Entender las Medidas de los Ángulos de los Cuadriláteros

En esta sección, entenderás las medidas de los ángulos de los cuadriláteros.

¿Has usado alguna vez un cuadrilátero en un objeto del mundo real? Observemos este problema.

Margie crea joyas. Hizo este collar para venderlo en una feria artesanal.

¿Puedes identificar el cuadrilátero? En esta sección, aprenderás a resolver esta tarea.

Orientación

¿Qué es un cuadrilátero?

Un cuadrilátero es cualquier figura que tenga cuatro lados.

En la palabra “cuadrilátero”, encontramos la palabra “cuad” que significa cuatro. Esto quiere decir que cualquier figura de cuatro lados se considera un cuadrilátero. Ahora, existen diferentes tipos de cuadriláteros y los vamos a aprender en esta Sección.

Podemos decir que un cuadrilátero es cualquier figura que tenga cuatro lados. Podríamos considerar esto como una categoría general, lo que significa que existen diferentes tipos de cuadriláteros que podemos identificar de una forma específica, pero aún son cuadriláteros.

Centrémonos en la identificación de tipos de cuadriláteros.

El primer tipo de cuadrilátero que aprenderemos se llama paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos paralelos y congruentes.

A continuación, se muestra una imagen de un paralelogramo.

Cuando miras esta imagen, puedes ver que los lados opuestos de la figura son paralelos. También tienen la misma longitud, lo que significa que son congruentes .

Existen tres tipos principales de paralelogramos.

Los paralelogramos pueden ser convencionales como el de la imagen. También pueden ser un rectángulo, un cuadrado y un rombo.

Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos, en donde los lados opuestos son congruentes y paralelos. Has estado viendo rectángulos por un largo tiempo, pero ahora necesitas darte cuenta de que existen propiedades específicas que hacen que un rectángulo sea un rectángulo.

Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes, pero no necesariamente cuatro ángulos rectos. Un rombo puede lucir como un cuadrado, pero mientras que un cuadrado siempre es un rombo, un rombo no es necesariamente un cuadrado. Un rombo solo puede ser un cuadrado si posee cuatro ángulos rectos.

Un cuadrado también es un paralelogramo. La gran diferencia entre un cuadrado y un rectángulo es que un cuadrado posee cuatro lados congruentes. También tiene cuatro ángulos rectos, aunque eso es lo mismo que tiene un rectángulo.

Existe otro tipo de cuadrilátero. Este cuadrilátero NO es un paralelogramo. Es un tipo especial de cuadrilátero. Se llama trapezoide . Un trapezoide es un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos.

Un asunto importante que hay que recordar sobre los cuadriláteros es que sus cuatro ángulos siempre suman $360^\circ$ . Esto es así sin importar la forma o el tamaño del cuadrilátero.

Nota cuán diferentes son los ángulos y los lados de los cuadriláteros. Aunque mirados de cerca, si sumas las medidas de los cuatro ángulos, serán siempre iguales a $360^\circ$ . Esto es porque todo cuadrilátero es realmente dos triángulos juntos. Como sabemos, los tres ángulos en todos los triángulos suman $180^\circ$ .

Este cuadrilátero se ha dividido en dos triángulos congruentes, cada uno con ángulos de $120^\circ, 25^\circ$ , y $35^\circ$ . Si sumamos estos ángulos, obtenemos la suma de $180^\circ$ . Si regresamos y observamos el cuadrilátero completo, vemos que posee dos ángulos de $120^\circ$ y dos ángulos de $60^\circ$ $(25^\circ + 35^\circ = 60^\circ)$ . Cuando sumamos estos ángulos, obtenemos la suma de $360^\circ$ : $60^\circ + 120^\circ + 60 + 120^\circ = 360^\circ$ . Esto será así sin importar lo que mida cada ángulo en el cuadrilátero.

Podemos utilizar lo que sabemos sobre los cuadriláteros para analizarlos. Cuando analizamos cuadriláteros, podemos encontrar la medida de un ángulo o lado desconocido. Recuerda que una de las cosas más importantes que hay que saber sobre los cuadriláteros es que sus ángulos siempre suman $360^\circ$ . Esto quiere decir que si conocemos la medida de tres ángulos, podemos establecer una ecuación para resolver la medida del cuarto ángulo. Veamos cómo funciona esto.

Encuentra la medida del ángulo desconocido en el cuadrilátero que se muestra a continuación.

Sabemos que los cuatro ángulos deben sumar $360^\circ$ , así que podemos sumar los cuatro ángulos, utilizando $m$ para representar el ángulo desconocido.

