Escribe y grafica inecuaciones

Aquí, escribirás y graficarás inecuaciones.

¿Alguna vez has tenido que trabajar con un presupuesto? En muchas ocasiones, los eventos escolares tienen presupuestos. Observa el siguiente problema.

Ajay debe comprar decoraciones para el baile escolar. Gastará $10 en globos y $ $x$ serpentina. Como máximo, él gastará $18 en las decoraciones.

Escribe una inecuación que represente $x$ , la cantidad de dinero que Ajay puede gastar en serpentina. En esta sección, aprenderás a realizar este tipo de ejercicio.

Orientación

Comenzaremos a trabajar con cantidades que pueden ser o no iguales.

Estas se denominan inecuaciones.

Tal como una ecuación se expresa utilizando un signo de igualdad, una inecuación también tiene un signo para ser expresada.

$>$ significa “es mayor que”

$<$ significa “es menor que”

$\ge$ significa “es mayor o igual a”

$\le$ significa “es menor o igual a”

Tómate unos minutos para escribir la definición de una inecuación en tu cuaderno.

Comencemos observando algunas inecuaciones.

$2 > x$

Aquí tenemos una inecuación, la cual expresa que dos es mayor que $x$ . . Este problema tiene muchas soluciones. La variable puede sustituirse por cualquier número que haga cierta esta información. Sabemos que la variable puede ser un número negativo. Podemos escribir nuestra respuesta como un conjunto de números que comienza en 1 y los números siguientes bajan de valor.

La respuesta es {1, 0 , -1...}

Aquí hay otro ejemplo.

$5 \le y$

Aquí tenemos una inecuación que expresa un valor menor o igual a 5. La variable puede sustituirse por cualquier número que haga cierta esta información. Esto significa que podemos comenzar en el 5 y los números siguientes deben aumentan de valor.

La respuesta es {5, 6, 7...}

También, podemos graficar inecuaciones en una recta numérica. Graficamos inecuaciones en una recta numérica para visualizar el conjunto de valores que harían a esta expresión ser verdadera. Ya que tenemos: menor que, mayor que, menor o igual a y mayor o igual a; podemos tener cuatro tipos de gráficos diferentes. Aquí hay algunas notas para ayudarte a graficar inecuaciones.

Utiliza un círculo abierto para mostrar que un valor no es la solución de una inecuación. Utilizarás los círculos abiertos para graficar inecuaciones que tengan los signos $>$ o $<$ .
Utiliza un círculo cerrado para mostrar que un valor es la solución de una inecuación. Utilizarás los círculos cerrados para graficar inecuaciones que tengan los signos $\ge$ o $\le$ .

Escribe estas notas en tu cuaderno. Asegúrate de escribirlas bajo el título “graficar inecuaciones”.

Escribe una inecuación que represente todos los valores posibles de $n$ si $n$ s menor que 2. Luego, grafica esas soluciones en una recta numérica.

Primero, transcribe la descripción de arriba a una inecuación. Puedes hacer esto de la misma manera en que escribes ecuaciones. Solo presta atención a las palabras que usas.

$& \ \underline{n}, \underline{is \ less \ than} \ \underline{2}.\\\& \downarrow \qquad \quad \downarrow \quad \ \ \downarrow\\\& \ n \qquad \ < \quad \ \ 2$

Ahora, grafica la inecuación.

Dibuja una recta numérica que vaya desde el -5 al 5.

Sabes que $n$ representa todos los números menores que 2 y puede representarse como $n<2$ . Por lo que, las soluciones de esta inecuación incluyen todos los números menores a 2. El número dos no es una solución de esta inecuación, así que dibuja un círculo abierto en el 2. Luego, traza una flecha que muestre todos los números menor que 2. La flecha debe apuntar a la izquierda, ya que los números de menor valor están en la izquierda de la recta numérica.

Escribe una inecuación para cada Ejemplo.

Ejemplo A

Las cantidades menores o iguales a 4.

Solución: $x\le4$

Ejemplo B

Un número mayor o igual a -12.

Solución: $a\ge-12$

Ejemplo C

El doble de un número es menor que 7.

Solución: $2x<7$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, considera la parte a .

Utiliza un número, un signo de operación, una variable o un signo de desigualdad para representar cada parte del problema. Las palabras claves “como máximo” indica que debes utilizar el $\le$ .

$& \ \underline{\$10 \ on \ balloons} \ \underline{and} \ \underline{x \ dollars \ on \ streamers} \ \ldots \ \underline{At \ most}, \ he \ can \ spend \ \underline{\$18} \ldots \\\& \qquad \quad \ \downarrow \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \quad \ \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow\\\& \qquad \quad \ 10 \qquad \quad \ + \qquad \qquad \quad \ x \qquad \quad \qquad \qquad \ \ \le \qquad \quad \qquad \qquad \ 18$

Por lo que, la inecuación $10+x \le 18$ representa a $x$ , la cantidad de dinero que gastará Ajay en los globos.

Vocabulario

Ecuación: enunciado matemático con un signo de igualdad donde la cantidad en un lado de la ecuación es igual a la cantidad en el otro lado.

Inecuación: Enunciado matemático en donde el valor a un lado del signo de desigualdad puede ser menor que, mayor que, y algunas veces igual al valor del otro lado del signo. La clave es que las cantidades no necesariamente son iguales.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Escribe una inecuación que represente todos los valores posibles de $n$ si $n$ s menor que -4. Luego, grafica esas soluciones en una recta numérica.

Solución

Primero, transcribe la descripción de arriba en una inecuación.

$& \ \underline{n} \ \underline{is \ greater \ than \ or \ equal \ to} \ \underline{-4}.\\\& \downarrow \qquad \qquad \quad \ \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \ \downarrow\\\& \ n \qquad \qquad \quad \ \ge \qquad \qquad \quad \ \ -4$

Ahora, grafica la inecuación.

Dibuja una recta numérica que vaya desde el -5 al 5.

Sabes que $n$ representa todos los números mayores o iguales a -4 y puede representarse como $n \ge -4$ . Por lo que, las soluciones de esta inecuación incluyen todos los números mayores o iguales a -4. El número -4 es una solución de esta inecuación, así que dibuja un círculo cerrado en el -4. Luego, traza una flecha que muestre todos los números mayores a -4. La flecha debe apuntar a la derecha, ya que los números de mayor valor están en la derecha de la recta numérica.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Graph Inequalities on a Number line

Practica

Instrucciones: escribe un conjunto de soluciones para cada inecuación. En cada conjunto de soluciones debe haber al menos tres respuestas.

$x<13$
$y>5$
$x<2$
$y> -3$
$a>12$
$x \le 4$
$y \ge 3$
$b \ge -3$
$a \le -5$
$b \ge 11$

Instrucciones: escribe una inecuación para describir cada situación.

Un número es menor o igual a -8.
Un número es mayor que 50.
Un número es menor que -4.
Un número es mayor que -12.
Un número es mayor o igual a 11.

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