Utilización de tasas unitarias y tasas equivalentes

En esta sección, aprenderás a utilizar tasas unitarias y a encontrar tasas equivalentes.

¿Alguna vez has tenido que encontrar una tasa equivalente? Estudia el siguiente problema.

El equipo de Myra anotó 10 goles en los últimos 3 juegos. A esta velocidad, ¿cuántos goles anotará el equipo de Myra en 6 juegos?

En esta sección, aprenderás a calcular una tasa equivalente que te ayudará a resolver el problema anterior.

Orientación

Una tasa unitaria es una clase especial de razón, en donde el segundo número o denominador es igual a uno.

Con una tasa unitaria, comparas una cantidad con uno. Algunas tasas unitarias comunes son las millas por galón, precio por libra y tarifa por hora.

Para encontrar una tasa unitaria simplifica la razón hasta que tengas un 1 como denominador. Puedes simplemente dividir el primer número de la razón por el segundo. Asegúrate de ordenar bien las unidades.

Escribe la información que aprendiste sobre tasas unitarias en tu cuaderno. Luego, continúa con el siguiente problema.

Kayla compró 5,5 libras de manzanas. Pagó un total de $7,15. ¿Cuás es la tasa unitaria de las manzanas por libra?

Una palabra clave en esta situación es "por libra". Cuando utilizamos la palabra "por" debemos saber que estamos trabajando con tasas unitarias.

Debes encontrar el precio por libra. Podemos escribir la razón entre el precio y la libra utilizando la información entregada en el problema. Eso es lo que estamos comparando, por lo que así escribimos la razón. Luego, podemos aumentar la información entregada.

$\frac{price}{libras} = \frac{\$ 7.15}{5.5 \ libras}$

Ahora, utiliza la división para encontrar el precio por libra. Dividimos el precio por el número de libras que compró Kayla.

${5.5 \overline{){7.15\; }}}$

$\frac{\$7.15}{5.5 \ libras} = \frac{\$ 1.30}{1 \ pound}$

La tasa unitaria es $1,30 por libra.

Aquí, otro problema.

Brian trabajó 8 horas ayer y ganó un total de $86. ¿Cuánto es lo que gana por hora?

Escribe una razón que comparare la cantidad de dinero que gana y las horas que trabaja. La tasa que estamos buscando es lo que Brian gana "por" hora.

$\frac{\text{pay rate}}{\text{hours worked}} = \frac{\$ 86}{8 \ hours}$

Ahora, dividamos para encontrar la tasa unitaria.

$\frac{\$86}{8 \ hours} = \frac{\$ 10.75}{1 \ hour}$

Brian gana $10,75 por hora.

Puede que también veas tasas que son equivalentes. Estudiemos las tasas equivalentes.

Encuentra una tasa equivalente para esta comparación.

$\frac{\$2.00}{1} = \frac{?}{8}$

Nota que aquí tendremos una tasa unitaria. Sabemos que la tasa unitaria es de dos dólares por cada cosa individual. Queremos 8 de estas. Al pensar de forma matemática, podemos calcular y encontrar la solución.

$1 \times 8 = 8$

Tal como trabajamos con las fracciones, toda operación que realicemos con el denominador, debemos realizarla con el numerador. Multiplicamos por 8, por lo que también debemos multiplicar el numerador.

$\frac{\$2.00}{1} = \frac{\$ 16.00}{8}$

Estas dos tasas son equivalentes.

¡Siempre que multipliques el numerador y el denominador por el mismo número, crearas tasas equivalentes!

Escribe y encuentra la tasa unitaria de cada razón.

Ejemplo A

$\frac{14}{7}$

Solución: $\frac{2}{1}$

Ejemplo B

$\frac{36}{12}$

Solución: $\frac{3}{1}$

Ejemplo C

$\frac{48}{8}$

Solución: $\frac{6}{1}$

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Primero, escribe la razón que muestre la tasa de goles del equipo.

$\frac{goals}{games} = \frac{10 \ goals}{3 \ games}$

Necesitamos saber la tasa equivalente para 6 juegos. Nota que la segunda razón tienen los juegos en la misma posición del denominador. Asegúrate de escribir bien las razones para que así compares las mismas cantidades. Si las confundes, obtendrás un resultado diferente.

$\frac{10 \ goals}{3 \ games} = \frac{? \ goals}{6 \ games}$

Estudia las dos fracciones. El denominador es el doble en la segunda fracción. Así que, multiplica la primera fracción por un equivalente de 1 para obtener la segunda fracción.

$\frac{10 \ goals}{3 \ games} \left(\frac{2}{2}\right) = \frac{20 \ goals}{6 \ games}$

Una tasa equivalente es 20 goles en 6 partidos. Por lo que, a esta velocidad, el equipo de Myra anotará 20 goles.

Vocabulario

Razón: Una manera de comparar dos números o cantidades. Las razones se pueden escribir de tres formas diferentes: utilizando forma fraccionaria, utilizando los dos puntos o utilizando la palabra "a".

Tasa unitaria: Una razón que compara una cantidad con 1. Una palabra clave utilizada en la tasa unitaria es "por".

Tasa equivalente: Dos razones que son iguales, aunque son representadas por distintos valores.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Una tienda vende el salmón a $6,99 por libra. ¿Cuál es la tasa para 6 libras de salmón?

Solución

Primero, reflexiona en lo que sabes. Sabes el precio por libra. Necesitas encontrar el precio por 6 libras. Por lo que puedes multiplicar la tasa unitaria por 6 para, así, encontrar la tasa equivalente.

$\frac{\$6.99}{1 \ pound} \left(\frac{6}{6} \right) = \frac{\$41.94}{6 \ libras}$

El precio de 6 libras de salmón es $41,94.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Finding Unit Rates

video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza lo que has aprendido sobre razones para resolver los siguientes problemas.

En la gaveta de Kyle, hay 14 pares de calcetines blancos y 8 pares de calcetines negros

Escribe la razón entre los calcetines negros y los blancos.
Escribe la razón entre los calcetines negros y el número total de calcetines.
Escribe la razón entre los calcetines blancos y el número total de calcetines.
Simplifica tu respuesta número 1.
Simplifica tu respuesta número 2.
Simplifica tu respuesta número 3.

Existen 150 apartamentos en el edificio Gray. De estos, 60 son arrendados y el resto tiene dueño propio. Hay 65 apartamentos en el edificio Black. De esos, 45 son arrendados y el resto es propio. Simplifica cada respuesta.

¿Cuál es la razón entre los apartamentos arrendados y los propios en el edificio Gray?
¿Cuál es la razón entre los apartamentos arrendados y los propios en el edificio Black?
Escribe la razón entre los apartamentos arrendados y el total de los apartamentos en el edificio Gray.
Escribe la razón entre los apartamentos arrendados y el total de los apartamentos en el edificio Black.
Escribe la razón entre los apartamentos propios y el total de los apartamentos en el edificio Gray.
Escribe la razón entre los apartamentos propios y el total de los apartamentos en el edificio Black.
Holly trabaja en la biblioteca reacomodando libros. Ella reacomoda 960 libros en cuatro horas. ¿Cuál es la tasa por hora en que reacomoda los libros?
Sam compró 9,5 libras de duraznos para preparar un pastel. La compara costó $15,39. ¿Cuál es la tasa unitaria de los duraznos?
Don puede envolver 8 regalos en una hora. ¿Cuál es la tasa de Don en 12 regalos?

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