Reconocer y Entender Polígonos Congruentes

En esta sección, reconocerás y entenderás los polígonos congruentes.

¿Has construido alguna vez un domo geodésico? Observemos este problema.

Luego de hacer toda su búsqueda y dibujar un diseño, Dylan empezó a trabajar en la construcción de su domo geodésico. Decidió utilizar una combinación de tubos de periódicos enrollados y cinta adhesiva. Enrollo tubos de periódicos, creó triángulos con cinta adhesiva y luego trabajo para unirlos.

“No se ve bien’, comentó la hermana de Dylan, Sarah, mientras él juntaba toda la estructura en la sala de estar.

“¿Qué quieres decir?” preguntó Dylan mientras arrancaba otro pedazo de cinta adhesiva.

“Está torcido y creo que colapsará”.

“No sabes nada”, espetó Dylan dándole la espalda a su hermana.

Sin embargo, cuando Dylan iba a unir los triángulos, la estructura comenzó a colapsar. Su hermana regresó a la habitación.

“¿Puedo ayudar?”, preguntó.

“Quizá”.

“¿Son congruentes los triángulos?”, preguntó Sarah.

“¿Congruentes?”, Dylan tuvo que pensar en eso. ¿Qué significaría si los triángulos no fueran congruentes? ¿Qué significa “congruente”? ¿Cómo uno se puede dar cuenta si una figura es congruente o no?

En esta sección, aprenderás todo sobre la importancia de la congruencia y cómo determinarla.

Orientación

¿Qué significa cuando decimos que dos figuras son congruentes? Para completar todos los problemas de esta Sección, primero tendrás que entender lo que significa la palabra “congruente”.

Congruente significa “exactamente lo mismo”.

Sí, pero también incluye los lados de las figuras y los ángulos.

Cuando tenemos dos figuras de cualquier tipo que tienen el mismo tamaño, forma y medida, podemos decir que estas dos figuras son congruentes.

Observemos esta situación.

¿Son congruentes estos dos ángulos?

Si observas estos dos ángulos, verás que ambos miden $55^\circ$ . Los ángulos están etiquetados de esa forma, así que podemos ver que son iguales. Esto quiere decir que son congruentes. Podemos decir que el ángulo $A$ es congruente al ángulo $B$ .

$\angle A \cong \angle B$

Esta es la forma en la que escribiríamos una enunciación sobre congruencia, usando notación matemática. Fíjate en el símbolo que utilizamos para indicar congruencia.

Ahora, escribe en tu cuaderno la definición de congruente y su símbolo.

Así como dijimos que dos figuras cualesquiera pueden ser congruentes, también podemos utilizar esto cuando observamos los tipos diferentes de polígonos. Se puede considerar dos tipos de polígonos: congruentes y no congruentes. Veamos si podemos determinar la congruencia.

¿Son congruentes estos dos octágonos?

Observa estos dos octágonos. Son exactamente iguales en todo aspecto. Puedes ver que si ponemos un octágono sobre el otro coincidirán perfectamente. Las longitudes de los lados son congruentes y las medidas de los ángulos también lo son. Si dos polígonos son congruentes, entonces es un hecho que las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos también son congruentes.

Ahora que ya sabes cómo identificar si dos figuras son o no son congruentes, podemos centrarnos en encontrar partes y ángulos congruentes. Primero, pensemos nuevamente en las cuatro características de los polígonos congruentes.

Los Polígonos Congruentes tienen:

El mismo tamaño
La misma forma
Medidas de ángulos comunes
Longitudes de lados comunes

Asegúrate de escribir estas notas en tu cuaderno.

Las dos últimas características pueden ser un poco más difíciles. A veces, tendrás dos figuras congruentes, pero todas las medidas de los ángulos no serán exactamente las mismas. Por ejemplo, si tuvieras dos hexágonos congruentes irregulares, eso quiere decir que hay diferentes medidas de ángulo en los dos hexágonos. Sin embargo, son congruentes, así que hay ángulos “que coinciden” entre las dos figuras.

