Entender las Medidas de Ángulos de los Triángulos

En esta sección, entenderás las medidas de los ángulos de los triángulos y que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a $180^{\circ}$ .

¿Has visto alguna vez cómo construyen una casa? Observemos este problema.

Para la construcción del techo de esta casa se está usando un triángulo que brinda estabilidad. Además, permite que el agua caiga durante la lluvia o cuando se derrite la nieve. Utilizar triángulos tiene mucho sentido.

Si dos de los ángulos del triángulo tienen la misma medida, ¿sabes qué tipo de triángulo es? Si la suma de dos de los ángulos es igual a $120^{\circ}$ , ¿cuál es la medida del tercer ángulo?

Entender las medidas de los ángulos te ayudará a resolver este problema. Lo abordarás nuevamente al final de esta sección.

Orientación

Si observas todos los ángulos en un triángulo, notarás algo que es consistente en cada uno de ellos. Si sumamos el número de grados de cada ángulo de un triángulo, verás que la suma de las medidas de los ángulos es igual a $180^{\circ}$ .

Esta es una buena pregunta. La respuesta corta es sí, es siempre cierto. Pero observemos un ejemplo para entender esto más en profundidad.

Podemos comenzar por observar un triángulo equilátero. Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales. Cada uno de estos ángulos mide 60 grados. A continuación, se muestra un triángulo equilátero.

Ahora, observemos lo que pasa cuando sacamos los ángulos de $60^{\circ}$ . Tres ángulos de $60^{\circ}$ son igual a $180^{\circ}$ y una recta extendida mide $180^{\circ}$ . La suma de los ángulos de un triángulo es $180^{\circ}$ , y esto sucederá sin importar cuáles sean las medidas de los ángulos. Los ángulos de un triángulo siempre formarán una recta extendida y serán iguales a $180^{\circ}$ .

Ahora, veamos cómo podemos utilizar esta información para encontrar medidas desconocidas de ángulos.

¿Cuál es la medida del ángulo desconocido en este triángulo?

Ahora, aquí tenemos un triángulo.

Primero, podemos utilizar la información que sabemos para determinar qué tipo de triángulo es.

Comencemos por observar los ángulos de este triángulo. Hay dos ángulos pequeños. Estos son ángulos de 25 grados y son agudos. Podemos notar al mirar este tercer ángulo desconocido, que es un ángulo obtuso. Este es un triángulo obtuso.

Luego, podemos escribir una expresión para ayudarnos a determinar la medida desconocida.

$25+25+x$

Ahora, podemos escribir esta expresión en una ecuación con una suma de 180 grados. A continuación, podemos resolver el valor de $x$ .

$25+25+x &= 180\\\50+x &= 180\\\x &= 180-50\\\x &= 130^{\circ}$

La medida del ángulo desconocido es $130^{\circ}$ .

Veamos otro ejemplo.

¿Cuál es la medida de los dos ángulos desconocidos, si este es un triángulo isósceles?

Aquí tenemos dos ángulos desconocidos. Sabemos por el problema que este es un triángulo isósceles. Eso significa que las longitudes de los lados son iguales y también podemos ver que los dos ángulos base son congruentes. Nuestro ángulo dado mide $50^{\circ}$ , así que podemos escribir una expresión variable para ayudarnos a determinar la medida de los ángulos base desconocidos.

$x+x+50$

Podemos expandir esta expresión a una ecuación que es igual a 180 grados.

$x+x+50=180$

Luego, agrupamos los términos semejantes antes de resolver esto.

$2x+50 &= 180\\\2x &= 130\\\x &= 65^{\circ}$

Cada uno de los ángulos base mide $65^{\circ}$ .

También puedes identificar las medidas de ángulos desconocidos cuando las rectas se intersectan. Observemos.

Encuentra el valor de los ángulos desconocidos $x$ y $y$

Ahora, para resolver este problema, necesitarás aplicar todo lo que has aprendido sobre resolución de problemas de medidas de ángulos desconocidos.

