Resolución de inecuaciones utilizando la suma y la resta

Aquí resolverás inecuaciones utilizando la suma y la resta.

Los estudiantes de la Escuela Floyd están recolectando fondos. Vendieron palomitas, tuvieron una venta de pasteles o un puesto de lavado de autos. Finalmente, cuando quedaba poco tiempo para comprar los uniformes, la señora Kline reunió a la banda una tarde para hablar sobre las ganancias obtenidas.

“Vendimos mucho”, comenzó diciendo. “recolectamos un total de $12.000 y tenemos $1.000 en nuestra cuenta bancaria, por lo que tenemos $13.000 para gastar en nuestros uniformes. Sé que pareciera que tuviésemos mucho dinero, pero los uniformes son caros. Solo seremos capaces de comprar una chaqueta para cada uno. Si queda dinero después de eso, compraremos guantes sin dedos, ya que algunos están muy gastados”.

“Señora. Kline, ¿ya escogió el diseño de la chaqueta?”, preguntó, desde la segunda fila, Kayla.

“Sí. Es uno de los que escogimos el año pasado”, dijo, sosteniendo una fotografía de una nueva y brillante chaqueta azul marino. “Ahora, necesito que alguno de ustedes saque las cuentas y descubra el valor de las chaquetas y si podremos comprar los guantes”.

Kayla y Juan se ofrecieron para calcular los costos. A continuación, la información que les dio la señora Kline.

Cada chaqueta cuesta $99.95.

El presupuesto es de $13,000.

Hay 144 estudiantes en la banda.

“Gastaremos $11.512,80 en las chaquetas”, dijo Kayla a Juan.

“Guau, eso es mucho dinero. ¿Cuánto podremos gastar en los guantes?”

Esa es una muy buena pregunta. Podemos conocer la respuesta escribiendo una inecuación. Los estudiantes solo pueden gastar $13.000 o menos. En esta sección, aprenderás a trabajar con inecuaciones que tienen suma o resta o las dos. Luego, utilizarás lo aprendido para ayudar a Kayla y Juan con el problema de los uniformes.

Orientación

Algunas veces, tendrás una inecuación que no es tan sencilla como $x>4$ . Con este ejemplo, sabemos que la variable será igual a cualquier número mayor que cuatro. Ese ejemplo es muy fácil y podemos escribir un conjunto de números para que la inecuación sea cierta.

¿Qué pasaría si no fuera tan simple?

Algunas veces, tendrán inecuaciones como esta.

$x+3>7$

Aquí, debemos descubrir el conjunto de números que hará la inecuación verdadera. Estamos buscando un número que cuando se le suma tres es mayor que siete.

Para averiguar esto, necesitaremos resolver la inecuación.

Resolver una inecuación es similar a resolver una ecuación. A continuación, unas propiedades de los números que te ayudarán a resolver inecuaciones.

La propiedad de la adición de la inecuación señala que si el mismo número se suma a cada lado de la inecuación, el estado de la inecuación no cambia. En otras palabras, el signo de desigualdad no cambia.

Si $a>b$ , entonces $a+c>b+c$ . Si $a \ge b$ , entonces $a+c \ge b+c$ .

Si $a<b$ , entonces $a+c<b+c$ . Si $a \le b$ , entonces $a+c \le b+c$ .

¿Y, en el caso de la sustracción? Recuerda, restar un número, $c$ , es lo mismo que sumar su opuesto, $-c$ . Por lo que, la propiedad de la adición de la inecuación se aplica del mismo modo a la sustracción. Podemos señalar esto como una propiedad.

La propiedad de la sustracción de la inecuación señala que si el mismo número se resta a cada lado de la inecuación, el estado de la inecuación no cambia. En otras palabras, el signo de desigualdad no cambia.

Si $a>b$ , entonces $a-c > b-c$ . Si $a \ge b$ , entonces $a-c \ge b-c$ .

Si $a<b$ , entonces $a-c < b-c$ . Si $a \le b$ , entonces $a-c \le b-c$ .

Utilizar estas propiedades hace que nuestro trabajo sea más sencillo. Puedes pensar en la resolución de inecuaciones del mismo modo que la resolución de ecuaciones. La gran diferencia es que en vez de tener solo un número como respuesta, obtendrás un conjunto de ellos. Tal como con las ecuaciones, debes asegurarte que tu respuesta satisfaga a la inecuación. Si este no es el caso, necesitarás otra respuesta.

Ahora, observemos cómo resolver inecuaciones.

Resuelve esta inecuación y grafica su solución: $n-3<5$ .

Resuelve esta inecuación del mismo modo en que resolverías una ecuación: utilizando operaciones inversas. Ya que el 3 se resta de $n$ , suma 3 a ambos lados de la inecuación para resolverla. Ya que estás sumando la misma cantidad a ambos lados de la ecuación, se pone en práctica la propiedad de la adición de la inecuación. De acuerdo con esta propiedad, sabemos que el signo de desigualdad no cambia una vez que sumas el mismo número (3) a ambos lados de la inecuación.

¡Recuerda! Para resolver inecuaciones debes recordar cómo sumar y restra números enteros. Presta atención al sigo cuando trabajes con estos valores.

$n-3 &< 5\\\n-3+3 &< 5+3\\\n+(-3+3) &< 8\\\n+0 &< 8\\\n &< 8$

Ahora, grafica la solución. La inecuación $n<8$ se lee “ $n$ es menor que 8.” Por eso, el conjunto de soluciones de esta inecuación incluye a todos los números menor que 8, pero no incluye al 8.

Dibuja una línea numérica que vaya del 0 al 10. Añade in círculo abierto en el 8 para señalar que el 7 no es una solución a este problema. Luego, traza una fleche que muestre todos los números menor que 8.

