Resolución de inecuaciones utilizando la propiedad distributiva

Aquí resolverás inecuaciones utilizando la propiedad distributiva.

¿Alguna vez has tratado de construir una plataforma? Estudia esta situación.

La señora Layne quiere construir una plataforma rectangular en su patio trasero. Quiere que esta mida exactamente 9 pies de largo. Quiere que el perímetro de este sea, como máximo, 28 pies. El perímetro de un triángulo se encuentra en la siguiente expresión $P=2(l+w)$ , donde representa el largo $l$ $w$ el ancho.

Escribe una inecuación represente el valor $w$ , los posibles anchos, en pies (unidad de medición), para que ella pueda construir la plataforma. Para obtener la plataforma que quiere, ¿podría el ancho ser de 6 pies?

En esta sección, aprenderás a utilizar la propiedad distributiva apara resolver inecuaciones. Y esto es exactamente lo que necesitas aprender para solucionar el problema anterior.

Orientación

Las inecuaciones que verás en esta sección tienen paréntesis. Podemos simplificar una ecuación con paréntesis al utilizar la propiedad distributiva. Podemos hacer esto con las inecuaciones, también. Utilizar esta propiedad te ayudará a simplificar una inecuación para que te resulte más fácil resolverla.

Calcula el valor de $q$ en: $-9(q+3)<45$

Pone en práctica la propiedad distributiva al lado izquierdo de la inecuación. Multiplica los números dentro del paréntesis por -9 y luego suma sus productos.

$-9(q+3) &< 45\\\(-9 \times q)+(-9 \times 3) &< 45\\\-9q+(-27) &< 45$

Ahora, calcula tal como lo harías con una inecuación de dos pasos. Ya que -27 se suma a $-9q$ , podemos aislar $-9q$ a un lado del signo al restar -27 de ambos lados de la inecuación. Recuerda, restar -27 a un número es lo mismo que sumar su opuesto, 27, a ese número.

$-9q+(-27) &< 45\\\-9q+(-27)-(-27) &< 45-(-27)\\\-9q+(-27+27) &< 45+27\\\-9q+0 &< 72\\\-9q &< 72$

Para despejar $q$ a un lado de la inecuación, debemos dividir ambos lados por -9. Ya que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, debemos invertir el signo de desigualdad.

$-9q &< 72\\\\frac{-9q}{-9} &> \frac{72}{-9}\\\1q &> -8\\\q &> -8$

La solución es $q > -8$ .

$\frac{1}{2} (x+4) \le 10$

Primero, utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar uno y medio con los dos términos dentro del paréntesis.

$\frac{1}{2} x+2 \le 10$

Luego, restamos dos de cada lado de la inecuación.

$\frac{1}{2} x \le 8$

Ahora, podemos multiplicar ambos lados por el recíproco de uno y medio, el cual eliminará a uno y medio y despejará la variable. Este es un ejemplo de la propiedad inversa multiplicativa.

$\frac{2}{1} \left(\frac{1}{2}\right) x \le 8 \left(\frac{2}{1}\right)$

La respuesta es $x \le 16$ .

Ejemplo A

$-5(x+2)>15$

Solución: $x < -5$

Ejemplo B

$6(x-4)\ge24$

Solución: $x\ge8$

Ejemplo C

$-2(y+3)\le12$

Solución: $y\ge-9$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, considera la parte a .

Sabes que el largo es 9 pies, por lo que sustituimos la $l$ por el 9 en la expresión $2(l+w)$ . Esta expresión representa el perímetro actual de la plataforma.

$\text{actual perimeter}=2(l+w)=2(9+w)$

Ya que ella quiere que el perímetro se “como máximo” de 28 pies, debes utilizar el signo “menor o igual que” $(\le)$ Transcribe este problema en una inecuación.

$& She \ wants \ the \ \underline{perimeter} \ of \ her \ deck \ to \ be, \ \underline{at \ most}, \ \underline{28 \ feet}.\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \downarrow \qquad \quad \ \downarrow\\\& \qquad \qquad \qquad \ 2(9+w) \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \le \qquad \quad 28$

Por lo que, este problema puede representarse por la inecuación $2(9+w) \le 28$ .

