Entender las relaciones de escala

En esta sección, entenderás sobre las relaciones de escala de área y volumen.

¿Alguna vez has pensado en las relaciones de escala? Estudia el siguiente problema.

Tim tiene un cubo de lado 4 pulgadas. Tiene un cubo similar con dimensiones que son el doble del primero. ¿Cómo se compara el volumen del cubo más grande con el del más pequeño?

Esta sección te enseñará a resolver problemas como este.

Orientación

Podemos comparar la relación de escala de la distancia, el área y el volumen cuando vemos figuras tridimensionales. Si piensas en otras clases de matemáticas, recordaras estas figuras como prismas o pirámides. Cuando comparas diferentes medidas, verás las relaciones proporcionales que tienen.

Veamos una situación que presenta volumen.

Brooke tiene un modelo escala de una bodega. Una unidad de almacenaje tiene la forma de un prisma rectangular y tiene las siguientes dimensiones: 4 pulgadas por 3 pulgadas por 6 pulgadas. Si la escala del modelo es de 0,5 pulgadas= 2 pies, ¿cuáles son las dimensiones reales de la bodega? ¿Cuál es su volumen?

Primero, nota que este problema tiene dos partes. Primero, debes descubrir las dimensiones reales con la información del modelo de Brooke. Segundo, debes descubrir el volumen.

Primero utiliza una proporción para encontrar las dimensiones reales de la bodega.

Escribe la escala como la primera razón y la escala y las dimensiones reales desconocidas de la bodega como la segunda.

$\frac{0.5 \ inch}{2 \ pies} &= \frac{4 \ inches}{x \ pies} ~~ & ~~ \frac{0.5 \ inch}{2 \ pies} & = \frac{3 \ inches}{x \ pies} ~~ & ~~ \frac{0.5 \ inch}{2 \ pies} & = \frac{6 \ inches}{x \ pies}\\\(0.5)x &= 4(2) & (0.5)x &= 3(2) & (0.5)x &= 6(2)\\\ 0.5x &= 8 & 0.5x &= 6 & 0.5x &= 12\\\ x &= 16 & x &= 12 & x &= 24$

Las dimensiones reales de de la unidad de almacenaje son 16 pies por 12 pies por 24 pies. Estos son la longitud, el ancho y la altura de la bodega.

Ahora que descubrimos las dimensione reales, podemos calcular el volumen.

$V &= lwh\\\V &= (16 \ pies)(12 \ pies)(24 \ pies)\\\A &= 4,608 \ pies^3$

El volumen de la unidad de almacenaje es de 4.608 pies cúbicos.

Existe una relación entre el área de la base del prisma y el volumen del mismo. Veamos cómo estos se relacionan.

$A &= lw\\\A &= 16(12)\\\A &= 192 \ sq.pies$

Si escribimos el volumen como una razón en el área de la basa, encontraremos algo muy interesante.

$\frac{4608}{192}$

Ahora, dividamos el numerador por el denominador.

La respuesta es 24 pies. Esta es la distancia de la altura del prisma.

Esto significa que existe una relación entre el área de la figura tridimensional, su altura y su volumen. Las medidas se relacionan en proporción una con la otra.

Utiliza lo que has aprendido para responder cada una de las siguientes preguntas.

Ejemplo A

Encuentra el volumen de un prisma de 16 pies de longitud, 12 pies de ancho y 18 pies de altura.

Solución: 3456 pies cúbicos

Ejemplo B

Ahora, encuentra el área de la base del prisma.

Solución: 192 pies

Ejemplo C

Luego, escribe una razón para comparar el volumen con el área del prisma y simplifica la respuesta.

Solución: $\frac{3456}{192}$ = $18$ pies

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Primero, encuentra las dimensiones del cubo más grande.

El problema dice que las dimensiones son el doble de las del primer cubo. Eso significa que debemos multiplicarlas por un factor de 2. El lado del cubo más grande mide: $4 \ inches \times 2 = 8 \ inches$ .

Ahora, encuentra el volumen de ambos cubos y compáralos.

