Escribe y resuelve inecuaciones de múltiples pasos en diferentes problemas

Aquí aprenderás a escribir y resolver inecuaciones de múltiples pasos en diferentes problemas.

La banda de la Escuela Floyd siempre actúa durante el medio tiempo de los partidos de fútbol americano. Usualmente, la banda realiza actos que duran un promedio de 6 minutos cada uno. A la señora Kline le gusta que los estudiantes tengan diferentes actos para presentar.

Durante los juegos, siempre actúan por lo menos por 42 minutos, pero no más de 60 minutos. Si el tiempo promedio de duración de un acto es 8 minutos, ¿cuántos actos, como mínimo, puede presentar la banda? ¿Cuántos actos, como máximo, puede presentar la banda?

Este problema tiene un problema una inecuación compuesta. Notarás que se mencionan dos inecuaciones diferentes. En esta sección, aprenderás a transcribir el lenguaje verbal a una inecuación compuesta, para que puedas resolver el problema. Presta atención, porque verás este problema nuevamente al final de esta sección.

Orientación

Algunas veces, para verdaderamente entender los valores representados por una variable debemos considerar la opción de dos inecuaciones juntas .

Considerar dos inecuaciones juntas forma una inecuación compuesta.

Piénsalo de esta forma, imagina que $n>0$ y que $n<5$ . En este caso, debemos considerar estas dos inecuaciones juntas. Esto significa, considerar una inecuación compuesta.

Hay dos tipos de inecuaciones compuestas.

Una conjunción es una inecuación compuesta que tiene la palabra y. Una conjunción es verdadera solo y ambas inecuaciones son ciertas.

$n>0$ y $n < 5$

Una disyunción es una inecuación compuesta que tiene la palabra or. Una disyunción es verdadera si cualquiera de las inecuaciones es cierta.

Podemos escribir una inecuación compuesta cuando tenemos palabras que describen más de una inecuación. Estudiemos una.

La suma de un número, $n$ , y 4 es mínimo 12 y máximo 20.

a. Traduce esta oración a una inecuación compuesta.

b. Resuelve la inecuación compuesta.

Primero, considera la parte a .

Descompone la oración en partes y traduce cada una de ellas a una inecuación.

$& The \ \underline{sum \ of \ a \ number, \ n, \ and \ 4} \ is \ \underline{at \ least} \ \underline{12} \ldots\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \ \downarrow \quad \ \ \downarrow\\\& \qquad \qquad \quad \ \quad \ n+4 \qquad \qquad \qquad \quad \ \ge \ \ \ 12$

$& The \ \underline{sum \ of \ a \ number, \ n, \ and \ 4} \ is \ldots \underline{at \ most} \ \underline{20}.\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \downarrow \qquad \downarrow\\\& \qquad \qquad \qquad \ \ n+4 \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ \le \quad \ 20$

Mira la oración original.

La suma de un número, $n$ , y 4 es mínimo 12 y máximo 20.

La palabra y la cual está subrayada muestra que esta oración representa una conjunción.

Así que, la inecuación compuesta puede escribirse como: $n+4 \ge 12$ y $n+4 \le 20$ .

O, podemos reescribir $n+4 \ge 12$ como $12 \le n+4$ y poner las dos inecuaciones juntas: $12 \le n+4 \le 20$ .

Luego, considera la parte b .

Para resolver la inecuación compuesta, calcula cada inecuación como una sola.

Resta 4 a cada lado de la inecuación.

$n+4 & \ge 12 \qquad \qquad \quad \ \ n+4 \le 20\\\n+4-4 & \ge 12-4 \qquad \ n+4-4 \le 20-4\\\n+0 & \ge 8 \qquad \quad \quad \qquad n+0 \le 16\\\n & \ge 8 \qquad \quad \ \quad \qquad \quad \ n \le 16$

Por lo que, la solución puede escribirse como: $n \ge 8$ y $n \le 16$ .

Otra opción es: $8 \le n \le 16$ .

Aquí hay otro problema planteado.

