Reconocer Transformaciones de Rotación

En esta sección, reconocerás transformaciones de rotación y simetría rotacional.

¿Has visto alguna vez rotar un elemento? ¿Sabes lo que se necesita para clasificar una transformación de rotación? ¿Sabes sobre simetría rotacional? Observemos este problema.

¿Tiene simetría rotacional la imagen que se muestra a continuación?

Para responder esta pregunta, necesitarás conocer las rotaciones y la simetría rotacional. Esta Sección te enseñará todo lo que necesitas saber para responder correctamente esta pregunta.

Orientación

Una transformación es el desplazamiento de una figura geométrica que se encuentra sobre el plano cartesiano.

Una rotación es un giro. Una figura se puede girar en sentido del reloj o contra el sentido del reloj sobre el plano cartesiano. En ambas transformaciones, el tamaño y forma de la figura se mantiene exactamente igual.

Observemos las rotaciones o giros.

Una rotación es una transformación que gira la figura en sentido del reloj o contra el sentido del reloj.

Podemos girar $90^\circ$ , una figura, un cuarto de giro, ya sea en sentido del reloj o contra el sentido del reloj. Cuando giramos la figura exactamente en la mitad de un giro, la hemos rotado en $180^\circ$ . Si la hacemos girar completamente, la figura rota $360^\circ$ .

Ahora, si observas estos dos triángulos, puedes ver que uno ha sido girado un cuarto de vuelta en el sentido del reloj. Si nos referimos a ese giro o rotación en lenguaje matemático, podemos describir el giro como de $90^\circ$ en el sentido del reloj. También podríamos girarlos $180^\circ$ , lo que mostraría un triángulo completamente al revés.

A continuación, observemos figuras rotadas sobre el plano cartesiano.

Rota esta figura $90^\circ$ en el sentido del reloj sobre el plano cartesiano.

Primero, anotemos las coordenadas para cada uno de los puntos de este pentágono.

$& A (-3, 5)\\\& B (-4, 4)\\\& C (-3, 3)\\\& D (-1, 2)\\\& E (-1, 4)$

Ahora, tenemos los puntos. La forma más fácil de entender la rotación de cualquier figura es pensar en esta como si se moviera alrededor de un punto fijo. En el caso de graficar figuras sobre el plano cartesiano, rotaremos las figuras alrededor del punto medio u origen.

Si rotamos la figura $90^\circ$ , en el sentido del reloj, entonces tendremos que cambiar toda la figura a través del eje $x-$ . Para encontrar las coordenadas de la nueva figura rotada, cambiamos las coordenadas y luego, necesitamos multiplicar la segunda coordenada por -1. Esto tiene sentido, debido a que la figura completa cambiará.

Apliquemos esto a las coordenadas anteriores.

$A (-3, 5) &= A^\prime (5, -3) = (5, 3)\\\B (-4, 4) &= B^\prime (4, -4) = (4, 4)\\\C (-3, 3) &= C^\prime (3, -3) = (3, 3)\\\D (-1, 2) &= D^\prime (2, -1) = (2, 1)\\\E (-1, 4) &= E^\prime (4, -1) = (4, 1)$

Ahora, grafiquemos esta figura rotada. Nota que utilizamos $A^\prime$ para representar la figura rotada. A continuación, se muestra el gráfico de esta rotación.

Esta es una buena pregunta. Pensemos en lo que sucedería a la figura si la rotáramos en contra del sentido del reloj. Para hacer esto, la figura se movería a través del eje $y-$ de hecho, las coordenadas $x-$ cambiarían completamente. En realidad, cambiaríamos las coordenadas originales. La coordenada $x-$ se transformaría en la coordenada $y-$ y la coordenada $y-$ se transformaría en la coordenada $x-$ Luego, necesitamos multiplicar por -1 la nueva coordenada $x-$ .

A continuación, se muestra cómo se vería esto.

$& A (-3, 5) \rightarrow A^\prime (-5, -3)\\\& B (-4, 4) \rightarrow B^\prime (-4, -4)\\\& C (-3, 3) \rightarrow C^\prime (-3, 3)\\\& D (-1, 2) \rightarrow D^\prime (-2, -1)\\\& E (-1, 4) \rightarrow E^\prime (-4, -1)$

Ahora, podemos graficar esta nueva rotación.

También podemos graficar figuras que han sido rotadas $180^\circ$ . Para hacerlo, multiplicamos por -1 ambas coordenadas de la figura original..

Veamos cómo sería esto.

