Resolución de inecuaciones que tienen términos semejantes combinados

Aquí aprenderás a resolver inecuaciones que tengan términos semejantes combinados.

“Tenemos mucho que hacer para alistarnos para el gran desfile”, dijo la señora Kline el lunes.

La señora Kline estaba en lo correcto. Los estudiantes que formaban parte de la banda aprendieron tres nuevas rutinas de marchas que todavía no dominaban bien. Les tomaría más práctica para hacerlo. Para hacer esto, la señora Kline hizo marchar a los alumnos por más tiempo.

El martes, marchó por treinta minutes menos que el jueves. De igual manera, todos estaban cansados.

“Marchamos más de tres horas entre el martes y hoy”, dijo Juan cuando volvía a su casa el jueves. Sus pies eran testigos de todo lo que habían marchado, sin embrago, el trabajado había dado frutos, ya que la banda sonaba y marchaba mejor.

Dada esta información, busca tres posibles cantidades de tiempos que indiquen cuánto marchó la banda el jueves

Necesitarás saber sobre inecuaciones para resolver este problema. Para resolver este problema, tendrás que escribir y calcular una inecuación que tendrá más de un paso. En esta sección, aprenderás toda la información que necesitas conocer para resolver este problema.

Orientación

Podemos calcular inecuaciones de distintas formas. Algunas inecuaciones pueden resolverse en solo un paso. Podemos resolver $b+4<10$ en solo un paso—al restar 4 de cada lado de la inecuación.

Sin embrago, algunas inecuaciones necesitan dos o más pasos para ser resueltas. Las inecuaciones que necesitan de más de una operación inversa se denominan inecuaciones de múltiples pasos.

Comencemos observando los términos semejantes combinados cuando resolvemos una inecuación.

$4x+3x<21$

Primero, puedes ver que tenemos dos términos que tienen la misma variable . Estos son términos semejantes . Para calcular una inecuación con términos semejantes, deberemos combinar esos términos para luego utilizar los métodos ya aprendidos, para resolver la inecuación.

$7x<21$

Aquí dividimos ambos lados de la inecuación por 7. La multiplicación es la operación inversa de la división.

$x<3$

Esta es nuestra respuesta.

Calcula el valor de $b$ en: $3b+4<10$ .

Nota que hay dos términos al lado izquierdo de la inecuación, $3b$ . Lo que primero debemos hacer es utilizar las operaciones inversas para aislar el término con la variable, $3b$ , a un lado de la inecuación.

En la inecuación, a $3b$ se le suma 4. Por lo que, podemos utilizar la operación inversa a la suma (resta). Podemos restar 4 de cada lado de la inecuación. No necesitamos cambiar el signo de desigualdad durante esta etapa, ya que solo estamos restando un número no multiplicando o dividiendo por un número negativo.

$3b+4 &< 10\\\3b+4-4 &< 10-4\\\3b+0 &< 6\\\3b &< 6$

Ahora, el término que incluye la variable, $3b$ , está a una lado de la inecuación por sí solo.

Ahora podemos utilizar las operaciones inversas para despejar $b$ . Ya que $3b$ es lo mismo que $3 \times b$ , podemos dividir ambos lados por 3 para despejar la variable. Ya que estamos dividiendo por un número positive, y no uno negativo, el signo de desigualdad no cambia.

$3b &< 6\\\\frac{3b}{3} &< \frac{6}{3}\\\1b &< 2\\\b &< 2$

La solución es $b<2$ .

Ejemplo A

$4x+5<21$

Solución: $x<4$

Ejemplo B

$3x-6>30$

Solución: $x>12$

Ejemplo C

$-3a + 2 < 14$

Solución: $a > -4$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, escribe una inecuación utilizando la información.

$m - 30$ es el tiempo que los estudiantes practicaron el martes.

$m$ es el tiempo que practicaron el jueves

$>3$ horas son el tiempo total que practicaron.

Aquí está la inecuación.

$m + m - 30 > 3$ horas o 180 minutos

Tienen sentido trabajar conminutos, porque el tiempo dado está en minutos.

Ahora podemos resolver la inecuación.

$2m - 30 &> 180\\\2m &> 210\\\m &> 105 \ minutes$

La banda marchó por más de 105 minutos el jueves. Puedes asumir que marcharon por 110, 115 o 120 minutos. Todas esas respuestas son correctas.

Vocabulario

Inecuación: enunciado matemático en donde una cantidad puede ser menor, mayor o igual a otra cantidad.

Operación inversa: a operación opuesta. Estas se utilizan para resolver problemas.

Términos semejantes: términos que en una ecuación o una inecuación que tienen la misma variable común o no tienen variable.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el valor de $n$ en: $7n-8n-3>23$ .

Solución

Primero, resta $7n-8n$ ya que $7n$ y $8n$ son términos semejantes. Recuerda, deberás recordar calcular enteros negativos y positivos para resolver estas inecuaciones.

$7n-8n-3 &> 23\\\7n+(-8n)-3 &> 23\\\[7n+(-8n)]-3 &> 23\\\-1n-3 &> 23\\\-n-3 &> 23.$

La expresión a la izquierda del signo de desigualdad, $-n-3$ , ahora está en su forma más simplificada. No podemos restar 3 de $-n$ ya que no son término semejantes.

El siguiente paso es dejar la variable sola, $-n$ , a un lado de la inecuación. Ya que el 3 se resta de $-n$ , podemos sumar 3 a cada lado de la inecuación para despejar la variable.

$-n-3 &> 23\\\-n-3+3 &> 23+3\\\-n+(-3+3) &> 26\\\-n+0 &> 26\\\-n &> 26$

Ya que $-n$ es lo mismo que $-1n$ o $-1 \times n$ , podemos dividir ambos lados de la inecuación por -1 para obtener un $n$ positivo a un lado del signo. Ya que al hacer esto, dividimos ambos lados por un número negativo, debemos voltear el signo de desigualdad.

$-n &> 26\\\-1n &> 26\\\\frac{-1n}{-1} &< \frac{26}{-1}\\\1n &< -26\\\n &< -26$

La solución de esta inecuación es $n < -26$ .

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Solving Multi-step Inequalities

Practica

Instrucciones: resuelve cada inecuación.

$2x+5>13$
$4x-2<10$
$6y+9>69$
$2x-3 \le -4$
$5x+2 \ge -8$
$2x-9 \le -5$
$\frac{x}{3}+1>5$
$\frac{x}{2}-1<-3$
$\frac{x}{5}+3>-9$
$\frac{x}{2}-5>-10$
$6k-3 > 15$
$11 + \frac{x}{4} \le 12$
$12+9j+j<72$
$12b-3b+5 \ge -31$
$18+7n+3+6n \le 86$
$3z-15z-30>54$

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