Lee e interpreta mapas que presentan distancias y áreas

En esta sección, aprenderás a leer e interpretar mapas que presentan distancias y áreas utilizando las mediciones a escala.

"¡Mira esto!", exclamó Josh a su amigo Carlo, mientras estaban en la sala de computación. Carlos se movió para estar cerca de Josh y ver lo que este miraba.

"¿Qué?"

"Esta es una fotografía tomada desde el espacio del Everest. El transbordador espacial Endeavor la tomó el 10 de octubre de 1994. El cielo estaba despejado ese día, por lo que la foto es muy correcta. Querían medir el área de la montaña", dijo Josh sonriendo.

"Tú y el monte Everest, pero esto es muy bueno", Carlo dijo mirando la fotografía.

"Voy a hacer un dibujo de esto", dijo Josh, tomando un pedazo de papel y notando notas.

Al mirar la página web, Josh descubrió que el transbordador espacial Endeavor descubrió que la longitud del monte Everest del espacio es 43 millas y el ancho es de 24 millas. Josh escribió las medidas $\frac{1}{4}^{\prime\prime} = 1 \ mile$ .

Si Josh utiliza estas medidas, ¿cuáles serán las dimensiones del dibujo? ¿Caerá el dibujo en una hoja de papel de $11^{\prime\prime} \times 14^{\prime\prime}$ ? ¿De acuerdo al transbordador, cuál es el área real del Everest?

Esta sección cubre los dibujos a escala. Utiliza lo que aprendas para resolver el problema.

Orientación

Un mapa es otro tipo de dibujo escala de una región. Los mapas pueden tener muchos detalles o ser muy simples y solo mostrar puntos de interés y distancias. Puedes leer un mapa tal como lees un dibujo a escala, utilizando una escala.

En el mapa anterior, la línea recta que muestra la distancia entre San Francisco y San Diego es de 3 pulgadas. ¿Cuál es la medida real de la línea recta de la distancia entre San Francisco y San Diego?

Escribe una proporción. Escribe la escala como una razón.

$\frac{0.5 \ inch}{75 \ miles}$

Ahora escribe la segunda razón, asegúrate de seguir la forma de la primera razón, pulgadas sobre millas.

$\frac{0.5 \ inch}{75 \ miles} = \frac{3 \ inches}{x \ miles}$

Ahora, multiplicamos de forma cruzada y buscamos el valor de $x$ .

$(0.5)x &= 3(75)\\\0.5x &= 225\\\x &= 450$

La línea recta de la distancia entre San Francisco y San Diego es de 450 millas.

Nota: La línea recta también se denomina "vuelo de pájaros". Si realmente viajas de San Francisco a San Diego, viajarás más de 450 millas, ya que conducirás por autopistas que no son rectas.

También podemos utilizar una escala para encontrar el área de un espacio o región. Primero, debemos averiguar la longitud y el ancho, así podemos completar cualquier operación necesaria.

Algunas veces, tendernos dos distancias o áreas diferentes para comparar. Cuando esto pase, podemos utilizar proporciones para comparar las diferencias y similitudes. Veamos.

Marta tiene un cuadrado de una longitud de 4 pulgadas por lado. Tiene otro similar con dimensiones dobles a las del primero. ¿Cómo se compara el área del cuadrado más grande con la del más pequeño?

Primero, encuentra las dimensiones del cuadrado más grande. El enunciado dice que sus dimensiones son el doble de las del primero. Podemos utilizar esta información para descubrir el factor de escala y esto significa que aumentan por un factor de 2. La longitud del lado del cuadrado más grande es $4 \ inches \times 2 = 8 \ inches$ .

Luego encuentra el área de ambos cuadrados y compáralas.

Área del cuadrado más pequeño:

$A &= lw\\\A &= (4 \ inches)(4 \ inches)\\\A &= 16 \ inches^2$

Área del cuadrado más grande:

$A &= lw\\\A &= (8 \ inches)(8 \ inches)\\\A &= 64 \ inches^2$

Ahora compara ambas áreas. Para compararlas, escribe una razón.

$\frac{64 \ inches^2}{16 \ inches^2} = 4$

El área del cuadrado más grande es 4 veces mayor a la del más pequeño.

Esto es una regla cuando se comparan áreas de figuras similares.

Escribe esta regla en tu cuaderno.

Si 1" = 2000 millas, encuentra cada distancia real.

Ejemplo A

$3$ "

Solución: $6000$ millas

Ejemplo B

$\frac{1}{2}$ "

Solución: $1000$ millas

Ejemplo C

$\frac{1}{4}$ "

Solución: $500$ millas

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Primero, descubramos las dimensiones a escala del dibujo. Necesitaremos utilizar la escala para calcular la longitud y el ancho.

La escala es $\frac{1}{4}^{\prime\prime} = 1 \ mile$ .

Luego, escribamos una proporción para la longitud. Sabemos que la longitud real es de 43 millas.

$\frac{\frac{1}{4}^{\prime\prime}}{1 \ mile} &= \frac{x}{43 \ miles}\\\x &= 10.75^{\prime\prime}$

Ahora, podemos utilizar una proporción para el ancho. El ancho real es de 24 millas.

$\frac{\frac{1}{4}^{\prime\prime}}{1 \ mile} &= \frac{x}{24 \ miles}\\\x &= 6 \ inches$

Las dimensiones del dibujo de Josh serán de $10.75^{\prime\prime} \times 6^{\prime\prime}$

El dibujo caerá en una hoja de papel de $11 \times 14^{\prime\prime}$ .

Finalmente, podemos calcular el área del Everest de acuerdo a la fotografía.

$A &= lw\\\A &= (43 \ miles)(24 \ miles)\\\A &= 1032 \ square \ miles$

Vocabulario

Razón: Una comparación dos cantidades que se pueden escribir de tres formas diferentes: utilizando forma fraccionaria, utilizando los dos puntos o utilizando la palabra "a".

Proporción: Muestra dos razones iguales. Dos razones entonces forman una proporción.

Figuras similares: Figuras que tienen la misma forma, pero distinto tamaño.

Dibujo a escala: Un dibujo que se realiza con una escala, para que así las unidades de medida especificas pequeñas representen a unidades de medida más grandes.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Si la escala es $\frac{1}{2}$ pulgadas = 100 millas, ¿cuántas pulgadas son 500 millas?

Solución

Escribe una proporción and resuélvela.

$\frac{.5}{100} = \frac{x}{500}$

Multiplica de forma cruzada y resuelve

$100x & = .5(500) \\\100x & = 250 \\\x & = 2.5~\text{inches}$

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

Scale Factor

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza la escala $1^{\prime\prime} = 5.5 \ miles$ , y descubre la cantidad de pulgadas que se necesitan para dibujar cada milla. Utiliza las proporciones para calcular tu respuesta.

16.5 millas
11 millas
27.5 millas
8.25 millas
33 millas
60.5 millas
13.75 millas

Instrucciones: Utiliza la escala $\frac{1}{2}^{\prime\prime} = 100 \ miles$ , y descubre la cantidad de millas reales que representan cada medición a escala.

$1^{\prime\prime}$
$2^{\prime\prime}$
$3^{\prime\prime}$
$\frac{1}{4}^{\prime\prime}$
$\frac{3}{4}^{\prime\prime}$
$1 \frac{1}{2}^{\prime\prime}$
$2 \frac{1}{2}^{\prime\prime}$
$5 \frac{1}{2}^{\prime\prime}$
$7^{\prime\prime}$

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