Resolución de inecuaciones utilizando la división

Aquí resolverás inecuaciones utilizando la división.

“Creo que necesito otros zapatos para la banda”, dijo Kayla a su madre en el desayuno una mañana.

“Por qué? ¿Te han crecido los pies?” le respondió su madre, tomando un poco de café.

“No estoy segura, pero tengo una ampolla en los dedos”.

“De acuerdo, debemos comprarte nuevos zapatos. No tienes práctica de la banda hoy, así que vayamos después de la escuela a comprarlos. Te dará tiempo para adaptarte a ellos hasta el juego del viernes.”

Luego de la escuela, la madre de Kayla la llevó a una tienda de zapatos. Primero, Kayla eligió un par bastante caro, pero no están en oferta. Su madre escogió un bonito par que costaba más barato.

“Estos están a mitad de precio. Comprémoslos”, dijo la madre de Kayla.

Kayla le llevó la razón y compraron los zapatos. Su madre le entrego al vendedor más de $40,00 y recibió algo de cambio.

Los zapatos estaban a mitad de precio. Gastaron menos de $40,00 en ellos. ¿Puedes averiguar el posible precio original de los zapatos de Kayla?

Para calcular este problema, tendremos que utilizar inecuaciones con multiplicaciones y divisiones. No te apures al trabajar. Al final de esta sección, verás nuevamente este problema.

Orientación

Una inecuación es un enunciado matemático en donde una cantidad puede ser menor, mayor o igual a otra cantidad. Puedes identificarlas y resolverlas utilizando sus cuatro propiedades. Ahora, resolveremos inecuaciones que tienen multiplicación.

Observemos esto más cercanamente.

Tal como, a veces, necesitas multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número para resolverla, puedes necesitar multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por el mismo número para resolverla. Sin embargo, hacer esto puede ser un poco más complicado.

¿Sabemos cómo dividir y resolver inecuaciones?

Una de las primeras cosas que debes estar preguntando es qué pasa cuando divides ambos lados de la inecuación por un mismo número.

Recuerda, dividir por un número, $c$ , es lo mismo que multiplicar por su recíproco, $\frac{1}{c}$ . Por lo que, las propiedades de la multiplicación de la inecuación también se aplican a la división. Podemos señalar esto como una propiedad.

La propiedad de la división de la inecuación señala que si se divide cada lado de la inecuación por el mismo número positivo el estado de la inecuación no cambia. En otras palabras, el signo de desigualdad no cambia.

Si $a > b$ y $c > 0$ , entonces $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ . Si $a \ge b$ y $c > 0$ , entonces $\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}$ .

Si $a < b$ y $c > 0$ , entonces $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ . Si $a \le b$ y $c > 0$ , entonces $\frac{a}{c} \le \frac{b}{c}$ .

Sin embargo, si se divide cada lado de la inecuación por el mismo número negativo el estado de la inecuación cambia y el signo de desigualdad debe invertirse.

Si $a > b$ y $d < 0$ , entonces $\frac{a}{d} < \frac{b}{d}$ . Si $a \ge b$ y $d < 0$ , entonces $\frac{a}{d} \le \frac{b}{d}$ .

Si $a < b$ y $d < 0$ , entonces $\frac{a}{d} > \frac{b}{d}$ . Si $a \le b$ y $d < 0$ , entonces $\frac{a}{d} \ge \frac{b}{d}$ .

Recuerda que para resolver una inecuación utilizando la división, deberás ver multiplicación en el problema. Esto es porque la operación inversa de la división es la multiplicación y debemos utilizar las operaciones inversas para resolver el problema.

Encuentra el valor de la variable: $-3n \ge 12$ .

Despeja la variable utilizando operaciones inversas. Ya que -3 se multiplica por $n$ , divide ambos lados de la inecuación por -3 para resolver este problema. Ya que deberás dividir cada lado de la inecuación por el mismo número negativo, el estado de la inecuación cambia y el signo de desigualdad debe invertirse. Esto significa cambiar el signo de desigualdad $(\ge)$ “mayor o igual que” $(\le)$ .

$-3n & \ge 12\\\\frac{-3n}{-3} & \le \frac{12}{-3}\\\1n & \le -4\\\n & \le -4$

La respuesta es $n$ es menor o igual que cuatro negativo.

Identifica el signo de desigualdad que debe ir en cada espacio en blanco.

