Escribe y resuelve proporciones utilizando los productos cruzados

En esta sección, aprenderás a escribir y resolver proporciones utilizando los productos cruzados y el álgebra.

Josh está muy emocionado con su libro sobre el monte Everest. Llevó su libro a la escuela y lo lee en cada oportunidad que tiene. De hecho, terminó su tarea de matemáticas tan rápido que la Señora Henje lo hizo revisarla para asegurarse que estaba correcta. Josh estaba feliz. Por la tarea estaba correcta.

Josh mira el reloj. Le quedan 18 minutos para leer. Josh abrió su libro y leyó sobre Sir Edmund Hillary y Tenzing Norgay y la primera vez que subieron la montaña el día 29 de mayo de 1953. Estaba tan absorbido en su lectura que no se dio cuenta cuando sonó la campana.

"Ya es hora de irse," dijo su amigo Evan, moviendo su libro cuando pasó por su lado.

Josh miró el reloj y luego a su libro. Había leído 10 páginas en 18 minutos. Josh estaba emocionado. Tomó su libro y pensó en el tiempo que pasó leyendo. Había leído 10 páginas en 18 minutos, por lo que estaba seguro que leería más páginas durante la hora de lectura, ya que esta duraba 30 minutos. Josh comenzó a pensar en la cantidad de páginas que leería durante la hora de lectura.

¿Es cierto? Si Josh lee durante la hora de lectura a la misma velocidad que leyó durante la clase de matemáticas, ¿cuántas páginas leerá? Para averiguar esto, deberás saber cómo escribir una proporción y cómo resolverla. En esta sección, aprenderás todo lo que necesitas saber para resolver este problema.

Orientación

Una proporción se crea cuando dos razones son iguales. Algunas veces, conocerás tres partes de una proporción y deberás descubrir la otra. Cuando esto ocurra, necesitarás resolver la proporción. Veamos cómo resolver proporciones.

Una manera de resolver una proporción se denomina multiplicación cruzada, para la cual debes utilizar el álgebra. Aquí está la regla:

Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , entonces $ad = cb$ .

Esto también se llama "el producto de los medios es igual al producto de los extremos". Los valores en $b$ y $c$ se llaman medios , y los valores en $a$ y $d$ extremos.

Sin embargo, simplemente puedes multiplicar los valores en forma diagonal, haciendo una $X$ . Luego de la multiplicación cruzada, puedes utilizar el álgebra para resolver la variable.

Pongamos en práctica la información.

$\frac{x}{5} = \frac{9}{10}$

Con este problema, nos han dado una proporción que debemos resolver. Para hacerlo, debemos multiplicar de manera cruzada.

$10(x) = 10x$

$9(5) = 45$

$10x = 45$

Luego, podemos resolver el problema utilizando el álgebra. Dividimos 45 por 10 para encontrara el valor de la variable.

$x = 4.5$

Esta es nuestra respuesta.

A continuación, otro problema.

$\frac{4}{5} = \frac{16}{x}$

Esta proporción se escribe de manera diferente, ya que la variable esta en un lugar diferente. Sin embrago, aún podemos resolverla utilizando los productos cruzados

$4x &= 80\\\x &= 20$

Esta es la respuesta.

Resuelve cada proporción utilizando los productos cruzados.

Ejemplo A

$\frac{x}{9} = \frac{18}{27}$

Solución: $x = 6$

Ejemplo B

$\frac{3}{7} = \frac{33}{y}$

Solución: $y = 77$

Ejemplo C

$\frac{x}{2} = \frac{49.5}{99}$

Solución: $x = 1$

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Primero, necesitamos escribir una proporción que describa la relación entre el tiempo y las páginas leídas.

Comencemos con la clase de matemática.

Josh lee 10 páginas en 18 minutos. Escribamos la primera razón.

$\frac{10}{18}$

Luego, Josh leerá durante 30 minutos en la hora de lectura. Debemos averiguar el número de páginas, por lo que esa es nuestra variable.

$\frac{x}{30}$

Aquí está la proporción.

$\frac{10}{18} = \frac{x}{30}$

Podemos multiplicar de forma cruzada y luego resolver el problema.

$18x &= 300\\\x &= 16.6$

Josh leerá cerca de $16 \frac{1}{2}$ páginas durante la hora de lectura.

Vocabulario

Razón: Una comparación dos cantidades. Las razones se pueden escribir de tres formas diferentes: utilizando forma fraccionaria, utilizando los dos puntos o utilizando la palabra "a".

Equivalente: Significa igual.

Proporción: Formados cuando dos razones son equivalentes. Cuando compares dos razones, si estas son igual entonces forman una proporción.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

La razón entre las manzanas y las bananas en una tienda es de 3 a 8. Si hay 90 manzanas, ¿cuántas bananas hay?

Solución

Escribe una proporción. Asegúrate de ubicar las unidades en la posición correcta para que coincidan: las manzanas en el numerador y las bananas en el denominador. Asegúrate de seguir esta regla mientras resolvemos el ejercicio.

$\frac{apples}{bananas} : \frac{3}{8} = \frac{90}{x}$

Ahora, multiplica de forma cruzada y divide.

$3x = 720$

$x = 240$

Hay 240 bananas en la tienda.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

Solving Basic Proportions

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada proporción utilizando la multiplicación cruzada. Debes redondear el resultado a la décima más cercana.

$\frac{3}{5} = \frac{y}{2.5}$
$\frac{6}{7} = \frac{2.5}{y}$
$\frac{4}{5} = \frac{2}{x}$
$\frac{9}{11} = \frac{14}{x}$
$\frac{2}{3} = \frac{5}{y}$
$\frac{12}{3} = \frac{4}{y}$
$\frac{22}{40} = \frac{11}{x}$
$\frac{60}{x} = \frac{5}{10}$
$\frac{12}{50} = \frac{3}{y}$
$\frac{42}{36} = \frac{7}{y}$
$\frac{56}{63} = \frac{x}{9}$
$\frac{120}{130} = \frac{1.2}{y}$

Instrucciones: Resuelve cada problema.

La razón entre los libros de ficción y los de no ficción en una biblioteca es de 5 a 3. Si hay 480 libros de no ficción, escribe una proporción para describir el valor de $f$ ,(la cantidad de libros de ficción).
La razón entre los árboles de cerezas y los árboles de manzanas en una plantación es de 4 a 9. Si hay 184 cerezos, escribe una proporción para encontrar el valor de $a$ , (la cantidad de manzanos).
La razón entre los automóviles y los todoterreno en un estacionamiento es de 10 a 7. Si hay 84 todoterreno, escribe una proporción para encontrar el valor de $c$ ,(la cantidad de autos).

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