Resolución de problemas que presenta tasa y unidades de análisis

En esta sección, resolverás problemas que presentan tasa y unidades de análisis.

"¡Me encantaría escalar el monte Everest!", exclamó Josh en el desayuno una mañana.

"¿De veras?", dijo sonriendo su padre. "Bueno, hijo, deberías comenzar a ahorrar ahora".

Confundido, Josh levantó la vista de su avena.

"¿Por qué dices eso?", preguntó Josh.

"Lo digo, porque para escalar el Everest debes tener cerca de $60.000. Por eso lo digo" explicó el padre, bebiendo café.

"¿De veras? ¡Guau! No tenía idea", dijo Josh. "Bueno, creo que tendré que trabajar y ganar mucho dinero", dijo Josh, levantándose de la mesa.

Siguió pensando en lo que su padre dijo mientras caminaba a la escuela. Sesenta mil dólares era mucho dinero para escalar una montaña, pero lo que de verdad le asombraba a Josh era pensar en la cantidad de personas que lo había escalado más de una vez. Cuando llegó a su clase, vio en su libro que Apa Sherpa un hombre de Nepal había escalado exitosamente la montaña 19 veces. Bueno, generalmente era un guía a quien le pagaban, pero no pudo dejar de pensar en el dinero que hubiese gastado Apa Sherpa si él hubiera que pagar todas las diecinueve veces que escalado el Everest con la tasa que le dijo su padre.

¿Cuánto le hubiese costado? Podemos utilizar unidades, razones y proporciones para resolver el problema. Si pensamos que un viaje es una unidad, podemos ver a las proporciones y calcular la cantidad correcta de dinero.

Orientación

Una tasa se refiere a la velocidad o a la cantidad de dinero que las personas ganan por hora.

Cuando hablamos de tasas unitarias, comparamos una tasa con 1 o lo que le tomaría a 1 de algo. Puede ser una manzana, una milla, un galón, etc. Lo que hacemos es comparar una cantidad con otra.

Una palabra clave cuando trabajas con tasas unitarias es "por".

Podemos utilizar razone y proporciones para resolver problemas que presentan tasas y tasas unitarias.

Jeff gana $150,00 por una hora como consultante. ¿Cuánto es lo que gana por minuto?

Para averiguarlo, debemos pensar en la tasa unitaria que le pagan a Jeff como consultante. Puedes ver que el problema dice "una hora". Esta es la tasa unitaria. También utilizar la palabra "por".

Escribamos una tasa unitaria como una razón comparada con 1.

$\frac{\$ 150.00}{1}$

Luego, debemos pensar sobre puede el enunciado del problema. Lo que pide es lo que gana por minuto (tasa por minuto). La información que tenemos está en horas, por lo que debemos escribir una razón que compare las horas con los minutos.

$\frac{1 \ hour}{60 \ minutes}$

Ahora, podemos escribir una expresión que combine las dos razones.

$\frac{\$ 150}{1 \ hour} \cdot \frac{1 \ hour}{60 \ minutes}$

Esa es una buena pregunta. No comparamos horas con horas, porque no estamos comparando horas. Estamos comparando dinero con horas y debemos calcular lo que gana por cada minuto. Siempre debes pensar que en lo que se compara cuando estás trabajando con proporciones.

Luego, resolvemos. Nota que, ya que un ahora es diagonal a una hora, podemos eliminar las horas. Eso nos deja con un razón que compara dinero con minutos.

$\frac{\$ 150}{60 \ minutes}$

Esto nos ayudará a convertir las horas en minutos, lo que hará más fácil encontrar la respuesta al problema. Ahora, para descubrir la respuesta, dividimos.

Jeff gana $2,50 por minuto.

¿Qué es unidad de análisis?

Unidad de análisis es cuando vemos cómo medir unidades individuales en diferentes cantidades de medidas y se utiliza para convertir unidades de medida.

Cuando utilizamos unidades de análisis, convertimos diferente unidades de medida al comparar las unidades utilizando razone y proporciones. Las unidades de análisis son muy útiles para comprobar respuestas.

Estudia el siguiente problema.

Juanita trabajó por 18 horas. Ganó $116,00 al final de su turno. Juanita estaba seguir que el gerente había realizado un error y que debió haber ganado más dinero. Juanita gana $9,00 por hora. ¿Ganó Juanita la cantidad correspondiente de dinero u ocurrió un error?

Para resolver este problema, podemos utilizar la unidad de análisis. Comencemos escribiendo una razón para ver cuánto ganó Juanita por las horas que trabajó.

$\frac{18 \ hours}{\$ 116.00}$

Luego, podemos utilizar la tasa por hora para resolver el problema. Ella gana $9,00 por hora.

