Escribe y resuelve problemas con proporciones utilizando las tasas equivalentes

En esta sección, aprenderás y resolverás problemas con proporciones utilizando las tasas equivalentes.

¿Alguna vez has tenido un reto de lectura? Estudia el siguiente problema.

Jamie miró el reloj. Aún tenía 20 minutos para terminar el reto de lectura.

Jamie miró el reloj cuando la campana sonó. Había leído 15 páginas en 20 minutos. Si lee 15 páginas en 20 minutos, ¿cuántas páginas puede leer en 40 minutos?

¿Sabes cómo resolver este problema? Para resolverlo, puedes utilizar las tasas equivalentes. Presta atención en esta sección y, al final, entenderás cómo calcular la solución.

Orientación

Una razón es una comparación dos números o cantidades. Las razones se pueden escribir de tres formas diferentes: utilizando forma fraccionaria, utilizando los dos puntos o utilizando la palabra "a".

Algunas veces, compararás razones. Algunas veces, una razón será mayor que otra y, en otras ocasiones, serán iguales o equivalentes . Cuando tienes dos razones iguales, tienes una proporción.

Una proporción se crea cuando dos razones son iguales o podemos decir que dos razones iguales forman una proporción.

Podemos escribir una proporción cuando sabemos que dos razones son equivalentes.

$1 : 2 = 2 : 4$

Estas razones son equivalentes. Podemos decir que dos razones forman una proporción.

¿Forman estas dos razones una proporción?

$\frac{3}{4}$ y 4 : 24

Para saberlo, debemos saber si estas razones son equivalentes. Si lo son, entonces son una proporción. Si no lo son, no pueden ser una proporción. Para saberlo, podemos simplificar las razones.

$& \qquad \ \frac{3}{4} \ is \ in \ simplest \ form.\\\& 4 : 24 \ can \ be \ written \ as \ \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\\\& \qquad \qquad \quad \ \ \frac{3}{4} \ne \frac{1}{6}$

Estas razones no forman una proporción.

Las proporciones anteriores te fueron entregadas, pero tú también puedes escribir tus propias proporciones.

Para escribir una proporción, escribe dos fracciones equivalentes una junto a la otra, utilizando la información entregada en el problema.

Si sabes que la razón entre mujeres y hombres en una clase es 2 : 3 y sabes que hay 24 hombres en la clase, puedes escribir una proporción para encontrar la cantidad de mujeres en la clase.

Lo más importante que debes recordar cuando escribes una proporción es dejar las unidades en el mismo orden en ambas razones.

$\frac{girls}{boys}: \frac{2}{3} = \frac{x}{24}$

Sabes que las fracciones son equivalentes, porque cada una muestra la razón entre mujeres y hombres en la clase. La primera fracción muestra la fracción la razón conocida entre hombres y mujeres. La segunda razón muestra la cantidad de hombres en la clase, 24, y utiliza una variable para mostrar el número de mujeres.

Ahora, utilicemos tasas equivalentes para resolver una proporción.

La razón entre profesores y estudiantes en una cierta escuela es de 2:25. Si hay 400 estudiantes en la clase del octavo grado, ¿cuántos profesores hay?

Primero, escribe una proporción. El problema entrega una razón entre profesores y estudiantes, así que escribe dos razones equivalentes para comparar la cantidad de profesores y estudiantes.

$\frac{teachers}{students} = \frac{8^{th} \ grade \ teachers}{8^{th} \ grade \ students}$

Ahora puedes ver que comparamos los profesores y los estudiantes en ambas razones. La primera muestra la razón en toda la escuela y la segunda, en la clase del octavo grado. Luego, añadimos la información entregada.

$\frac{2}{25} = \frac{x}{400}$

Ahora, utiliza lo que sabes sobre razones equivalentes para resolver el problema.