Volumen del cubo más pequeño:

$V &= lwh\\\V &= (4 \ inches)(4 \ inches)(4 \ inches)\\\V &= 64 \ inches^3$

Volumen del cubo más grande:

$V &= lwh\\\V &= (8 \ inches)(8 \ inches)(8 \ inches)\\\V &= 512 \ inches^3$

Luego compara los dos volúmenes.

Si quieres saber cómo se comparan estos volúmenes:

Escribe una razón que compare ambos volúmenes.

$\frac{512 \ inches^3}{64 \ inches^3}=8$

El volumen del cubo más grande es 8 veces el del más pequeño.

Vocabulario

Bidimensional: Una figura dibujada en segunda dimensión solo se dibuja utilizando la longitud y el ancho.

Tridimensional: Una figura dibujada utilizando longitud, ancho y altura o profundidad.

Modelo a escala: Un modelo que representa un espacio tridimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Comprueba que la altura del siguiente prisma puede encontrarse utilizando una razón entre el volumen y el área.

Un prisma con una longitud de 6 pulgadas, un ancho de 5 pulgadas y una altura de 9 pulgadas.

Solución

Primero, encontremos el volumen del prisma.

$V = lwh$

$V =(6)(5)(9)$

$V = 270$ pulgadas cúbicas

Ahora, encontremos el área de la base.

$A = lw$

$A = (5)(6)$

$A = 30$ pulgadas cuadradas

Luego, podemos escribir una razón que compare el volumen y el área.

$\frac{270}{30}$

Para comprobar la relación, simplificamos esta razón. Al hacer esto, debemos encontrar la altura.

$9$ pulgadas

Nuestro trabajo está completo.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada problema.

Los lados de un cubo miden 8 pies. Un cubo similar tiene el doble de las dimensiones del primero. ¿Cómo se compara el volumen del cubo más grande con el del más pequeño? Escribe una razón para mostrar la comparación.
Los lados de un cubo miden 3 pies. Un cubo similar tiene la mitad de las dimensiones del primero. ¿Cómo se compara el volumen del cubo más grande con el del más pequeño? Escribe una razón para mostrar la comparación.
Un modelo a escala de un caja de arena tiene las siguientes dimensiones: 0,5 pulgada por 3 pulgadas por 4 pulgadas. Si la escala del modelo es $1 \ inch = 1 \ foot$ , ¿Cuál es el volumen de la caja real?
Los lados de un cubo miden 5 pulgadas. Un cubo similar tiene tres veces las dimensiones del primero. ¿Cómo se compara el volumen del cubo más grande con el del más pequeño? Escribe una razón para mostrar la comparación.
Una caja de envío mide 16 pulgadas por 12 pulgadas por 8 pulgadas. Una segunda caja tiene un tamaño similar pero sus dimensiones son $\frac{1}{4}$ en comparación a la primera. ¿cómo se compara el volumen de la primera caja con el de la segunda?
El tanque para peces de Rina tiene un volumen de 8.000 pulgadas cúbicas. Las dimensiones del tanque de Ava son $\frac{1}{2}$ de las de Rina. ¿Cuál es el volumen del tanque de Ava?
Un prisma tiene un ancho de 6 pies, una longitud de 8 pies y una altura de 12 pies. ¿Cuál es el volumen del prisma?
¿Cuál es el área de la base de este prisma?
¿Cuál sería el volumen de un prisma de $\frac{1}{4}$ del tamaño del descrito anteriormente?
¿Cuál sería el volumen de un prisma de $\frac{1}{2}$ del tamaño del descrito anteriormente?
¿Cuál sería el volumen de un prisma del doble del tamaño del descrito anteriormente?
¿Qué razón puedes utilizar para descubrir la relación entre el volumen y el área?
¿Qué medida encontrarás cuando simplifiques esta razón?
Verdadero o falso. Puedes utilizar medidas a escala para encontrar la altura del prisma.
Verdadero o falso. Puedes utilizar medidas a escala para encontrar las dimensiones del prisma.

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