Identificar Teselados

Dylan irrumpió en la puerta luego de un ajetreado día en el colegio. Dejo caer de golpe sus libros sobre la mesa de la cocina.

“¿Qué es lo que pasa?” preguntó su mamá sentada en la mesa.

“Bueno, hice un domo geodésico genial. Está terminado y bien hecho, pero la Sra. Patterson quiere que investigue otras formas que se podrían utilizar para construir un domo. No quiero hacerlo. Siento que mi proyecto está acabado”, explicó Dylan.

“Quizá la Sra. Patterson solo quería darte un desafío extra”.

“Quizá, pero ¿qué otras formas se pueden utilizar para formar un domo? Los triángulos son los que tienen más sentido”, dijo Dylan.

“Sí, paro resolver esto, necesitas saber qué otras formas teselar”, explico mamá.

“¿Qué significa teselar? Y ¿cómo puedo resolver eso?”

Pon atención a esta Sección y para el final sabrás cómo responder estas preguntas.

Orientación

Podemos utilizar traslaciones y reflexiones para crear patrones con figuras geométricas llamados teselados.

Un teselado es un patrón en el cual las figuras geométricas se repiten sin espacios entre sí.

En otras palabras, las figuras repetidas calzan perfectamente. Forman un patrón que se puede extender en toda dirección sobre el plano cartesiano.

Observemos los teselados que se muestran a continuación.

Este teselado podría continuar infinitamente.

Podemos crear teselados al mover una única figura geométrica. Podemos realizar transformaciones como traslaciones y rotaciones para mover la figura de forma que la figura original y la nueva calcen.

¿Cómo sabemos que una figura se puede teselar?

Si la figura tiene todos los lados iguales, calzará cuando sea repetida. Las figuras teseladas tienden a ser polígonos regulares. Los polígonos regulares tienen lados extendidos que son todos congruentes. Cuando rotamos o deslizamos un polígono regular, coincidirá el lado de la figura original y el lado de su traslación. Sin embargo, no todas las figuras geométricas se pueden teselar. Cuando las trasladamos o rotamos, sus lados no calzan.

Recuerda esta regla y sabrás si una figura se puede teselar o no. Piensa si habrá o no espacios en el patrón a medida que muevas una figura.

Seguro. Para hacer un teselado, como hemos dicho, podemos trasladar algunas figuras y rotar otras.

Observemos esta situación.

Crea un teselado al repetir la siguiente figura.

Primero, traza la figura en un pedazo de papel grueso y luego córtala del papel. Esto te permitirá realizar traslaciones fácilmente, de forma que puedas ver cómo repetir de mejor forma la figura para hacer un teselado.

Esta figura tiene todos los lados exactamente iguales, así que no necesitamos rotarla para hacer que las piezas calcen. En vez de eso, tratemos de trasladarla. Traza la figura. Luego desliza el contorno, de forma que uno de sus bordes esté alineado perfectamente con uno de los bordes de la figura que dibujaste. Traza el contorno nuevamente. Ahora, alinea el contorno con otro lado de la figura original y trázalo. A medida que agregas figuras al patrón, los hexágonos comenzarán a hacerse a sí mismos.

Asegúrate de que no haya espacios en tu patrón. Todos los bordes deberían calzar perfectamente. Deberías ser capaz de continuar deslizando y trazando el hexágono infinitamente en todas direcciones. ¡Has hecho un teselado!

¿Se pueden teselar las siguientes figuras? Fundamenta tu respuesta.

Ejemplo A

Solución: Sí, porque es un polígono regular y las longitudes de sus lados son iguales.

Ejemplo B

Solución: No, porque es un círculo y los lados no son segmentos de línea.

Ejemplo C

Solución: Sí, porque está conformado por dos figuras teseladas.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Primero, respondamos la pregunta sobre los teselados. ¿Qué significa teselar?

Teselar significa que figuras congruentes se unen para crear un patrón en el que no hay espacios entre las figuras. Las figuras se pueden poner una al lado de la otra o al revés para crear el patrón. El patrón recibe el nombre de teselado.

¿Cómo determinas qué figura se puede tesela y que figura no?

Los polígonos regulares se pueden teselar, siempre y cuando uno de sus ángulos internos sea divisible por . Un ángulo interno de un pentágono regular es igual a . Debido a que 108 no es un factor de 360, un pentágono regular no se puede teselar. ¡Inténtalo para demostrártelo a ti mismo! Un hexágono regular, por otra parte, se puede teselar. Un ángulo interno de un hexágono regular es igual a . Debido a que 120 es un factor de 360, un hexágono regular se puede teselar.

Vocabulario

Teselado

es un patrón hecho mediante el uso de diferentes transformaciones de figuras geométricas. Una figura podrá ser teselada si es una figura geométrica regular y si todos sus lados calzan perfectamente sin espacios entre estos.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Dibuja un teselado de triángulos equiláteros.

Solución

En un triángulo equilátero, cada ángulo mide . Por lo tanto, seis triángulos calzarán perfectamente alrededor de cada punto.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: ¿Se pueden teselar las siguientes figuras?

1. Un pentágono regular
2. Un octágono regular
3. Un cuadrado
4. Un rectángulo
5. Un triángulo equilátero
6. Un paralelogramo
7. Un círculo
8. Un cilindro
9. Un cubo
10. Un cono
11. Una esfera
12. Un prisma rectangular
13. Un triángulo rectángulo
14. Un heptágono regular
15. Un decágono regular