= \frac{0.6}{0.6}\\\1k &= 1\\\k &= 1$

El valor de $k$ es 1.

Ejemplo A

$8.7n - 3.2n + 4.5 = 37.5$

Solución: $n =6$

Ejemplo B

$\frac{x}{.9} = -72$

Solución: $x=-64.8$

Ejemplo C

$17x - 22.3x + 4 = -33.1$

Solución: $x = 7$

Ahora regresemos al problema que está al principio de la sección.

Primero, escribe una ecuación para ver lo que sabes y lo que no sabes.

Sábado = 90 minutos

$\text{Monday} = t - \text{missing time}$

$\text{Tuesday} = \frac{1}{2} t - \text{half the time of Monday}$

Tiempo total = 3 horas

$90 + t + \frac{1}{2} t = 3 \ hours$

Primero, convierte las horas en minutes.

$90 + t + \frac{1}{2} t = 180 \ minutes$

Ahora podemos resolver la ecuación.

Práctica del lunes = 60 minutos

Práctica del martes = 30 minutos

Vocabulario

Números Enteros: el conjunto de números totales y sus opuestos.

Números Racionales: un conjunto de números que incluye los números enteros, los decimales, las fracciones y los decimales exactos y periódicos. Estos números se puede escribir como fracción.

Fracción: una parte de un total escrita usando un numerador y un denominador.

Decimal: una parte de un total escrita usando valor posicional y una coma decimal.

Decimal Periódico: un decimal en el que los dígitos repiten un patrón y eventualmente terminan.

Decimal Exacto: un decimal en el que los dígitos eventualmente terminan, pero los números no repiten un patrón.

Práctica Guiada

A continuación, un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Para realizar una llamada a larga distancia, la compañía de teléfonos de Guillermo cobra $0,10 por el primer minuto y $0,05 por cada minuto extra. A Guillermo le cobraron $1,00 por una llamada a larga distancia que realizó el viernes.

a. Escribe una expresión algebraica que pueda utilizarse para representar a $m$ , la cantidad de minutos de la llamada a larga distancia por la cual le cobraron $1,00 a Guillermo.

b. Determina cuántos minutes duró la llamada por la cual le cobraron $1,00.

Solución

Primero, considera la parte a .

Sabes que la compañía de teléfonos cobra $0,10 por el primer minuto y $0,05 por cada minuto extra. ¿Cómo puedes representar esa información? Si la compañía cobrara $0,05 por cada minute que dure la llamada, podrás representar la información como $0.05 \times m$ . Sin embargo, la compañía cobra $0,10 por el primer minuto y $0,05 por cada minuto extra después .

Por lo que, una llamada de un minuto cuesta: $\$0.10 + (\$0.05 \times 0) = \$0.10 + \$0.00 = \$0.10$ .

Una llamada de 2 minutos cuesta: $\$0.10 + (\$0.05 \times 1) = \$0.10 + \$0.05 = \$0.15$ .

Una llamada de un minutos cuesta: $\$0.10 + (\$0.05 \times 2) = \$0.10 + \$0.10 = \$0.20$ .

Nota que el número que multiplicas por $0,05 siempre es 1 menos que el tiempo que duro la llamada, en minutos. Si $m$ representa el tiempo de una llamada en minutos, entonces esto puede representarse como: $\$0.10 + \$0.05 \times (m - 1)$ .

Escribe una ecuación que pueda utilizarse para representar el dinero que gastó Guillermo en la llamada que costó $1.00.

$& (\text{cost of first minute}) + (\text{cost of each minute after first minute}) = (\text{total cost})\\\& \qquad \qquad \downarrow \ \ \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \quad \quad \quad \qquad \qquad \ \downarrow \qquad \ \downarrow\\\& \qquad \qquad 0.10 \qquad \ \quad + \qquad \qquad \qquad \quad 0.05(m-1) \quad \qquad \qquad \ = \quad 1.00$

Por lo que, la ecuación $0.10 + 0.05(m-1) = 1.00$ representa el número de minutes que duró la llamada de $1,00 de Guillermo.

Luego, considera la parte b .

Para saber la cantidad de minutes que duró la llamada de $1,00, resuelve la ecuación para encontrar el valor de $m$ . Primero, utiliza la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación.

$0.10 + 0.05(m-1) &= 1.00\\\0.10 + (0.05 \times m) - (0.05 \times 1) &= 1.00\\\0.10 + 0.05m - 0.05 &= 1.00$

Utiliza la propiedad conmutativa para reorganizar los términos que se suman, para que así sea más fácil ver cómo combinar los términos semejantes.

$(0.10 + 0.05m) - 0.05 &= 1.00\\\(0.05m + 0.10) - 0.05 &= 1.00\\\0.05m + (0.10 - 0.05) &= 1.00\\\0.05m + 0.05 &= 1.00$

Ahora, calcula como lo harías con una ecuación de dos pasos. Primero, resta 0,05 de ambos lados de la ecuación.

$0.05m + 0.05 &= 1.00\\\0.05m + 0.05 - 0.05 &= 1.00 - 0.05\\\0.05m + 0 &= 0.95\\\0.05m &= 0.95$

Luego, divide ambos lados de la ecuación por 0,05.

$0.05m &= 0.95\\\\frac{0.05m}{0.05} &= \frac{0.95}{0.05}\\\1m &= 19\\\m &= 19$

El valor de $m$ es 19, por lo que la llamada que costó $1,00 duró 19 minutos.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Solving Linear Equations 4

Practica

Instrucciones: resuelve cada ecuación para encontrar el valor de la variable.

$7n - 3.2n + 6.5 = 17.9$
$0.2(3 + p) = -5.6$
$s + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = 1\frac{2}{5}$
$j + \frac{5}{7} - \frac{1}{7} = 9\frac{4}{7}$
$\frac{3}{4} \left( g - \frac{1}{2} \right ) = \frac{1}{8}$
$-2 \left ( 1 - \frac{a}{4} \right ) = \frac{1}{8}$
$0.09y - 0.08y = .005$
$.36x + 2.55x = -8.55$
$\frac{1}{3}y + \frac{1}{3}y = 8$
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}x = 18$
$.9x = 56$
$.6x + 1 = 19$
$\frac{1}{4}x + 2 = 19$
$9.05x = 27.15$

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