Resuelve esta inecuación y grafica su solución: $-2 \le x+4$

Utiliza las operaciones inversas para despejar la variable. Ya que a $x$ , se le suma 4, resta 4 de ambos lados de la inecuación para resolverla. Ya que estas restando el mismo número a ambos lados de la inecuación, la propiedad de la sustracción se pone en práctica. De acuerdo con esta propiedad, el signo de desigualdad no debe cambiar cuando restamos el mismo número (4) de ambos lados de la inecuación.

$-2 & \le x+4\\\-2-4 & \le x+4-4\\\-2+(-4) &\le x+0\\\-6 & \le x$

Ahora, debemos graficar la solución. Sin embargo, antes de eso, debemos reescribir la inecuación para que así la variable esté primero. La inecuación $-6 \le x$ se lee “-6 es menor o igual que $x$ .” Si ponemos primero la $x$ debemos dar vuelta el signo de desigualdad. Esto significa cambiar el signo “menos o igual que” $(\le)$ a un signo “menos o igual que” $(\ge)$ .

Entonces, $-6 \le x$ equivale a $x \ge -6$ .

Esto tiene sentido. Si -6 es menor o igual que $x$ , entonces $x$ debe ser mayor o igual que -6.

La inecuación $x \ge -6$ se lee “ $x$ es mayor o igual que -6.” Por lo cual, la solución de este problema incluye al -6 y a todos los números mayores que este -6.

Dibuja una línea numérica que vaya del 0 al 10. Añade in círculo cerrado en el -6 para señalar que el -6 es una solución a este problema. Luego, traza una fleche que muestre todos los números mayores que -6.

Ejemplo A

$x+5<-12$

Solución: $x<-17$

Ejemplo B

$y-8\le5$

Solución: $y\le13$

Ejemplo C

$a-5\ge22$

Solución: $a\ge27$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, escribe una inecuación que represente el costo del uniforme, el desconocido precio de los guantes y el total del presupuesto. La cantidad de dinero que se gaste en los uniformes y los guantes tiene que ser menor o igual al total del presupuesto.

$\$ 11,512 = \text{cost of uniforms}$

$x = \text{budget for gloves}$

$\le$

$13,000

Aquí está la inecuación

$11,512 + x \le 13,000$

Resuelve la inecuación utilizando las operaciones inversas.

$x &\le 13,000 - 11,512\\\x & \le \$1487.20$

Los estudiantes podrán gastar $1487,20 en guantes.

Vocabulario

Ecuación: enunciado matemático con un signo de igualdad donde la cantidad en un lado de la ecuación es igual a la cantidad en el otro lado.

Inecuación: enunciado matemático en donde el valor a un lado del signo de desigualdad puede ser menor que, mayor que, y algunas veces igual al valor del otro lado del signo. La clave es que las cantidades no necesariamente son iguales.

Propiedad de adición de la inecuación: puedes sumar una cantidad a ambos lado de la inecuación y esto no cambia el sentido de la inecuación.

Propiedad de sustracción de la inecuación: puedes restar una cantidad a ambos lado de la inecuación y esto no cambia el sentido de la inecuación.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

En la tienda, Talia compró un artículo—una botella de champú por la que pagó $4.99. La $d$ representará la cantidad de dinero en dólares que le entregó al vendedor. Ella recibió un cambio de $5.

a. Escribe una inecuación que represente a $d$ , la cantidad de dólares que Talia le dio al vendedor al pagar el champú.

b. Escribe tres posibles valores de $d$ .

Solución

Primero, considera la parte a .

Utiliza un número, un signo de operación, una variable o un signo de desigualdad para representar cada parte del problema. El hecho que este problema tenga “cambio” puede ayudarte a ver que necesitas escribir una expresión con una sustracción para representar la primera parte del problema. Para representar la cantidad de cambio que Talia recibe, deberás restar la cantidad de dinero que costó el champú de la cantidad de dinero que ella le dio al vendedor. Las palabras claves “mayor que”, en este caso, indican que debes usar el signo $>$ Utiliza esta información para escribir una inecuación para este problema.

$& (\text{dollars handed to the clerk}) - (\text{cost of \$4.99 bottle of shampoo}) > (\text{\$5 in change})\\\& \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \quad \downarrow\\\& \qquad \qquad \qquad d \qquad \qquad \qquad - \qquad \qquad \qquad \quad 4.99 \qquad \qquad \qquad > \quad \quad \ \ 5$

Así que, este problema puede representarse por la inecuación $d-4.99 > 5$ .

Luego, considera la parte b .

Resuelve la inecuación para encontrar tres posibles valores para $d$ . Para resolver esta inecuación, suma 4,99 a ambos lados la inecuación. No cambies el signo de la desigualdad.

$d-4.99 & > 5\\\d - 4.99+4.99 &> 5+4.99\\\d+(-4.99+4.99) &> 5.00+4.99\\\d+0 &> 9.99\\\d &> 9.99$

De acuerdo a la inecuación, la cantidad de dinero que le entregó Talia al vendedor es más de $9.99.

Por lo que, tres posibles valores de $d$ son $10,00; $10,99 y $20,00. Estos son solo tres valores posibles. Tú puedes escoger cualquier valor mayor que $9.99.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Inequalities Using Addition and Subtraction

Practica

Instrucciones: resuelve las siguientes inecuaciones.

$x+4>10$
$y-11<20$
$a+2<1$
$b+3 \ge 5$
$y-2 \le -4$
$x+1 \ge -5$
$x-3<11$
$x-4>-3$
$y+7>22$
$a-6\ge-1$
$b+14>20$
$x-24>-11$
$a+3\le-9$
$x-12>1$
$y+13>-33$

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