Observa estas figuras.

Aquí se muestran dos hexágonos. Son irregulares, lo que significa que todas las longitudes de sus lados y los ángulos no son iguales. Sin embargo, son congruentes. Puedes ver que uno coincide con el otro. Debido a esto, tenemos ángulos correspondientes que se conectan con cada ángulo desde el primer hexágono hasta el segundo.

Podemos identificar las partes correspondientes de las figuras congruentes. Las partes correspondientes pueden incluir longitudes de lado y medidas de ángulos. Cuando dos figuras son congruentes, entonces existen partes correspondientes.

Nombra cada par de longitudes de lados correspondientes para estas figuras congruentes.

Ahora, observemos estos dos pentágonos congruentes. Para nombrar los lados correspondientes, nombramos los lados que coinciden de un pentágono a otro. A continuación, se muestran los lados correspondientes y cómo podemos escribirlos utilizando notación matemática.

$BA & \cong GF\\\BC & \cong GH\\\CD & \cong HK\\\AE & \cong FL\\\ED & \cong LK$

También podemos observar los ángulos correspondientes de dos figuras congruentes. Cuando dos figuras son congruentes, entonces los ángulos que coinciden también serán congruentes.

Utiliza las siguientes figuras para responder cada pregunta.

Ejemplo A

¿Cuál es la medida del ángulo F?

Solución: $100^\circ$

Ejemplo B

¿A qué otros dos ángulos es congruente el ángulo D?

Solución: F y H

Ejemplo C

¿Cuál es la medida del ángulo G?

Solución: $80^\circ$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Primero, pensemos en lo que significa la palabra “congruente”. Congruente significa “exactamente lo mismo”. Para que un objeto sea congruente, las longitudes de los lados deben ser iguales. Los triángulos en el domo geodésico tienen que ser congruentes para que se logre mantener en pie. Debido a que el triángulo es una estructura que está bien equilibrada para ayudar con la estructura y la seguridad, se utilizan en todo tipo de construcciones, como techos y puentes.

Dylan puede probar la congruencia de sus triángulos, porque puede ver que las longitudes de los lados son iguales.

Vocabulario

Congruente: significa “exactamente lo mismo”, que tienen el mismo tamaño, forma y medida.

Partes correspondientes: son partes que coinciden en cada una de las dos figuras que son congruentes.

Práctica Guiada

son partes que coinciden en cada una de las dos figuras que son congruentes.

¿Son estos dos hexágonos congruentes?

Solución

Estas dos figuras son hexágonos, pero son hexágonos diferentes. Uno es un hexágono regular, en donde todos los lados son congruentes, y el otro es irregular. El hexágono irregular posee seis lados, pero tienen longitudes diferentes, etc. Estos dos hexágonos no son congruentes.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Congruent Figures

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Responde verdadero o falso.

Congruente significa que una figura tiene las mismas longitudes de lados, pero no las mismas medidas de ángulos.
Congruente significa “exactamente lo mismo” en toda medida.
Similar significa que tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño.
Dos figuras congruentes tendrían el mismo tamaño y la misma forma.
Las partes correspondientes son partes que se encuentran en la misma figura.
Necesitas entender las partes correspondientes antes de que puedas determinar si dos figuras son congruentes.
Puedes determinar si dos figuras son congruentes sin conocer ninguna de sus medidas.
Las figuras similares también son congruentes.
Si dos triángulos son triángulos equiláteros, entonces son automáticamente congruentes.
Si dos cuadriláteros miden $360^\circ$ , entonces son congruentes.

Instrucciones: Las dos figuras que se muestran son congruentes. Utiliza la ilustración para responder cada pregunta.

Si el ángulo B mide $75^\circ$ , ¿qué otro ángulo mide lo mismo?
Si el ángulo F mide $120^\circ$ , ¿qué otro ángulo mide lo mismo?
Verdadero o Falso. El ángulo E y el ángulo K miden lo mismo.
Verdadero o Falso. El ángulo C y el ángulo H miden lo mismo.
Nombra esta figura.

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