Resolver Problemas de la Vida Cotidiana con Interés Compuesto

En esta sección, resolverás problemas de la vida cotidiana que tengan que ver con el interés compuesto.

¿Has tenido alguna vez una cuenta bancaria? ¿Has calculado alguna vez un interés? Échale un vistazo a este dilema y aprenderás qué es el interés compuesto.

"¡Guau! ¡$4320 es una cantidad tremenda!", exclamó Jeremy cuando Candice le contó sobre el saldo en la cuenta de ahorros.

"Es genial", comentó Marcus, "pero creo que nos podría haber ido mejor si el interés se hubiese compuesto mensualmente."

"¿En serio? ¿Qué significa eso?", preguntó Jeremy.

"Significa que el interés es devengado y luego reinvertido y uno gana interés sobre el interés devengado", explicó Marcus.

"¿En serio?", preguntó Candice.

"Sí, déjame explicar", dijo Marcus.

Antes de que Marcus explique, es tiempo de aprender sobre el interés compuesto. Una vez que aprendas la información que hay en esta sección, estarás listo para saber si Marcus tiene razón.

Orientación

El interés es importante. No se trata solo de un gran negocio para los bancos e inversores, sino que es una forma de asegurar una buena jubilación y alcanzar metas financieras. Entender sobre los intereses te ayuda a tomar mejores decisiones. La última parte se trató sobre el interés simple, el cual ejemplifica la idea básica de interés.

Sin embargo, en la mayoría de los casos de la vida cotidiana, el interés no se calcula con la fórmula del interés simple $I = prt$ sino que con la fórmula del interés compuesto $A = P(1+r)^t$ . Fundamentalmente, esta fórmula explica el hecho de que mientras inviertas y ganes interés, tu saldo de cuenta crece. Entonces, no solo se genera interés sobre tu estado de cuenta inicial, sino que sobre el nuevo estado de cuenta o saldo que incluye las primeras cuota(s) de interés. Te pagan interés sobre el interés.

Fíjate en esta situación.

Inviertes $100 por 3 años con un interés de 10%. Después de un año, tendrás la cantidad inicial más el 10% de interés. Tendrías $110. Luego, en el segundo año, te pagarían el mismo 10% de interés, pero no sobre $100 sino que sobre $110. El segundo año ganarías $11 de interés y tendrías $121. En el tercer año ganarías $12,10 y tu saldo final sería de $133,10. Te pagaron el interés sobre el interés lo que creó una diferencia en tu saldo final.

La situación anterior muestra el ajuste de cada año. Eso significa que te pagan el interés una vez al año sobre tu saldo. En la vida cotidiana, el interés a menudo se compone o ajusta mensualmente o diariamente. En el caso del interés compuesto, usaremos la fórmula $A = P(1+r)^t$ donde $A$ es tu saldo final, $P$ es la cantidad principal, $r$ es la tasa de interés para el período (diario, mensual, semi-anual, anual, etc.) y $t$ es el número de periodos de tiempo en el cual se invierte el dinero. Si el interés se compone mensualmente, habrá 12 períodos por año.

En la situación de arriba, $P$ era $100, $r$ era 10%, y $t$ era 3 periodos desde que el interés fue compuesto anualmente. Sustituiríamos estos valores en la fórmula del interés compuesto:

$A &= P(1+r)^t\\\A &= 100(1+.10)^3\\\A &= 100(1.10)^3\\\A &= 100(1.331)\\\A &= 133.10$

Usando la fórmula llegamos a la misma cantidad discutida.

¡Exacto! Usamos la fórmula para calcular el interés de manera sistemática Te podrías estar preguntando cuál es la gran diferencia que hay entre el interés simple y el interés compuesto. A primera vista, no parece haber una gran diferencia, sin embargo, si haces el cálculo, la diferencia será clara.

Veamos cuán diferente puede ser usando el mismo principio para la misma cantidad de tiempo y a la misma tasa. Sin embargo, una cuenta se pagará con interés simple y la otra será compuesta anualmente.

