Escribe, compara y ordena razones

En esta sección, aprenderás a escribir, comparar y ordenar razones.

¿Sabes algo sobre el monte Everest? Estudia el siguiente problema.

Josh se sentó en la mesa muy concentrado leyendo un libro. Su madre sirvió cereal en un tazón y se lo dio. Karen, la hermana de Josh, entró en la cocina y se sentó al lado de este.

"¿Qué lees?" Karen preguntó.

"Estoy leyendo sobre el monte Everest", respondió Josh, sin levantar su mirada.

"De acuerdo, Josh, deja el libro y come", le dijo su madre.

"Es asombroso. ¿Sabías que en el mejor año del Everest, y el mejor significa el año en que menos personas murieron, de las 129 perdonas que lo escalaron solo 8 murieron". Dijo Josh, sonriendo.

"No creo que eso sea algo para sonreír", dijo su madre, bebiendo café.

"Sí, es morboso", apuntó Karen.

"Sí, puede que sea morboso, pero es un hecho. Durante el peor año, solo 98 personas lo escalaron y 15 murieron. Esas son muchas personas. Podemos comparar el número de personas que escalaron y el número de personas que murieron", dijo Josh.

"Bueno, esto prueba que el monte Everest es un lugar peligroso y escalarlo no es un juego de niños", dijo su madre.

"Sí, ¡pero imagina lo maravilloso que se sentiría estar en la cima del mundo!", dijo Josh.

"¿Cómo saben cuál es el mejor año y el peor año, basándose en esos números?", preguntó Karen.

"Comparan las razones", explicó Josh. "Déjame explicarte."

¿Sabes cómo lo hacen? Dada esta información, Josh le explicará a Karen cómo simplificar y comparar razones. En esta sección, aprenderás todo sobre las razones.

Orientación

Una razón es una comparación de dos cosas o dos cantidades.

La cosa que deben notar sobre las razones es qué están comparando. Existen muchas maneras diferentes de comparar cosas en las matemáticas.

Imagina que hay 25 estudiantes en una clase: 12 hombres y 13 mujeres. Puedes decir que la razón entre los hombres y las mujeres es 12 a 13. También puedes escribir esta razón como 12 : 13 o $\frac{12}{13}$ . La razón entre los hombres y el total de los estudiantes es 12 a 25, 12 : 25 o $\frac{12}{25}$ . La razón entre las mujeres y el total de los estudiantes es 13 a 25, 13 : 25 o $\frac{13}{25}$ . También verás que el orden que los comparas hará la diferencia. Si comparas los hombres con la cantidad total de estudiantes, entonces el número de hombre se pone primero o, si utilizas la forma fraccionaria, es el numerador.

Esa es una muy buena pregunta. Existen tres formas distintas en que puedes escribir una razón. Puedes escribirla con dos puntos entre los números; utilizando la palabra "de" o utilizando la forma fraccionaria. Puedes escoger cómo escribir una razón y estas maneras también se pueden intercambiar.

Tómate unos minutos para escribir la definición de razón y las tres maneras en que puedes escribir una en tu cuaderno.

Acabamos de ver las tres maneras en que puedes escribir una razón cuando estás haciendo una comparación simple. Recuerda leer la información atentamente para que así entiendas bien lo que se estás comparando.

Ahora, estudiemos una situación en la podrías necesitar aprender algo para poder escribir la razón.

Hay 32 caramelos rojos y amarillos en la bolsa. Hay 10 caramelos amarillos. ¿Cuál es la razón entre los caramelos rojos y el total de caramelos en la bolsa?

Necesitamos saber la razón entre los caramelos rojos y la cantidad total de caramelos. Sabemos que hay un total de 32 caramelos. Antes de escribir la razón, debemos saber la cantidad de caramelos rojos que hay en la bolsa.

$32-10 = 22$

Ahora, escribe la razón entre los caramelos rojos y la cantidad total de caramelos. Ya que la razón es una comparación, podemos simplificarla. Asegúrate de escribir la razón en su forma más simplificada. Esto hace que sea más fácil entender las cantidades que están siendo comparadas.

$\frac{\text{red candies}}{\text{total candies}} = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}$

También pudimos haber escrito esta razón de otras dos formas.

22 de 32 y luego simplificarla a 11 de 16

22 : 32, luego simplificarla a 11 : 16

Todas están respuestas son correctas. Recuerda que puedes intercambiar la forma en que escoges escribir la razón.

También podemos comparar razones. Esto se hace cuando tenemos más de una razón y queremos saber cuál es la de mayor valor y la de menor valor. Estudiemos este caso.

La clase del señor Collison tiene 30 estudiantes. De esos, 12 son hombres. La clase de la señora Peterson tiene 25 estudiantes. De esos, 11 son hombres. ¿Qué clase tiene la mayor razón de alumnos hombres?

