Reconocer Reflexiones

En esta sección, reconocerás reflexiones como volteos y también rectas de reflexión.

¿Has estado alguna vez en el campo? Observemos este problema.

Kevin y su hermana Kim fueron a visitar a su tía abuela al campo. En el camino, Kevin y Kim disfrutaron mirando el paisaje. Era muy diferente al de su casa en la ciudad. Al doblar por el camino que llevaba al campo, Kim se quedó sin aliento al ver la hermosa calle que tenía árboles a ambos lados.

“Mira la simetría. Es una reflexión perfecta”, dijo.

¿Sabes a lo que se refiere?

Esta Sección te ayudará a entender las reflexiones y la simetría.

Orientación

Vamos a crear figuras congruentes mediante el uso de transformaciones . De alguna manera, una transformacion se mueve. Un tipo de transformación se llama reflexión o volteo.

Podemos observar estar figuras y ver que se pueden reflejar sobre una recta de reflexión.

También podemos encontrar reflexiones en el plano cartesiano.

Para entender las transformaciones de reflexión, primero necesitamos repasar el plano cartesiano . Examinamos y hacemos reflexiones en el plano cartesiano. El plano cartesiano es una representación de espacio bidimensional. Tiene un eje horizontal, llamado eje $x-$ , y un eje vertical, llamado eje $y-$ .

Podemos graficar y desplazar figuras geométricas sobre el plano cartesiano. A continuación, se muestra una imagen del plano cartesiano.

Cuando trabajamos con reflexiones o volteos, podemos ver una figura en el plano cartesiano. Observa lo siguiente.

Aquí tenemos dos triángulos rectángulos. Podemos decir que se reflejan sobre el eje $y-$ porque el eje $y-$ está actuando como un espejo para los dos triángulos. Esto recibe el nombre de recta de reflexión , porque el eje $y-$ está haciendo la reflexión. Imagínate parado en frente de un espejo con tu mano izquierda levantada. ¿Dónde está tu mano en el reflejo del espejo? Una figura reflectada funciona de la misma forma; cuando la volteamos sobre la recta de reflexión, todos sus puntos se invierte.

Podemos reflejar una imagen sobre el eje $x-$ o sobre el eje $y-$ .

Podemos dibujar reflexiones sobre el plano cartesiano y también podemos anotar las reflexiones que dibujamos mediante el uso de un elemento llamado notación de coordenadas.

Recuerda cuando trazaste puntos sobre el plano cartesiano.

Observa cómo se hace esto.

Aquí, el punto $A$ está trazado sobre el plano cartesiano. Este es un dibujo del punto trazado. También podemos anotar ese punto. Para hacerlo, lo nombramos con un conjunto de puntos ordenados. Escribimos primero la coordenada $x-$ y luego la coordenada $y-$ .

Punto $A = (3, 4)$

Esto es un ejemplo de notación de coordenadas.

Cuando se dibuja una figura sobre el plano cartesiano, podemos utilizar notación de coordenadas para describir la figura dibujada. Si dibujamos un triángulo, entonces habrá tres grupos de pares ordenados para representar cada vértice que se ha dibujado.

Observa lo siguiente.

Este triángulo tiene tres vértices que lo representan.

(-1, 1)

(-3, 1)

(-1, 6)

¿Qué pasaría si reflejáramos este triángulo sobre el eje $y-$ ?

Si lo hiciéramos, entonces las coordenadas del primer triángulo cambiarían. Observemos esta reflexión y examinemos las coordenadas nuevas. Como siempre en matemáticas, observa primero un patrón.

El triángulo reflejado tiene las siguientes coordenadas como vértices.

(1, 1)

(3, 1)

(1, 6)

¿Observas algún patrón?

Si miras con cuidado, verás que la coordenada $x-$ del triángulo reflejado se opone a aquellas del primer triángulo. Esta es una regla que te ayudará.

Escribe estas dos reglas en tu cuaderno.

Ahora que conoces las dos reglas para encontrar las coordenadas de una figura reflejada sobre el plano cartesiano, puedes usar estas reglas para encontrar nuevas reflexiones sin importar si te han dado o no una imagen.

Ejemplo A

Define reflexión.

Solución: Una reflexión es una imagen de espejo perfecta.

Ejemplo B

¿Es este un ejemplo de reflexión?

Solución: Sí, porque la figura se puede dividir de forma que un lado coincida perfectamente con el otro.

Ejemplo C

¿Es este un ejemplo de reflexión?

Solución: No, porque hay imágenes específicas sobre el círculo que no se reflejarían si se dividiera la imagen.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Kim dijo lo que dijo porque un lado de la calle es una reflexión perfecta del otro lado de la calle. En otras palabras, un lado coincide con el otro lado. Podrías dibujar una recta justo sobre el centro de la calle, separando el lado derecho del izquierdo, y entonces la reflexión sería perfecta.

Vocabulario

Transformación: es una forma de cambiar o desplazar una figura geométrica sobre un plano cartesiano.

Plano Cartesiano: es una representación de espacio bidimensional con un eje $x-$ , un eje $y-$ y unas coordenadas.

Reflexión: es una transformación conocida como volteo, en donde se crea una imagen de una figura en el espejo.

Recta de Reflexión: es el eje $x$ o $y-$ , el cual es el espejo para la figura reflejada sobre el plano cartesiano.

Notación de Coordenadas: es el uso de pares ordenados para representar los vértices de una figura sobre el plano cartesiano.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Cuáles serían las coordenadas nuevas de una figura reflejada sobre el eje $x-$ ?

Solución

Primero, podemos observar esta figura y anotar las coordenadas de este trapezoide.

(2, 1)

(7, 1)

(3, 3)

(6, 3)

Luego, podemos utilizar la regla para encontrar las nuevas coordenadas del trapezoide reflejado. Vamos a reflejar este trapezoide sobre el eje $x-$ , así que la coordenada $y-$ se transformará en el opuesto y la coordenada $x-$ se mantendrá igual. A continuación, se muestran las coordenadas nuevas.

(2, -1)

(7, -1)

(3, -3)

(6, -3)

Ahora, podemos graficar el trapezoide reflejado sobre el plano cartesiano.

Puedes ver que el eje $x-$ forma una recta de reflexión, de forma que un trapezoide se trasforma en la imagen reflejada del otro trapezoide.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Khan Academy Reflections

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Define los siguientes términos.

Reflexión
Plano Cartesiano
Eje $\underline{x-}$
Eje $\underline{y-}$

Instrucciones: Escribe cada grupo de coordenadas para una reflexión de cada figura sobre el eje $x-$ .

(1,3) (2,5) (3, 2)
(2, 1) (5, 1) (2, 4)
(-1, 1) (-1, 3) (-4, 1)
(1, 2) (1, 5) (5, 2) (5, 5)
(1, 2) (6, 1) (6, 3) (2, 3)
(-1, 3) (-3, 1) (-5, 1) (-4, 6)

Instrucciones: Escribe una nueva serie de coordenadas para una figura reflejada sobre el eje $y-$ .

(1, 3) (2, 5) (3, 2)
(-1, 1) (-1, 3) (-4, 1)
(2, 1) (5, 1) (2, 4)
(1, 2) (1, 5) (5, 2) (5, 5)
(-1, 3) (-3, 1) (-5, 1) (-4, 6)

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