Brandon gana $7 por hora en su trabajo. La cantidad de horas que trabaja cambia de semana a semana. Sin embargo, cada semana recibe no menos de $70 y no más de $140. La $h$ representará la cantidad de horas que él trabaja cada semana.

a. Escribe una inecuación compuesta que represente a este problema.

b. Resuelve la inecuación para determinar la cantidad de horas que trabaja Brandon cada semana.

c. De acuerdo con la información del problema, ¿ha trabajado Brandon alguna vez 25 horas a la semana? Explica.

Primero, considera la parte a .

Ya que Brandon gana $7 por hora, puedes representar la cantidad de dinero que gana a la semana al multiplicar 7 por el número de horas trabajadas. En otras palabras, puedes representar la cantidad de dinero que gana con $7 \times h$ o $7h$ .

Ahora, descompone el problema en partes y traduce cada parte en una inecuación.

$& \ldots \underline{each \ week \ldots earns} \ \underline{no \ less \ than} \ \underline{\$ 70} \ldots\\\& \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \qquad \qquad \ \downarrow \qquad \quad \downarrow\\\& \qquad \qquad \quad 7h \qquad \qquad \quad \ \ \ge \qquad \ \ 70$

$& \ldots \underline{each \ week \ldots earns} \ \underline{no \ more \ than} \ \underline{\$ 140}.\\\& \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \quad \ \ \downarrow\\\& \qquad \qquad \quad 7h \qquad \qquad \qquad \le \qquad \quad 140$

Mira la oración original.

...cada semana recibe no menos de $70 y no más de $140.

Debido a la palabra y , esta inecuación compuesta es una conjunción.

Podemos representar esta inecuación como: $7h \ge 70$ y $7h \le 140$ . Otra opción es: $70 \le 7h \le 140$ .

Luego, considera la parte b .

Para resolver la inecuación compuesta, calcula cada inecuación como una sola.

Divide cada lado por 7.

$7h & \ge 70 \qquad \quad \ 7h \le 140\\\\frac{7h}{7} & \ge \frac{70}{7} \qquad \quad \frac{7h}{7} \le \frac{140}{7}\\\1h & \ge 10 \qquad \quad \ 1h \le 20\\\h & \ge 10 \qquad \quad \ \ h \le 20$

Por lo que, la solución puede escribirse como: $h \ge 10$ y $h \le 20$ . Otra opción es: $10 \le h \le 20$ .

Esta solución muestra que la cantidad de hora que Brandon trabaja cada semana es mayor o igual a 10 y menor o igual a 20. En otras palabras, Brandon trabaja entre 10 a 20 horas a la semana.

Por último, considera la parte c .

En la parte b , determinaste que el número de horas que trabaja Brandon a la semana es siempre menor o igual a 20. Esto significa que él nunca trabaja más de 20 horas a la semana. Por esto, el no puede trabajar 25 a la semana como dice la parte .

Ejemplo A

La suma de un número y 3 es al menos 10, pero no más de 25.

Solución: $10\le x+3 \le25$

Ejemplo B

La suma de un número y seis es mayor que cuatro y menor que doce.

Solución: $4<x+6<12$

Ejemplo C

El producto de un número y dos es mayor que quince y menor que veinte.

Solución: $15<2x<20$

Ahora, regresemos al problema del comienzo de la sección.

Primero, anotemos la información que tenemos.

El promedio de duración de cada acto es 6 minutos.

La banda actúa por no menos de 42 minutos.

La banda actúa por no más de 60 minutos.

Necesitamos descubrir la cantidad de actos que realizaron. Esta es nuestra variable $p$ .

Aquí está la inecuación.

$42 \le 6p \ge 60$

Ahora podemos resolver cada inecuación para saber la cantidad de piezas que presentaron. Tendremos una cantidad menor y una mayor.

$42 & \le 6p\\\7 &\le p\\\6p &\ge 60\\\p &\ge 10$

La banda presentará entre 7 a 10 actos dado el tiempo de duración que les permitan tocar.

Vocabulario

Inecuación compuesta: una inecuación que combina dos inecuaciones cuando esta en algún problema planteado.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Seis menos que la mitad d un número, $x$ , es menor que-1 o mayor que 10.

a. Traduce esta oración a una inecuación compuesta.

b. Resuelve la inecuación compuesta.

Solución

Primero, considera la parte a .

Ahora, descompone el problema en partes y traduce cada parte en una inecuación.