Primero, encuentra la razón de ambas clases entre los estudiantes hombres y el total de estudiantes. Necesitas hacer esto primero, porque son cantidades que debes comparar.

La clase del señor Collison: $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$

La clase de la señora Peterson: $\frac{11}{25}$

Ahora compara las razones de la misma forma en que comparas fracciones. Encuentra un denominador común y compara los numeradores.

El mínimo común denominador es 25.

$\frac{2}{5} \left(\frac{5}{5} \right) = \frac{10}{25}$

$\frac{10}{25} < \frac{11}{25}$ , ya que 10 es menor que 11.

La clase de la señora Peterson tiene la mayor razón entre estudiantes hombres y el total de estudiantes.

Ahora podemos ordenar las razones. Cuando tienes más de dos razones, puedes ordenarlas de menor a mayor o de mayor a menor.

Ordenas las siguientes razones de menor a mayor: 10 de 15, $\frac{16}{36}$ , 12 : 48

La primera cosa de debes notar es que estas razones están escritas de forma diferente una de otra. Escribámoslas todas de una misma forma. Escribámoslas como fracciones para que así podamos utilizar lo que sabemos sobre comparar y ordenar fracciones.

$10 \ \text{to} \ 15 = \frac{10}{15}$

$\frac{16}{36}$

$12:48 = \frac{12}{48}$

Nota que ninguna de estas fracciones está escrita en su forma más simplificada. Podemos simplificarlas, lo que hará mucho más fácil ordenarlas.

$\frac{10}{15} &= \frac{2}{3}\\\\frac{16}{36} &= \frac{4}{9}\\\\frac{12}{48} &= \frac{1}{4}$

Si sabes algo de fracciones, podemos ordenarlas ahora mismo. Sabemos que un cuarto es la menor. Sabemos que cuarto es casi la mitad de nueve, por lo que es la siguiente cantidad de mayor valor; y que dos tercio es el mayor.

La respuesta es $\frac{1}{4}, \frac{4}{9}, \frac{2}{3}$ .

En ese caso, puedes reescribir todas las fracciones con un denominador común. Así podrás ordenar los numeradores. Veamos cómo hacer esto.

$\frac{1}{4} &= \frac{9}{36}\\\\frac{4}{9} &= \frac{16}{36}\\\\frac{2}{3} &= \frac{24}{36}$

Puedes ver que nuestro trabajo original es correcto.

Ahora, simplifiquemos cada razón.

Ejemplo A

$\frac{7}{21}$

Solución: $\frac{1}{3}$

Ejemplo B

$5:30$

Solución: $1:6$

Ejemplo C

$24$ a $36$

Solución: $2$ de $3$

Ahora, regresemos al problema del inicio de la sección.

Escribiremos dos razones para compararlas. Una razón representará el mejor año del Everest y la otra el peor.

Primero, observemos las cantidades del mejor año del Everest.

129 personas lo escalaron

8 personas murieron

La razón es 129 : 8.

Sin embargo, debemos simplificar esta razón para tener una mejor idea sobre el tamaño de la razón. Reescribámosla en su forma fraccionaria y, luego, simplifiquémosla.

$\frac{129}{8}= \frac{16}{1}$

Esto significa que por cada 16 persona que escalaron el monte, una no sobrevivió.

Ahora, observemos las cantidades del peor año del Everest.

98 personas lo escalaron

16 personas murieron

$\frac{98}{16} = 6.5 \ to \ 1$

Esto significa que por cada $6 \frac{1}{2}$ personas que escalaron, una no sobrevivió.

Por la información que obtenemos de estas razones, puedes ver la comparación entre el mejor y el peor año del Everest.

Vocabulario

Razón: Una manera de comparar dos números o cantidades. Las razones se pueden escribir de tres formas diferentes: utilizando forma fraccionaria, utilizando los dos puntos o utilizando la palabra "a".

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes hacerlo por ti mismo.

Escribe una razón en la forma más simplificada para describir el próximo problema.

Marcy ama las galletas. Ella come 14 galletas en 28 minutos. Escribe una razón para comparar las galletas y los minutos.

Solución

Primero, escribiremos una razón para comparar las galletas y los minutos, por lo que escribiremos la cantidad de galletas primero.

$14$

Luego, escribiremos la cantidad de minutos.

$14:28$

También podemos escribir esta razón en su forma fraccionaria.

$\frac{14}{28}$

Ahora, simplifiquémosla.

$\frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Ratios in Simplest Form

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Estudia cada razón. Luego, escríbela en las otras dos formas en que puede ser escrita.

16 a 3
4 a 5
1 : 4
$\frac{12}{1}$
6 : 11
33 a 100
$\frac{4}{9}$
3 a 4
45 a 12
12 : 12

Instrucciones: Simplifica cada razón y escribe tu respuesta en forma fraccionaria.

4 a 12
5 : 20
36 a 6
18 : 36
20 a 100