$A (-3, 5) &= A^\prime (3, -5)\\\B(-4, 4) &= B^\prime (4, -4)\\\C (-3, 3) &= C^\prime (3, -3)\\\D (-1, 2) &= D^\prime (1, -2)\\\E (-1, 4) &= E^\prime (1, -4)$

Ahora, podemos graficar esta imagen.

Anota en tu cuaderno las tres formas para encontrar nuevas coordenadas al rotar una figura en $90^\circ$ en el sentido del reloj y contra el sentido del reloj, y al rotar una figura en $180^\circ$ .

Ahora, pensemos en la simetría y las rotaciones.

Podemos llamar a esto simetría rotacional. .

Una figura tiene simetría rotacional si, cuando rota, la figura parece quedarse igual. Los contornos no cambian, incluso si la figura gira.

Observa la figura que se muestra a continuación.

Observa esta imagen. La estrella se verá igual, incluso si la rotamos. Podríamos girarla $72^\circ$ o $144^\circ$ en el sentido del reloj o contra el sentido del reloj, no importa. La estrella aún se verá igual.

¿Tienen simetría rotacional las siguientes figuras?

Ejemplo A

Un cuadrado.

Solución: Sí, porque puedes girarla y lucirá exactamente igual.

Ejemplo B

La letra “U”.

Solución: No, no se verá igual si es girada.

Ejemplo C

Un octágono.

Solución: Sí, porque puedes girarla y lucirá exactamente igual.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

¿Tiene simetría rotacional la imagen que se muestra a continuación?

Si bien el contorno de esta imagen tiene simetría rotacional, el diseño interno evita que lo tenga. Si giramos el círculo, entonces el diseño interno cambiará. Por lo tanto, esta imagen no tiene simetría rotacional.

Vocabulario

Transformación: es mover una figura geométrica sobre el plano cartesiano.

Notación de Coordenadas: es el uso de pares ordenados para representar los vértices de una figura que ha sido graficada sobre el plano cartesiano.

Reflexión: es un volteo de una figura graficada sobre el plano cartesiano.

Traslación: también llamada deslizamiento, es cuando una figura se mueve hacia arriba, abajo, izquierda o derecha sobre el plano cartesiano, pero no cambia su posición.

Rotación: también llamada giro, es cuando una figura es girada en $90^\circ, 180^\circ$ sobre el plano cartesiano.

Simetría Rotacional: es cuando una figura puede ser rotada, pero se ve exactamente igual, sin importar cómo la rotes.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Tiene simetría rotacional un hexágono?

Solución

Tiene simetría rotacional. Puedes ver que es debido a que podemos rotarlo en $90^\circ$ y en $180^\circ$ , y aún se verá exactamente igual. También podríamos rotarlo en menos de $90^\circ$ y aún tendría simetría rotacional. También podemos observar los ángulos para determinar la simetría rotacional. Cada vez que giramos la figura, tiene dos lados paralelos en la parte superior e inferior, y otros cuatro lados en los mismos ángulos. Tiene simetría rotacional.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Transformation: Rotation CK-12

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: responde las siguientes preguntas sobre rotaciones, traslaciones y teselados.

¿Qué es una traslación?
¿Qué es una rotación?
¿Qué es un teselado?
Verdadero o Falso. Una figura solo puede ser trasladada hacia arriba o hacia abajo.
Verdadero o Falso. Una figura puede ser trasladada $180^\circ$ .
Verdadero o Falso. Una figura puede ser rotada $90^\circ$ en sentido del reloj o contra el sentido del reloj.
Verdadero o Falso. Una figura no puede ser trasladada $180^\circ$ .
Cuando se rota una figura en $90^\circ$ contra el sentido del reloj, ¿cambiamos las coordenadas $x$ e $y$ y multiplicamos cuál por -1?
Cuando se rota una figura en $90^\circ$ en el sentido del reloj, ¿qué coordenada multiplicamos por -1?
Verdadero o Falso. Cuando se rota una figura en $180^\circ$ , multiplicamos ambas coordenadas por -1.

Instrucciones: Anota las coordenadas nuevas para cada rotación según las instrucciones dadas.

Un Triángulo con las coordenadas (-4, 4) (-4, 2) y (-1, 1)

Rota la figura $90^\circ$ en el sentido del reloj.
Rota la figura $90^\circ$ contra el sentido del reloj.
Rota la figura $180^\circ$

Un Triángulo con las coordenadas (1, 3) (5, 1) (5, 3)

Rota la figura en el sentido del reloj $90^\circ$
Rota la figura en el sentido del reloj $90^\circ$
Rota la figura $180^\circ$

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