$55+90+105+m &= 360\\\250+m &= 360\\\m &= 360-250\\\m &= 110^\circ$

Al resolver $m$ , hemos encontrado que el cuarto ángulo mide $110^\circ$ .

Podemos comprobar nuestro análisis mediante la suma de los cuatro ángulos para ver si su total es $360^\circ$ .

$55^\circ + 90^\circ + 105^\circ + 110^\circ = 360^\circ$

Nuestro cálculo fue correcto. Siempre podemos utilizar este método cuando nos brindan tres de cuatro ángulos en un cuadrilátero.

Muchas veces, podemos utilizar lo que sabemos de las propiedades de los cuadriláteros para encontrar medidas desconocidas sin tener que establecer una ecuación. Podemos utilizar simplemente el razonamiento para unir las piezas.

Identifica cada uno de los ángulos desconocidos.

Ejemplo A

$110^\circ, 110^\circ, 70^\circ,?$

Solución: $70^\circ$

Ejemplo B

$90^\circ, 90^\circ, 90^\circ,?$

Solución: $90^\circ$

Ejemplo C

$100^\circ, 100^\circ, 80^\circ,?$

Solución: $80^\circ$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Observemos nuevamente el collar que Margie creó.

Ahora, examinemos esta imagen. Podemos observar las cualidades que identifican este cuadrilátero. Nota que tiene dos lados paralelos. Los otros dos lados no son paralelos o congruentes. Con un par de lados paralelos, esta figura tiene que ser un trapezoide.

Vocabulario

Cuadrilátero: es cualquier figura que tenga cuatro lados.

Trapezoide: es un cuadrilátero con un par de lados paralelos.

Paralelogramo: es un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos que son congruentes y paralelos.

Rombo: es un paralelogramo con cuatro lados congruentes.

Rectángulo: es un paralelogramo con lados opuestos congruentes y cuatro ángulos rectos.

Cuadrado: es un paralelogramo con cuatro lados congruentes y cuatro ángulos rectos.

Congruente: significa “exactamente lo mismo”.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Encuentra las medidas de los ángulos desconocidos en el cuadrilátero que se muestra a continuación.

Solución

Esta vez, solo nos han dado las medidas de dos ángulos y necesitamos encontrar los otros dos. Primero, determinemos lo que sabemos de la figura. ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Posee dos pares de lados paralelos, así que debe ser un paralelogramo. No tiene ángulos de $90^\circ$ , así que no es un rectángulo ni un cuadrado. Finalmente, las longitudes de los lados no son todas congruentes, así que no puede ser un rombo. Es un paralelogramo regular.

Ahora, ¿qué sabemos de los ángulos de los paralelogramos? No solo suman , sino que tienen dos pares congruentes $360^\circ$ , sino que tienen dos pares congruentes. Los ángulos congruentes se oponen entre sí. Vuelve a observar la figura.

El ángulo $x$ se opone al ángulo de $56^\circ$ . Por lo tanto, también debe medir $56^\circ$ . El ángulo $y$ se opone al ángulo $124^\circ$ , por lo tanto, también debe medir $124^\circ$ . Esto nos da dos pares de ángulos congruentes.

Comprobemos para asegurarnos que estas son las medidas correctas mediante la suma de todos los ángulos para ver si miden un total de $360^\circ$ .

$124^\circ + 124^\circ + 56^\circ + 56^\circ = 360^\circ$

Lo hacen, así que nuestra respuesta es correcta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Overview of Quadrilaterals

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza lo que has aprendido sobre los cuadriláteros para encontrar la medida del ángulo desconocido de cada cuadrilátero, basándote en los tres ángulos dados.

$120^\circ, 120^\circ, 60^\circ,?$
$50^\circ, 70^\circ, 130^\circ,?$
$52^\circ, 128^\circ, 52^\circ,?$
$47^\circ, 55^\circ, 120^\circ,?$
$80^\circ, 80^\circ, 100^\circ,?$
$105^\circ, 105^\circ, 85^\circ,?$
$97^\circ, 97^\circ, 35^\circ,?$
$120^\circ, 120^\circ, 40^\circ,?$
$88^\circ, 90^\circ, 60^\circ,?$
$25^\circ, 85^\circ, 85^\circ,?$
$90^\circ, 90^\circ, 90^\circ,?$
$140^\circ, 150^\circ, 45^\circ,?$
$80^\circ, 80^\circ, 120^\circ,?$
$75^\circ, 95^\circ, 110^\circ,?$
$80^\circ, 50^\circ, 95^\circ,?$

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