Identificar Polígonos

En esta sección, identificarás polígonos, sus diagonales y sus ángulos.

¿Has oído alguna vez sobre un domo geodésico? Observemos este problema.

“Voy a diseñar una casa en la que nadie ha pensado nunca antes”, dijo Dylan durante la clase del martes de la Sra. Patterson.

“¿Qué quieres decir?” preguntó Kelsey.

“Un domo hecho de triángulos. ¿Qué te parece esa idea” dijo Dylan con una sonrisa de oreja a oreja.

“Es genial”, acepta Kelsey, “pero ya existe. Se llama domo geodésico”.

Dylan miró a Kelsey mientras ella abría un libro y le mostraba la página exacta donde había información sobre el domo geodésico. Dylan se encogió de hombros.

“Bueno, lo voy a hacer de todas formas”, dijo.

Dylan comenzó a explorar el domo geodésico. Se dio cuenta de que el domo promedio se construye con triángulos isósceles. En estos triángulos, al igual que en todos los triángulos, las medidas de los ángulos suman $180^\circ$ . Dylan quiere construir un domo geodésico.

A medida que comienza a dibujar su diseño, se da cuenta que necesitará una variedad de hexágonos y pentágonos. Dylan está confundido. No puede descifrar cuantos grados debe tener cada hexágono y cuantos grados debe tener cada pentágono.

Aquí es donde apareces tú. Pon atención a esta Sección sobre polígonos. Al término, serás capaz de ayudar a Dylan con su domo geodésico.

Orientación

Los polígonos son figuras bidimensionales que tienen tres o más lados. Cualquier figura con bordes extendidos, como un triángulo o rectángulo, es un polígono. Si una figura posee algún lado curvo o se encuentra abierta, no es un polígono.

Esta es una figura que no es un polígono

Los polígonos tienen propiedades especiales que determinan las relaciones de sus ángulos y lados. Por ejemplo, el número de lados que tiene un polígono se relaciona con el número de ángulos que posee y, por lo tanto, determina la suma de sus ángulos.

Ahora que podemos distinguir a los polígonos de otras figuras, analicémoslos más detenidamente. En general, existen dos tipos de polígonos: polígonos regulares y polígonos irregulares.

Los polígonos regulares poseen lados y ángulos congruentes. No importa cuántos lados y ángulos tengan. Mientras que los lados sean congruentes y los ángulos también lo sean, la figura es un polígono regular.

Los Ipolígonos irregulares , podrías haber adivinado, son polígonos que no no poseen lados y ángulos congruentes. Aún son polígonos, porque tienen lados extendidos cerrados. Sus lados simplemente tienen diferentes longitudes.

Aquí se muestran dos hexágonos. El primero es un hexágono regular. Puedes ver que todas las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos son congruentes. La segunda figura es todavía un hexágono, pero es un hexágono irregular. Si bien tiene seis lados, posee diferentes longitudes de lado y medidas de ángulos.

Si bien podamos tener diferentes triángulos y diferentes cuadriláteros, también podemos tener diferentes tipos de polígonos aparte de los regulares e irregulares. Podemos identificar más polígonos de acuerdo al número de lados que poseen. El hexágono (6 lados) es un ejemplo de uno de estos tipos de polígonos. Otros ejemplos incluyen triángulos, pentágonos, octágonos y decágonos. Observemos en mayor detalle los tipos diferentes de polígonos.

Podemos distinguir entre diferentes tipos de polígonos de acuerdo al número de lados que poseen. Esta es la forma en la que podemos nombrar al polígono. También podemos observar las diferentes características de cada tipo de polígono. Podemos ver el número de lados, el número de diagonales que se pueden dibujar en la figura, el número de triángulos en el polígono y la suma de las medidas de los ángulos.

La forma más fácil de abordar esto es a través del uso de una tabla. Comencemos por nombrar polígonos, observar imágenes de polígonos, examinar el número de ángulos y lados, y la suma de los ángulos internos (dentro).

Nombre del Polígono	Número de Ángulos y Lados	Suma de los Ángulos Interiores
triángulo	3	$180^\circ$
rectángulo/cuadrado	4	$360^\circ$
pentágono	5	$540^\circ$
hexágono	6	$720^\circ$
heptágono	7	$900^\circ$
octágono	8	$1,080^\circ$
nonágono	9	$1,260^\circ$
decágono	10	$1,440^\circ$

*tabla disponible solo en inglés

Puedes ver que los polígonos tienen nombres similares. En la palabra “polígono”, “poli” -significa “muchos” y- gon significa “ángulo.” Así, polígono significa “que tiene muchos ángulos”. Ahora, mira el nombre para la forma que tiene ocho ángulos y lados. Se llama octágono . En “octágono” , “oct” -significa “ocho.” Una octava, por ejemplo, es una combinación de ocho versos. En “pentágono“ , “pent“ -significa “cinco,” así que esta es una forma con cinco ángulos y lados.

Una cosa que se debe notar en estos polígonos es que todos ellos pueden ser divididos en diagonales. Podemos encontrar cuántas diagonales hay y, al hacerlo, dividirlos en triángulos. Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es igual a $180^\circ$ , y podemos utilizar esta información para encontrar la suma de las medidas de los ángulos de los distintos polígonos.

Observemos esta situación.