Mira los denominadores. Sabes que la primera fracción, cuando se multiplica el numerador y el denominador por algún número, será igual a la segunda fracción. ¿Qué número multiplicado por 25 da 400? Ya que $25 \times 16 = 400$ , se multiplicó el denominador por 16. Esto significa que puedes multiplicar el numerador por el mismo número y encontrar el valor de $x$ .

$2 \times 16 = 32$ , por lo que $x = 32$

Hay 32 profesores en la clase del octavo grado.

Nota: Puedes comprobar si tu respuesta es correcta, asegurándote que las dos razones son equivalentes.

$\frac{32}{400} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$

Ya que al simplificar la segunda razón obtenemos la primera, las razones son equivalente.

Sí, lo es. Solo recuerda que debes realizar las mismas operaciones tanto con el numerador como con el denominador.

Resuelve las proporciones utilizando razones iguales.

Ejemplo A

$\frac{3}{4} = \frac{6}{x}$

Solución: $x = 8$

Ejemplo B

$\frac{9}{50} = \frac{x}{100}$

Solución: $x = 18$

Ejemplo C

$\frac{3.5}{7} = \frac{x}{35}$

Solución: $x = 17.5$

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Jamie lee 15 páginas en 20 minutos. Ella quiere saber cuántas páginas puede leer en 40 minutos.

Podemos escribir una proporción y buscar una tasa equivalente.

$\frac{pages}{minutes} = \frac{15}{20} = \frac{x}{40}$

Aquí está nuestra proporción.

Luego, podemos ver la relación entre los denominadores.

$20 \times 2 = 40$

Lo que le hacemos al denominador, podemos hacérselo al numerador. Esto nos dará la tasa equivalente.

$15 \times 2 = 30$

Con esta tasa, Jamie leerá 30 páginas en 40 minutos.

Vocabulario

Ratio: Una comparación dos cantidades. Las razones se pueden escribir de tres formas diferentes: utilizando forma fraccionaria, utilizando los dos puntos o utilizando la palabra "a".

Equivalente: Significa igual.

Proporción: Formados cuando dos razones son equivalentes. Cuando compares dos razones, si estas son igual entonces forman una proporción.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Escribe una proporción que describa esta situación.

La proporción entre papel rojo y papel blanco en un pila es de 2 a 7. Si hay 32 papeles rojos, ¿qué proporción se puede utilizar para encontrar la cantidad de papeles blancos?

Solución

En la primera fracción, escribe la razón entregada entre el papel rojo y el papel blanco: $\frac{2}{7}$ .

Ahora escribe la segunda razón utilizando $x$ para que represente la cantidad desconocida. Asegúrate de dejar las unidades en el mismo orden que la primera fracción. En este caso, el valor desconocido es la cantidad de papeles blancos, el cual será el denominador de la fracción.

$\frac{\text{red paper}}{\text{white paper}} : \frac{2}{7} = \frac{32}{x}$

La proporción $\frac{2}{7} = \frac{32}{x}$ puede utilizarse para encontrar la cantidad de papeles blancos que hay.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

Introduction to Proportions

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada proporción utilizando razones iguales.

$\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$
$\frac{5}{6} = \frac{x}{12}$
$\frac{4}{7} = \frac{8}{y}$
$\frac{2}{3} = \frac{12}{y}$
$\frac{4}{5} = \frac{44}{y}$
$\frac{12}{13} = \frac{x}{26}$
$\frac{9}{10} = \frac{81}{y}$
$\frac{6}{7} = \frac{18}{y}$
$\frac{7}{8} = \frac{x}{56}$
$\frac{12}{14} = \frac{36}{x}$
$\frac{6}{4} = \frac{x}{12}$
$\frac{12}{14} = \frac{24}{x}$
$\frac{13}{14} = \frac{x}{42}$
$\frac{1.5}{4} = \frac{x}{8}$
$\frac{3.5}{4.5} = \frac{x}{9}$
$\frac{9}{14} = \frac{108}{x}$

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