Luego, considera la parte b .

Para encontrar todos los valores posibles de $w$ , resuelve la inecuación. Primero, pone en práctica la propiedad distributiva al lado derecho del signo de desigualdad.

$2(9+w) & \le 28\\\(2 \times 9)+(2 \times w) & \le 28\\\18+2w & \le 28$

Ahora, calcula tal como lo harías con una inecuación de dos pasos. Primero resta 18 de cada lado de la inecuación.

$18+2w & \le 28\\\18-18+2w & \le 28-18\\\0+2w & \le 10\\\2w & \le 10$

Luego, divide ambos lado de la inecuación por 2. Ya que estás dividiendo por un número positive, no cambies el signo de desigualdad.

$2w & \le 10\\\\frac{2w}{2} & \le \frac{10}{2}\\\1w & \le 5\\\w & \le 5$

El valor de $w$ debe ser menor o igual a 5.

Ya que 6 es mayor que 5, no es posible que este sea un valor de $w$ . Por lo que, si ella construye una plataforma de 6 pies de ancho, esta tendría un perímetro más grande del deseado.

Vocabulario

Inecuación: enunciado matemático en donde una cantidad puede ser menor, mayor o igual a otra cantidad.

Operación inversa: a operación opuesta. Estas se utilizan para resolver problemas.

Términos semejantes: términos que en una ecuación o una inecuación que tienen la misma variable común o no tienen variable.

Propiedad Distributiva: un término afuera de un conjunto de paréntesis puede multiplicarse por los términos dentro de este para simplificar el paréntesis.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el valor de $w$ en: $-2(8+w)+18<28$ .

Solución

Primero, debemos utilizar la propiedad distributiva al lado izquierdo de la inecuación. Podemos multiplicar cada número dentro del paréntesis por -2 y luego sumar sus productos.

$-2(8+w)+18 &< 28\\\(-2 \times 8)+(-2 \times w)+18 &< 28\\\-16+(-2w)+18 &< 28$

Luego, podemos sumar los términos semejantes (-16 y 18) que están al lado izquierdo de la inecuación. Utilizar las propiedades conmutativas y asociativas para reordenar los términos del lado izquierdo del problema, puede esclarecer cómo puedes hacer esto.

$-16+(-2w)+18 &< 28\\\-16+[(-2w)+18] &< 28\\\-16+[18+(-2w)] &< 28\\\(-16+18)+(-2w) &< 28\\\2+(-2w) &< 28$

Finalmente, resolvemos tal como lo harías con una inecuación de dos pasos. Ya que se suma 2a $-2w$ , nuestro primer paso sería restar 2 de ambos lados de la inecuación.

$2+(-2w) &< 28\\\2-2+(-2w) &< 28-2\\\0+(-2w) &< 26\\\-2w &< 26$

Ahora, debemos despejar la variable, $w$ , al dividir ambos lados de la inecuación por -2. Ya que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, debemos invertir el signo de desigualdad.

$-2w &< 26\\\\frac{-2w}{-2} &> \frac{26}{-2}\\\1w &> -13\\\w &> -13$

La solución es $w > -13$ .

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Solving Multi-step Inequalities

Practica

Instrucciones: resuelve cada inecuación.

1. $3(x+4)>21$

2. $4(x-1)<8$

3. $5(y+7)<70$

4. $-4(x+2)>8$

5. $3(x-9)\ge30$

6. $-2(y+4)\ge16$

7. $5(x+2)\le100$

8. $-2(y-3)+12y>16$

9. $4(x+2)-10x>38$

10. $3(x-2)+5x\le42$

11. $-2(y+4)-2y>8$

12. $-5(x+2)+6(x-2)\ge10$

13. $3(x+4)-2(x+1)>5$

14. $-2(y-4)+8y+2<16$

15. $-8(x+2)-9x+2x\ge14$

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