Nota que este hexágono ha sido dividido utilizando diagonales. Hay tres diagonales en el hexágono, lo que crea cuatro triángulos. Cada uno de estos triángulos tiene una suma interior de $180^\circ$ , así que podemos multiplicar $180 \times 4$ para encontrar la suma de los grados dentro de un hexágono.

$180 \times 4 = 720^\circ$

Esta es la respuesta y puedes ver cómo esto corresponde al número de grados en la tabla.

Podemos aplicar esta información a cualquiera de los polígonos. Simplemente divide el polígono en triángulos y multiplica el número de triángulos por 180.

También podemos usar una fórmula para encontrar la suma de los ángulos internos de un polígono. Saber el total es útil, porque muchas veces podemos usarlo para encontrar la medida de un ángulo particular en el polígono. Recuerda que en un polígono regular todos los ángulos son congruentes. Podemos encontrar el ángulo de todos ellos, si sabemos el total de la suma y la cantidad de ángulos que hay.

Como hemos visto, podemos encontrar el número total de grados en un polígono mediante el uso de triángulos. La fórmula resume esto de buena manera y nos brinda un atajo:

$(n - 2) \times 180^\circ$

La letra $n$ representa el número de ángulos (o lados) en el polígono. En otras palabras, restamos 2 al número de ángulos y luego multiplicamos por 180. Piensa en los polígonos diferentes, el número de triángulos en un polígono siempre es de 2 menos que el número de lados. La fórmula simplemente nos da un atajo para encontrar el número de triángulos en el polígono. Tras esto, como sabemos, multiplicamos por $180^\circ$ .

Encuentra la suma de los ángulos de un hexágono.

Primero, cuenta el número de ángulos o lados. Este polígono posee 6 lados y seis ángulos. Reemplazaremos 6 por $n$ en la fórmula y resolveremos.

$(n - 2) &\times 180^\circ\\\(6 - 2) &\times 180^\circ\\\4 \times 180^\circ &= 720^\circ$

La fórmula nos dice que un hexágono contiene 4 triángulos. Cuando multiplicamos por $180^\circ$ , encontramos que la suma de los ángulos internos de un hexágono es $720^\circ$ . Esto es cierto para cualquier hexágono, regular o irregular.

Escribe esta fórmula en tu cuaderno.

Encuentra la suma de las medidas de los ángulos en cada polígono.

Ejemplo A

Nonágono

Solución: $1260^\circ$

Ejemplo B

Heptágono

Solución: $900^\circ$

Ejemplo C

Pentágono

Solución: $540^\circ$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Encontremos la solución al problema. Comencemos con los hexágonos.

Sabemos que hay seis triángulos en un hexágono. Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es $180^\circ$ . Sin embargo, tenemos que considerar el número de lados. Podemos usar la siguiente fórmula para ayudarnos. La letra $n$ representa el número de lados.

$(n - 2) &\times 180\\\(6 - 2) &\times 180 = 720^\circ$

Ahora, observemos el pentágono. El pentágono se compone de 5 triángulos. Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos de cada triángulo es $180^\circ$ . Podemos utilizar la misma fórmula que usamos para el hexágono.

$(n - 2) &\times 180\\\(5 - 2) &\times 180 = 540^\circ$

Vocabulario

Polígono: es una figura cerrada simple hecha de segmentos de recta.

Polígono Regular: es un polígono con todos los lados congruentes y todos los ángulos congruentes.

Polígono Irregular: es un polígono en el que no todos los lados son congruentes, pero todas las medidas de los ángulos son congruentes.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Cuál es la medida de cada ángulo en un octágono regular?

Solución

Si es un octágono regular, todos los ángulos son congruentes. Necesitamos encontrar el número total de grados en un octágono y luego dividir por 8, ya que un octágono tiene 8 ángulos. Utilicemos la fórmula para encontrar el total de ángulos.

$&(n - 2) \times 180^\circ\\\&(8 - 2) \times 180^\circ\\\&6 \times 180^\circ\\\&1,080^\circ$

Los 8 ángulos en un octágono tienen que sumar $1,080^\circ$ . Comprueba tu tabla para estar seguros. Ahora que sabemos el total, dividimos por 8 para encontrar la medida de cada ángulo.

$1,080^\circ \div 8 = 135^\circ$

Cada ángulo en un octágono regular, sin importan cuán grande o pequeño sea, siempre mide $135^\circ$ .

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Interior Angles of Polygons

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Responde verdadero o falso a cada pregunta sobre polígonos regulares e irregulares.

Todos los ángulos de un polígono regular tienen el mismo tamaño.
Un hexágono regular tiene seis lados con diferentes longitudes.
Un pentágono irregular tiene lados con la misma longitud.
Un polígono irregular es uno que tiene un lado abierto.
Un triángulo regular también podría ser llamado un triángulo equilátero.
Todas las longitudes de los lados de un octágono regular tienen la misma longitud.

Instrucciones: Identifica cada figura como regular o irregular. Luego, también identifica el tipo de polígono que es.

Una figura de ocho lados que tienen una longitud igual.

Instrucciones: Utiliza la fórmula $(n - 2) \times 180$ para encontrar la suma de las medidas de los ángulos de cada polígono.

Hexágono regular
Octágono regular
Triángulo
Trapezoide
Decágono

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