Ejemplo A

$s &> t\\\s \div (-5) & \ \underline{\;\;\;\;\;} \ t \div (-5)$

Solución: $>$

Ejemplo B

$p & \ge q\\\p \div 0.5 & \ \underline{\;\;\;\;\;} \ q \div 0.5$

Solución: $\ge$

Ejemplo C

$-2 & < 2\\\\frac{-2}{-1} & \ \underline{\;\;\;\;\;} \ \frac{2}{-1}$

Solución: $>$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, escribe una inecuación que describa los valores del problema.

$x$ es el desconocido precio original de los zapatos. Esta es la incógnita que buscamos resolver.

$\div 2$ es el precio de los zapatos que estaban a mitad de precio.

$<$ menor que $40.00

Ya que la madre de Kayla de dio al vendedor $40,00, sabemos que los zapatos costaron menos de esa cantidad.

Aquí está nuestra inecuación.

$\frac{x}{2} < \$ 40.00$

Ahora podemos buscar los posibles precios.

$2 \cdot \frac{x}{2} & < \$ 40.00 \cdot 2\\\x &< \$ 80.00$

Tres posibles precios originales pueden ser $75,00; $60,00 o $55,00. Sin embargo, hay muchas otras posibilidades.

Vocabulario

Inecuación: enunciado matemático en donde dos cantidades pueden o no ser iguales. Hay muchas posibles respuestas para una inecuación.

Propiedad de multiplicación de la inecuación: multiplicación de un número positiva = inecuación es lo mismo. En la multiplicación de un número negativo el sentido de la inecuación cambia y se debe dar vuelta el signo.

Propiedad de división de la inecuación: división de un número positiva = inecuación es lo mismo. En la división de un número negativo el sentido de la inecuación cambia y se debe dar vuelta el signo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Maddie debe comprar botellas de agua para un evento escolar. La tienda solo vende botellas de agua en paquetes de seis. Maddie quiere asegurase de comparar por lo menos 72 botellas de agua para el evento.

a. Escribe una inecuación que represente a, $p$ , el número de pautes de seis botella que ella puede comprar.

b. Si Maddie compra 12 paquetes de botellas de agua, ¿será suficiente? Explica.

Solución

Primero, considera parte la a .

Utiliza un número, un signo de operación, una variable o un signo de desigualdad para representar cada parte del problema. Ya que las botellas de agua se vende en paquetes de seis, puedes saber la cantidad de botellas compradas al multiplicar 6 por el número de paquetes comprados. Las palabras claves “al menos” indican que debes utilizar el signo $\ge$ .

$& \ldots \underline{sells \ bottles \ of \ water \ in \ six-packs} \ldots make \ sure \ there \ are \ \underline{at \ least} \ \underline{72 \ bottles \ of \ water} \ldots\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \qquad \quad \quad \downarrow\\\& \qquad \qquad \quad \qquad \quad \ 6 \times p \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ge \qquad \qquad \quad \ 72$

La ecuación $6 \times p \ge 72$ o $6p \ge 72$ representa este problema.

También debes tener en cuenta que el valor de $p$ debe ser un entero mayor o igual a 0. Piensa en esto por un momento.

La razón por el cual el valor de $p$ debe ser mayor que cero es porque Maddie no puede comprar una cantidad negativa de paquetes con botellas de agua. El valor de $p$ debe ser un entero, porque en el enunciado dice que la tienda solo vende botellas de agua en paquetes de seis. Cuando utilizamos las inecuaciones para representar situaciones de la vida cotidiana, debes pensar en los valores razonables que lleguen a satisfacer la inecuación. Algunos valores negativos y fraccionarios la satisfacen, en algunas ocasiones; en otras, ese no es el caso.

Luego, considera la parte b .

Resuelve la inecuación para conocer el valor de la incógnita.

$6p & \ge 72\\\\frac{6p}{6} & \ge \frac{72}{6}\\\1p & \ge 12\\\p & \ge 12$

Ahora, consideremos si Maddie puede comprar 11 paquetes para tener suficientes para el evento. De acuerdo a la inecuación anterior, el número de paquetes, $p$ , que debe comprar es mayor o igual a 12. Ya que 11 es menor que 12, ese valor no es una solución de esta inecuación.

Esto significa que Maddie solo compra 11 paquetes de botellas de agua, no tundra suficientes botellas para el evento.

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Inequalities Using Multiplication and Division

Practica

Instrucciones: resuelve cada inecuación utilizando la división.

$3x<12$
$5x>60$
$6x<72$
$9x>81$
$11x>121$
$12x \le 48$
$13x \ge 39$
$15x \le 60$
$22x>66$
$48x \le 192$

Instrucciones: resuelve cada inecuación.

$4x > -36$
$-9n \ge 63$
$7n \ge 63$
$-19x \le 38$
$-9y < 18$

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