Comencemos por observar el ángulo $x$ .

Puedes ver que el ángulo $x$ es un ángulo agudo. También es un ángulo adyacente al ángulo de 140 grados que ya está determinado. Sabemos que la suma de los ángulos adyacentes es $180^{\circ}$ . Ahora, podemos escribir una ecuación y resolver la medida del ángulo desconocido.

$140 + x &= 180\\\x &= 40^{\circ}$

Existen dos formas de encontrar la medida del ángulo $y$ . Una es usar la suma de las medidas de los ángulos, ya que conocemos la medida de $x$ . Hagamos esta forma primero.

$y+40+85 &= 180\\\y+125 &= 180\\\y &= 55^{\circ}$

La segunda forma es utilizar los ángulos verticales. Puedes ver que el ángulo $125^{\circ}$ está etiquetado. Esto quiere decir que el ángulo vertical a este ángulo etiquetado también mide $125^{\circ}$ . El ángulo $y$ forma una recta extendida con ese ángulo y, por lo tanto, mide $55^{\circ}$ .

Encuentra cada una de las medidas de los ángulos desconocidos.

Ejemplo A

$55^{\circ}, 35^{\circ}, ?$

Solución: $90^{\circ}$

Ejemplo B

$105^{\circ}, 25^{\circ}, ?$

Solución: $60^{\circ}$

Ejemplo C

$42^{\circ}, 15^{\circ}, ?$

Solución: $123^{\circ}$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

La suma de dos de los ángulos del triángulo es igual a $120^{\circ}$ .

Sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a $180^{\circ}$ .

Por lo tanto, la medida del ángulo desconocido es $60^{\circ}$ .

Vocabulario

Triángulo Agudo: es un triángulo en el que sus tres ángulos miden menos de $90^{\circ}$ .

Triángulo Rectángulo: es un triángulo con un ángulo de $90^{\circ}$ y dos ángulos agudos.

Triángulo Obtuso: es un triángulo con un ángulo que mide más de $90^{\circ}$ .

Triángulo Equilátero: es un triángulo en el que las longitudes de sus tres lados y los tres ángulos son congruentes.

Triángulo Isósceles: es un triángulo en el que las longitudes de dos de sus lados son iguales.

Triángulo Escaleno: es un triángulo en el que las longitudes de sus tres lados son diferentes.

Congruente: significa “exactamente lo mismo”, “que tienen la misma medida”.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Piensa en arquitectura. ¿Por qué crees que se utilizan triángulos en los diseños? Observemos este puente. Ve si puedes entender por qué los triángulos son frecuentemente una parte elemental del diseño arquitectónico.

Solución

Este es un puente de armadura.

Mirando este puente, puedes ver cómo la forma básica de un triángulo es fundamental para el diseño del puente. El triángulo ayuda a mantener estable al puente, debido a la fuerza de sus cimientos. El triángulo es una forma que debido a su base es muy estable y no cederá a la presión. Es una figura balanceada.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Angle Measures of a Triangle

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza lo que has aprendido sobre los ángulos internos de un triángulo para determinar el ángulo desconocido en cada triángulo.

$45^{\circ}, 45^{\circ}, ?$
$60^{\circ}, 60^{\circ}, ?$
$90^{\circ}, 50^{\circ}, ?$
$100^{\circ}, 40^{\circ}, ?$
$110^{\circ}, 30^{\circ}, ?$
$50^{\circ}, 10^{\circ}, ?$
$145^{\circ}, 15^{\circ}, ?$
$55^{\circ}, 45^{\circ}, ?$
$70^{\circ}, 35^{\circ}, ?$
$50^{\circ}, 50^{\circ}, ?$
$63^{\circ}, 42^{\circ}, ?$
$18^{\circ}, 75^{\circ}, ?$

Instrucciones: Identifica tres triángulos en la habitación en la que te encuentras.

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