Identificar y Aplicar Teoremas a la Congruencia de Triángulos

En esta sección, identificarás y aplicarás teoremas para probar la congruencia de triángulos.

¿Has hecho alguna vez un volantín? Observemos este problema.

Justin quiere hacer un volantín. Como ayuda, creó el siguiente plano.

Justin necesita asegurarse de que cada triángulo es congruente. Sabe que hay una forma para hacer esto, pero no puede recordar cómo se hace.

Pon atención y esta Sección te enseñará lo que necesitas saber para determinar si los triángulos de Justin son congruentes o no.

Orientación

Puedes identificar los lados y ángulos congruentes de polígonos y utilizar eso para determinar la congruencia.

Si los lados y los ángulos de dos polígonos cualquiera son congruentes, entonces sabemos que los dos polígonos también son congruentes.

También podemos trabajar con triángulos, ya que, después de todo, un triángulo también es un polígono. Los triángulos son únicos, porque existen pocas reglas que podemos utilizar para ayudarnos a identificar si dos triángulos son o no son congruentes. Notarás que si aprendiste estas reglas, entonces no tendrás que comparar cada ángulo y cada lado para determinar si dos triángulos son o no son congruentes.

La primera regla representa la relación lado-lado-lado o LLL . Declara que si cada uno de los tres lados de un triángulo es congruente a un lado en un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. No necesitamos comprobar los ángulos. En los triángulos, los ángulos siempre tienen una relación fija con su lado opuesto. Mientras más ancho es el triángulo, más grande tiene que ser el lado opuesto. Si sabemos que los lados son congruentes, entonces sabemos que los ángulos también tienen que serlo.

La segunda regla dice que si en un triángulo un ángulo y los lados adyacentes a este son congruentes a un ángulo y los lados adyacentes en un segundo triángulo, los triángulos serán congruentes. Esto recibe el nombre de regla lado-ángulo-lado ( LAL ). En otras palabras, esta vez solo necesitamos asegurarnos de que un ángulo y dos lados son congruentes para saber que todas las partes de los triángulos son congruentes. Sin embargo, recuerda que el ángulo que utilices se debe encontrar entre los dos lados.

La tercera regla nos dice que si en un triángulo dos ángulos y el lado que se encuentra entre ellos son congruentes a los dos ángulos y el lado que se encuentra entre ellos en el segundo triángulo, los dos triángulos son congruentes. Esta es la regla ángulo-lado-ángulo ( ALA ). Podemos determinar la congruencia solo conociendo dos ángulos y un lado.

¿Son congruentes los triángulos mostrados a continuación? Argumenta.

Ahora, comencemos por observar los triángulos y buscar la información dada. Sabemos que necesitamos tres medidas de lado para la regla LLL; o dos medidas de lado y una medida de ángulo para la regla LAL; o la medida de dos ángulos y un lado para la regla ALA.

Sabemos que dos pares de lados coinciden: Un par mide 7,5 centímetros y el otro mide 4 centímetros. Esto no es suficiente información para saber con certeza que los triángulos son congruentes, porque los lados podrían estar ubicados en lugares diferentes. ¿Qué regla podemos utilizar para comprobar la congruencia? No podemos usar la regla LLL, porque solo conocemos las longitudes de dos lados.

Sin embargo, podemos usar la regla LAL. Recuerda que para usar la regla LAL el ángulo se debe encontrar entre los dos lados. En el primer triángulo, el ángulo entre los dos lados es un ángulo recto, así que sabemos que mide $90^\circ$ . ¿Tiene también el segundo triángulo un ángulo recto? Seguro que sí, y el ángulo recto se encuentra entre lados que miden 7,5 y 4 cm. Mediante el uso de la regla LAL, podemos comparar los triángulos: 7,5 cm (lado), $90^\circ$ (ángulo), 4 cm (lado). Los triángulos deben ser congruentes.

¿Son congruentes estos dos triángulos? Argumenta.

Ahora, tenemos dos triángulos con longitudes de lados determinadas. Podemos ver que estos dos triángulos son congruentes, porque las longitudes de sus lados son congruentes. Las longitudes de los lados de ambos triángulos están etiquetadas y podemos comprobar que son congruentes mediante la aplicación de la regla LLL.

Puedes ver cuán útiles son estas reglas cuando pensamos en triángulos y su congruencia.

Nombra el teorema que podrías usar para comprobar la congruencia del triángulo, basándote en cada descripción.

Ejemplo A

Te han brindado dos longitudes de lados y una medida de ángulo.

Solución: LAL

Ejemplo B

Te han brindado dos medidas de ángulos y una de longitud de lado.

Solución: ALA

Ejemplo C

Te han brindado tres longitudes de lados y ninguna medida de ángulo.

Solución: LLL

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

A continuación, se muestra el plano que dibujo Justin para su volantín.

Pensemos qué teorema podemos utilizar para comprobar que los dos triángulos son congruentes. Estos triángulos comparten un lado, así que sabemos que ese lado es congruente en ambos triángulos. Las marcas muestran que los otros dos lados también son congruentes.

Podemos decir que el teorema LLL prueba que estos triángulos son congruentes.

Vocabulario

Congruente: significa “exactamente lo mismo”, que tienen el mismo tamaño, forma y medida.

Partes Correspondientes: son partes que coinciden en cada una de las dos figuras que son congruentes.

LLL: determina la congruencia de dos triángulos mediante la comparación de tres longitudes de sus lados.

LAL: determina la congruencia de dos triángulos mediante la comparación de las medidas de dos lados y un ángulo.

ALA: determina la congruencia de dos triángulos mediante la comparación de las medidas de dos ángulos y un lado.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Utiliza esta ilustración para responder la siguiente pregunta.

¿Qué teorema podrías utilizar para comprobar que estos triángulos son congruentes? Argumenta.

Solución

Primero, fíjate que no nos han dado ninguna medida de ángulos o ninguna longitud de lado específica. Sin embargo, las marcas muestran que las longitudes de lados en el triángulo ABC poseen una longitud de lado correspondiente que mide lo mismo que en el ángulo LKM.

Por lo tanto, podemos utilizar el teorema LLL para comprobar que estos triángulos son congruentes.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Congruent and Similar Triangles

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza la información dada para declarar la congruencia en cada caso.

$\Delta ABC \cong \Delta DEF$

$\angle A \cong \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$\angle B \cong \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$\angle C \cong \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$\overline{AB} \cong \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$\overline{BC} \cong \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$\overline{AC} \cong \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
Si el segmento de recta $AC$ tiene una longitud de 8, ¿qué otro segmento mide lo mismo?
Si el ángulo $A$ mide $55^\circ$ , ¿qué otro ángulo mide lo mismo $55^\circ$ ?
Si el ángulo $B$ mide $45^\circ$ , ¿qué otro ángulo tiene una medida congruente a esta?
Si estos dos triángulos son congruentes, ¿son iguales las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos?
¿Lucirían iguales estos dos triángulos?
¿Cuáles serían las dos letras que representarían el vértice de cada triángulo?

Instrucciones: Nombra el teorema que comprobaría mejor la congruencia de triángulos, basándote en cada descripción.

Tres longitudes de lados: 6, 5 y 4 pulgadas.
Una medida de ángulo y dos longitudes de lado.
Dos medidas de ángulos y una longitud de lado.

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