Resolución de inecuaciones utilizando la multiplicación

Aquí resolverás inecuaciones utilizando la multiplicación.

¿Alguna vez has tenido que utilizar la multiplicación para resolver una inecuación? Estudia el siguiente problema.

Emma Frances tomó una pila de galleta y las dividió en 11 porciones. Cuando terminó, tenía 22 pilas de galletas. Ella sabe que la cantidad de galleta que tiene es mayor o igual que 242.

¿Puedes utilizar una inecuación para probar que Emma está en lo cierto?

$\frac{x}{11} > 22$

Presta atención. En esta sección, aprenderás a realizar esta clase de operaciones de manera exitosa.

Orientación

Una inecuación es un enunciado matemático en donde una cantidad puede ser menor, mayor o igual a otra cantidad. Puedes identificarlas y resolverlas utilizando sus cuatro propiedades. Ahora, resolveremos inecuaciones que tienen multiplicación.

Observemos esto más cercanamente.

Tal como, a veces, necesitas multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número para resolverla, puedes necesitar multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por el mismo número para resolverla. Sin embargo, hacer esto puede ser un poco más complicado.

Primero, estúdiennos una propiedad que nos puede servir para resolver una inecuación que tiene multiplicación.

La propiedad de la multiplicación de la inecuación señala que si se multiplica cada lado de la inecuación por el mismo número positivo, el estado de la inecuación no cambia. En otras palabras, el signo de desigualdad no cambia.

Si $a>b$ y $c>0$ , entonces $a \times c > b \times c$ . Si $a \ge b$ y $c > 0$ , entonces $a \times c \ge b \times c$ .

Si $a < b$ y $c > 0$ , entonces $a \times c < b \times c$ . Si $a \le b$ y $c > 0$ , entonces $a \times c \le b \times c$ .

Sin embargo, si se multiplica cada lado de la inecuación por el mismo número negativo el estado de la inecuación cambia y el signo de desigualdad debe invertirse.

Si $a > b$ y $d < 0$ , entonces $a \times d < b \times d$ . Si $a \ge b$ y $d<0$ , entonces $a \times d \le b \times d$

Si $a < b$ y $d < 0$ , entonces $a \times d > b \times d$ . Si $a \le b$ y $d < 0$ , entonces $a \times d \ge b \times d$

Cuando resuelves una inecuación utilizando la multiplicación, verás la división en el problema original.

Sí. Cuando resuelves una inecuación utilizando la multiplicación, verás la división en el problema original. Piensa de esta manera, utilizas la operación inversa para resolver una inecuación. Para resolver la inecuación, debemos ver la división primero.

Resuelve esta inecuación: $1 < \frac{x}{2}$ .

Resuelve esta inecuación del mismo modo en que resolverías una ecuación: utilizando operaciones inversas. Nota que la línea fraccionaria se utilizada en este caso para mostrar una división. Ya que $x$ es dividido por 2, multiplica ambos lado de la inecuación por 2 para resolver el problema. Ya que es necesario multiplicar cada lado de la inecuación por el mismo número positivo, el estado de la inecuación no cambia y no necesitaremos voltear el signo de desigualdad.

$1 &< \frac{x}{2}\\\1 \times 2 &< \frac{x}{2} \times 2\\\2 &< \frac{x}{\bcancel{2}} \times \frac{\bcancel{2}}{1}\\\2 &< x$

La respuesta es $x$ es mayor que 2 o, puedes decir que 2 es menor que $x$ .

Identifica el signo de desigualdad que debe ir en cada espacio en blanco.

Ejemplo A

$k & \ > m\\\k \times 3 & \ \underline{\;\;\;\;\;} \ m \times 3$

Solución: $>$

Ejemplo B

$m & \ \ge n\\\m \times \left(-\frac{1}{2}\right) & \ \underline{\;\;\;\;\;} \ m \times \left(-\frac{1}{2}\right)$

Solución: $=$

Ejemplo C

$-1 & \ < 2\\\(-1) \times (-3) & \ \underline{\;\;\;\;\;} \ 2 \times (-3)$

Solución: $<$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

$\frac{x}{11} > 22$

Nota que esta inecuación tiene una división, por lo que podemos utilizar la multiplicación para resolverla. Multiplicamos ambos lados de la inecuación por 11. El número en el lado izquierdo se elimina y nuestra respuesta está en el lado derecho.

$x > 11(22)$

$x > 242$

Al utilizar la multiplicación, comprobamos que lo que dijo Emma es cierto.

Vocabulario

Inecuación: enunciado matemático en donde dos cantidades pueden o no ser iguales. Hay muchas posibles respuestas para una inecuación.

Propiedad de multiplicación de la inecuación: multiplicación de un número positive = inecuación es lo mismo. En la multiplicación de un números negativo el sentido de la inecuación cambia y se debe dar vuelta el signo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Busca el valor de la variable.

$\frac{x}{4}\le-9$

Solución

Este problema inecuación tiene una división, por lo que podemos utilizar el inverso para resolverla.

El inverso de la división es la multiplicación. Multiplicamos ambos lados de la inecuación por 4. Luego, podemos simplificar y multiplicar para encontrar la solución.

$x\le-9(4)$

$x\le-36$

Esta es nuestra respuesta.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Inequalities Using Multiplication and Division

Practica

Instrucciones: resuelve cada inecuación utilizando la multiplicación.

$\frac{a}{3} < 10$
$\frac{x}{2} > 20$
$\frac{b}{4} < 25$
$\frac{x}{5} > 100$
$\frac{c}{2} \le 20$
$\frac{x}{7} > 6$
$\frac{y}{9} \le 2$
$\frac{y}{11} \ge 5$
$\frac{x}{2} < 3$
$\frac{y}{8} \ge -7$
$\frac{x}{3} < -2$
$\frac{y}{4} \le -3$
$\frac{x}{2} \ge -11$
$\frac{a}{13} \ge -3$
$\frac{x}{22} \ge -5$

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