$\frac{\$ 9}{1 \ hour}$

Si Juanita gana $9,00 por hora, podemos multiplicar $18 \times 9$ . Obtenemos $162,00. A Juanita solo le pagaron $116,00, por lo que definitivamente hubo un error.

Ejemplo A

Diez manzanas cuestan $3,99. ¿Cuánto cuesta una manzana?

Solución: .39

Ejemplo B

Quince galones de gasolina cuestan $45,00. ¿Cuánto cuesta uno?

Solución: $3.00

Ejemplo C

Dos entradas a un partido de béisbol cuestan $111,50. ¿Cuánto cuesta una entrada?

Solución: $55.75

Ahora, regresemos al problema del inicio de esta sección.

Ahora, resolvamos este problema.

Sabemos que un viaje al monte Everest cuesta $60.000 .

$\frac{\$ 60,000}{1} &= \frac{x}{19}\\\x &= \$ 1,140,000$

También podemos utilizar la unidad de análisis para resolver este problema.

$60,000 dólares $\left( \frac{19}{x \ dollars}\right)$

$60,000 \times 19 = \$ 1,140,000$ es el costo por los diecinueve viajes.

Esta es nuestra solución.

Vocabulario

Razón: Una unidad que se relaciona con otra. Puede ver la tasa de ganancias o de velocidad. Es una unidad que es medida.

Tasa unitaria: Una tasa que se compara a 1. Una tasa de ganancias sería una cantidad de dinero por hora. Una unidad unitaria de gasolina sería la cantidad de dinero que cuesta un galón de ella.

Unidad de análisis: Método de convertir diferentes unidades de medida al utilizar razone y proporciones para comparar y convertir unidades.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Resuelve y luego comprueba utilizando las unidades de análisis.

Jesse tiene un auto que puede contener 14 galones de gasolina. Durante la primera semana del mes, la gasolina cuesta $2,75 por galón. En la segunda, $2,50 por galón. ¿Cuánto gastó en 28 galones de gasolina?

Solución

Comencemos escribiendo una expresión con variables para resolver el problema. Sabemos que el número de galones de gasolina no cambia. Esa puede ser nuestra variable.

$x =$ número de galones de gasolina

Las otras partes de la expresión incluyen los diferentes precios de la gasolina.

$2.75x+2.50x$

Esta expresión nos ayudará a determinar cuánto dinero gastó Jesse en 28 gallones de gasolina. Para llenar el tanque se necesitan 14 galones. Podemos sustituir el 14 por la variable $x$ .

$2.75(14)&+ 2.50(14)\\\\$ 38.50 &+ \$ 35.00$

La suma total del dinero gastado es $73,50.

Podemos comprobar nuestro trabajo utilizando la unidad de análisis.

$\frac{2.75}{1 \ gallon} &= \frac{x}{14 \ galones} = \$ 38.50\\\\frac{2.50}{1 \ gallon} & = \frac{x}{14 \ galones} = \$ 35.00$

La suma total del dinero gastado es $73,50.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen anterior para mayor información. (requiere conexión a internet)

Determining a Unit Rate

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza lo que has aprendido para resolver los siguientes problemas.

Peter corre a una velocidad de 10 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 8 horas?
Un guepardo puede correr a una velocidad de 60 millas por hora. ¿Qué distancia habrá recorrido luego de 6 horas?
¿Cuál es la fórmula de la distancia?
Si un auto viaja a una velocidad de 65 millas por hora por 30 minutos, ¿Cuánto recorre en ese tiempo?
Un tren viaja a 50 millas por hora. Si necesita recorrer 320 millas, ¿cuántos minutos se demorará?
Un auto viaja a 65 millas por hora por 12 horas. ¿Cuántas millas recorrerá?
Un bus recorrió 300 millas a una velocidad promedio de 50 millas por hora. ¿Cuánto se demoro en recorrer las 300 millas?
Un auto viaja a una velocidad promedio de 40 millas por hora por una zona de construcción. Si el auto viajó 20 millas a esta velocidad, ¿cuántas horas le llevó viajar las 20 millas?
¿Qué es velocidad?
¿Cuál es la fórmula de velocidad?
¿Cuál es la velocidad de un objeto que recorre 500 millas en 2,5 horas?
Si un objeto tiene una velocidad de 125 millas por hora, ¿cuánto le tomará recorrer 4.375 millas?
Si un objeto viaja a una velocidad de 7 kilómetros por minuto, ¿cuánto recorrerá en 2 horas?
Si un objeto viaja a una velocidad de 4 metros por segundo, ¿cuántos kilómetros recorrió después de 2 días?
La formula de densidad es $D = \frac{m}{v}$ donde $D$ representa la densidad de un objeto, $m$ representa la masa del objeto y $v$ el volumen del objeto. ¿Cuál es la densidad de un ladrillo que pesa 9 libras y tiene un volumen de 36 pulgadas cúbicas?