Usar Proporciones para Resolver Problemas de Porcentajes.

En esta sección, usarás proporciones para resolver problemas de porcentajes.

¿Has realizado una encuesta alguna vez? Échale un vistazo a este dilema.

El centro de alumnos ha decido realizar una encuesta para saber cuántos estudiantes de la enseñanza básica van a los partidos de fútbol de los viernes por la noche. Le preguntaron a cada estudiante que iba entrando al estadio, en qué curso iban y anotaron los resultados. Los miembros del centro de alumnos realizaron esto durante tres semanas y consideraron que se era suficiente para ser considerado como una muestra para realizar una buena estimación sobre cuántos estudiantes de enseñanza básica asistían a los partidos. Este es el informe que entregaron durante los anuncios de la mañana una vez que completaron la encuesta.

"¡40% de nuestros estudiantes van a los partidos de fútbol los viernes por la noche! ¡Intentemos que este número sea un 50% la próxima temporada, así podemos realmente alentar a los jugadores de enseñanza media!"

"¡Guau!, cuarenta por ciento de todas maneras es un porcentaje bastante alto", le comentó Cameron a Carla en la sala de clases.

" Sí, pero 50 por ciento sería aún mucho mejor, ya que hay 380 estudiantes en nuestra escuela".

"Entonces, ¿cuántos son los estudiantes van a ver los partidos?", preguntó Cameron

Es una buena pregunta. Si entiendes sobre porcentajes y proporciones, puedes usar la información entregada para calcular cuántos son los estudiantes van a los partidos si sabemos que un 40% va. Usa la información que hay en esta sección para calcular cómo resolver este problema.

Orientación

Las proporciones se pueden usar para comparar cualquier cantidad equivalente. Recuerda que las proporciones se crean cuando dos razones son iguales. Por esta razón, las proporciones se pueden usar para encontrar cualquier pieza perdida. Si conocemos un porcentaje, podemos también encontrar una parte del todo.

Fíjate en esta situación.

En la escuela básica Big Town, el 37% de los estudiantes participa en programas de atletismo. Si la escuela tiene 968 alumnos, ¿cuántos uniformes necesitan comprar?

Aunque 37% es un número que nos sirve, no nos dice cuántos estudiantes necesitan uniformes. Sabemos que por cada 100 alumnos, 37 necesitarán un uniforme. Sin embargo, esta no es información suficiente para realizar una compra. Si hay 968 alumnos en la escuela, usa la proporción $\frac{a}{b} = \frac{p}{100}$ nuevamente para encontrar el valor desconocido. Si nos dan el porcentaje $p$ , entonces el valor desconocido no es el porcentaje sino que la parte del estudiantado que necesita uniformes.

$\frac{a}{968} = \frac{37}{100}$

Usa los productos cruzados para calcularlo $a$ .

$\frac{a}{968} &= \frac{37}{100}\\\100a &= 968 \cdot 37\\\100a &= 35816\\\a &= 358$

Hay que comprar 358 uniformes.

Antes de continuar, asegúrate de que tienes anotada la proporción $\frac{a}{b}=\frac{p}{100}$ en tu cuaderno.

Ya que podemos usar una proporción para calcular una variable incógnita, podemos también encontrar el todo si conocemos un porcentaje y su parte correspondiente.

Fíjate en esta situación.

En la escuela secundaria Big Town, el 58% de los alumnos participa en programas de atletismo. Si 1670 alumnos participan en un programa de atletismo, entonces ¿cuántos alumnos hay en la escuela?

Esta vez conocemos la parte $a$ y conocemos el porcentaje $p$ . No conocemos el todo, $b$ . Necesitamos ajustar la proporción.

$\frac{1670}{b} = \frac{58}{100}$

Usa los productos cruzados para calcular el valor de $b$ .

$58b &= 1670 \cdot 100\\\58b &= 167000\\\b &= 2879$

Hay aproximadamente 2879 estudiantes.

Algunas veces, no tendrás que resolver un problema expresado en palabras, sino que simplemente tendrás una proporción que necesita ser resuelta para calcular un valor incógnito.

$\frac{90}{b} = \frac{30}{100}$

Usamos productos cruzados para calcular $b$ .

$30b &= 90(100)\\\30b &= 9000\\\b &= 300$

Calcula los valores incógnitos de cada proporción.

Ejemplo A

$\frac{9}{b}=\frac{20}{100}$

Solución: $b = 45$

Ejemplo B

$\frac{a}{10}=\frac{40}{100}$

Solución: $a = 4$

Ejemplo C

$\frac{a}{3}=\frac{18}{100}$

Solución: $a = .54$

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Escribamos una proporción con la información dada.

40% de los estudiantes van a los partidos. Podemos convertir esto en una razón de 100.

$\frac{40}{100}$

Hay 380 alumnos en la escuela básica. Ese es nuestro todo. Necesitamos calcular qué parte del todo es 40%. Esta es la segunda razón.

$\frac{x}{380}$

Ahora podemos escribir esto como una proporción.

$\frac{40}{100} = \frac{x}{380}$

A continuación, calculamos en la proporción el número de alumnos que asiste a los partidos de fútbol.

$100x=15,200$

152 alumnos van a los partidos de fútbol de los viernes por la noche.

Vocabulario

Proporción: Dos razones iguales forman una proporción.

Porcentaje: Una parte de un todo de un total de 100.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

Un guardabosque descubrió que el 25% de los árboles en su área estaban infectados con un parásito. Si hay 3060 árboles en su área, ¿cuántos árboles están infectados?

$\frac{a}{3060} &= \frac{25}{100}\\\100a &= 3060 \cdot 25\\\100a &= 76500\\\a &= 765$

765 árboles fueron infectados con el parásito.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Using Proportions to Solve Razón Problems

*Este video solo está disponible en inglés.

Práctica

Indicaciones: calcula el valor de $a$ en las siguientes proporciones.

$\frac{a}{23}=\frac{85}{100}$
$\frac{a}{1500}=\frac{7}{100}$
$\frac{a}{5}=\frac{61}{100}$
$\frac{a}{4}=\frac{75}{100}$
$\frac{a}{5}=\frac{40}{100}$
Una empresa pequeña de venta de automóviles vendió 65.000 autos el año pasado. El noventa y cinco por ciento de esos autos tenía airbags ¿Cuántos autos tenían airbags?

Indicaciones: calcula el valor de $b$ en las siguientes proporciones. Redondea a la cifra decimal más próxima.

$\frac{88}{b}=\frac{22}{100}$
$\frac{600}{b}=\frac{74}{100}$
$\frac{1}{b}=\frac{85}{100}$
$\frac{2}{b}=\frac{66}{100}$
$\frac{3}{b}=\frac{75}{100}$
Una reciente encuesta del gobierno revela que en New City, las personas gastan 35% de sus ingresos mensuales en pagar arriendo. Si un arriendo promedio es de $780, ¿cuál es el promedio de ingreso mensual?

Indicaciones: usa la proporción $\frac{a}{b}=\frac{p}{100}$ para resolver los siguientes problemas.

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