$& \underline{Six} \ \underline{less \ than} \ \underline{half \ of \ a \ number, \ x,} \ is \ldots \underline{less \ than} \ \underline{-1} \ldots \\\& \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \swarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \downarrow\\\& \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \swarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \downarrow\\\& \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \ \swarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \ \downarrow \qquad \downarrow\\\& \ \frac{x}{2} \qquad - \qquad \qquad \qquad 6 \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ < \quad \ -1$

$& \underline{Six} \ \underline{less \ than} \ \underline{half \ of \ a \ number, \ x}, \ is \ldots\underline{greater \ than} \ \underline{10}.\\\& \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \swarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \downarrow \qquad \ \ \downarrow\\\& \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \swarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \downarrow \qquad \ \ \downarrow\\\& \searrow \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \ \swarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \ \ \downarrow\\\& \ \frac{x}{2} \qquad - \qquad \qquad \qquad 6 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ > \quad \ \ 10$

Mira la oración original.

Seis menos que la mitad de un número, $x$ , es mayor que 10 o menor que -1.

La palabra o la cual está subrayada muestra que esta oración representa una disyunción.

Así que, la inecuación compuesta puede escribirse como: $\frac{x}{2}-6<-1$ o $\frac{x}{2}-6>10$

Luego, considera la parte b .

Para resolver la inecuación compuesta, calcula cada inecuación como una sola.

Primero, suma 6 a cada lado.

$\frac{x}{2}-6 &< -1 && \frac{x}{2}-6>10\\\\frac{x}{2}-6+6 &< -1+6 && \frac{x}{2}-6+6>10+6\\\\frac{x}{2}+(-6+6) &< 5 && \frac{x}{2}+(-6+6) > 16\\\\frac{x}{2}+0 &< 5 && \frac{x}{2}+0>16\\\\frac{x}{2} &< 5 && \frac{x}{2}>16$

Luego, multiplica cada lado por 2.

$\frac{x}{2} &< 5 && \quad \ \ \frac{x}{2}>16\\\\frac{x}{2} \times 2 &< 5 \times 2 && \frac{x}{2} \times 2 > 16 \times 2\\\\frac{x}{\bcancel{2}} \times \frac{\bcancel{2}}{1} &< 10 && \frac{x}{\bcancel{2}} \times \frac{\bcancel{2}}{1} > 32\\\\frac{x}{1} &< 10 && \quad \ \ \frac{x}{1}>32\\\x &< 10 && \qquad x > 32$

Por lo que, la solución puede escribiste como: $x<10$ o $x>32$ .

Revisa este video

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Compound Inequalities

Practica

Instrucciones: utiliza cada ejemplo para trabajar con inecuaciones compuestas.

Dos menos que un número, $x$ , es al menos 16 y a lo más 25

Traduce esta oración a una inecuación compuesta.
Resuelve la inecuación compuesta.
Escribe un enunciado matemático que represente las posibilidades de respuesta.

Un tercio de un número, $n$ , es la menor que -5 o mayor que 3.

Traduce esta oración a una inecuación compuesta.
Resuelve la inecuación compuesta.
Escribe un enunciado matemático que represente las posibilidades de respuesta.

Siete más que el doble de un número, $n$ , es menor que -5 o al menos 9.

Traduce esta oración a una inecuación compuesta.
Resuelve la inecuación compuesta.
Escribe un enunciado matemático que represente las posibilidades de respuesta.

Instrucciones: resuelve cada problema.

Cuando Harriet va a la cafetería para almorzar, compra dos cosas: tortilla y una malteada de $3. El costo total de su almuerzo siempre es más que $8 y menos que $12. La $w$ representará el costo, en dólares, de cualquiera de las tortillas que compra.

Escribe una oración a una inecuación compuesta para representar el problema.
Resuelve la inecuación en la parte a.
De acuerdo al problema, ¿es posible que Harriet compre tortillas que cuesten $10?
¿Por qué? Explica.

El señor Jameson paga $3 por un galón de gasolina. Cada semana, la cantidad que gasta en gasolina para su auto es entre $30 y $105. La $g$ representará el número de galones de gasolina en una semana dada.

Escribe una oración a una inecuación compuesta para representar el problema.
Resuelve la inecuación en la parte a.

Escribe y resuelve inecuaciones de múltiples pasos en diferentes problemas

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

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Practica

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