Cuenta 1 - Interés Simple	Cuenta 2 - Interés Compuesto
Cantidad principal: $20.000	Cantidad principal: $20.000
Tasa de interés: 8% anual	Tasa de interés: 8% anual
Tiempo plazo: 20 años	Tiempo plazo: 20 años
Fórmula del interés simple $I = prt$	Fórmula del interés compuesto $A = P(1+r)^t$
$p = 20000, r = .08, t = 20$	$P = 20000, r = .08, t = 20$
$I = prt$	$A = P(1+r)^t$
$I = 20000 \cdot .08 \cdot 20$	$A = 20000(1+.08)^{20}$
$I = 32000$	$A = 20000(1.08)^{20}$
$20000+32000 = 52000$	$A = 20000(4.661)$
	$A = 93220$

Con el interés simple obtienes un saldo de $52.000…lo cual no está mal. Con el interés compuesto obtienes un saldo final de $93,220. ¡Es una diferencia enorme! El total es sobre $40.000 mayor con el interés compuesto.

Compara el saldo final sobre una cantidad principal de $10.000 pagada con interés simple de 5% por un año o un interés compuesto de 5% por año compuesto mensualmente. A continuación compara después de 5 años y 10 años.

Saldo después de ciertos años
Años	Interés simple	Interés compuesto
1	$10,500	$10,512
5	$12,500	$12,834
10	$15,000	$16,470

Así, puedes ver que existe una gran diferencia entre el cálculo del interés simple y el cálculo del interés compuesto.

Calcula el siguiente interés compuesto calculado anualmente.

Ejemplo A

Cantidad principal: = $3.000, Tasa = 4%

Solución: $\$4,803$

Ejemplo B

Cantidad principal: = $5.000, Tasa = 3%

Solución: $\$7,100$

Ejemplo C

Cantidad principal: = $12.000, Tasa = 2%

Solución: $\$15,120$

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Primero, calculemos el saldo si el interés ha sido un interés compuesto.

$A &= P(r + 1)^t\\\A &= 4000(.04 + 1)^{24}\\\A &= 4000 (1.04)^{24}\\\A &= 4000(2.56)\\\A &= \$10,240$

En este caso, la cantidad del saldo con el interés compuesto habría sido más del doble que el saldo con interés simple. ¡Marcus tenía razón después de todo!

Vocabulario

Interés simple: Interés calculado considerando solamente la cantidad principal por las veces de la tasa por la veces del tiempo.

Interés compuesto: Cuando el interés es devengado, se reinvierte y ganas el interés sobre el interés que luego se agrega al saldo de tu cuenta.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

Un bombero invierte $40.000 en una cuenta de jubilación por dos años. La tasa de interés es de 6%. El interés es compuesto mensualmente. ¿Cuál será su estado de cuenta final?

Solución

Observa que dividimos por 12, ya que hay dos meses en un año y el interés es compuesto mensualmente.

$r &= \frac{.06}{12} = .005\\\P &= 40000, t = 24\\\A &= 40000(1+.005)^{24}\\\A &= 40000(1.005)^{24}\\\A &= 40000(1.127)\\\A &= 45080$

El estado de cuenta final es de $45.000.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Intro to Compound Interest

*Este video solo está disponible en inglés.

Práctica

Indicaciones: calcula el interés simple usando $I = PRT$ .

Cantidad principal = $2000, Tasa = 5%, Tiempo = 3 años
Cantidad principal = $12,000, Tasa = 4%, Tiempo = 2 años
Cantidad principal = $10,000, Tasa = 5%, Tiempo = 5 años
Cantidad principal = $30,000, Tasa = 2.5%, Tiempo = 10 años
Cantidad principal = $12,500, Tasa = 3%, Tiempo = 8 años
Cantidad principal = $34,500, Tasa = 4%, Tiempo = 10 años
Cantidad principal = $16,000, Tasa = 3%, Tiempo = 5 años
Cantidad principal = $120,000, Tasa = 5%, Tiempo = 4 años

Indicaciones: calcula el siguiente interés compuesto calculado anualmente.

Cantidad principal = $3000, Tasa = 4%
Cantidad principal = $5000, Tasa = 3%
Cantidad principal = $12,000, Tasa = 2%
Cantidad principal = $34,000, Tasa = 5%
Cantidad principal = $18,000, Tasa = 3%
Cantidad principal = $7800, Tasa = 4%
Cantidad principal = $8500, Tasa = 3%