Reconocer la Semejanza

En esta sección, reconocerás la semejanza y utilizarás figuras similares con medición indirecta.

¿Has pensado alguna vez en las sombras? Observemos este problema.

Una persona mide cinco pies de alto y proyecta una sombra de dos pies. Una torre proyecta una sombra de 10 pies de largo. ¿Cuál es la altura de la torre?

¿Sabes cómo resolver esto?

Pon atención a esta Sección y aprenderás cómo resolver este problema.

Orientación

Congruente significa “exactamente lo mismo”, “que tienen el mismo tamaño y forma”.

A veces, una figura tendrá la misma forma, pero no el mismo tamaño. Será más pequeña o más grande que la figura original. Cuando esto ocurre, decimos que las dos figuras son “similares”.

Las figuras similares tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.

Piensa en esto por unos minutos, si una figura tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño, entonces aún existe una relación entre ambas figuras. La relación se crea basada en que la forma es la misma.

Esta es una buena pregunta.

Comencemos por pensar en ángulos. Con figuras similares, cada ángulo de una figura en un par similar corresponde y es congruente a un ángulo en la otra figura.

Por ejemplo, el punto superior de un triángulo corresponde al punto superior de otro triángulo en un par similar. A estos puntos, los llamamos partes correspondientes.

Fíjate que los ángulos coinciden en estos dos triángulos. La forma de los triángulos es la misma y puedes observar que los ángulos coinciden.

¿Qué pasa con las longitudes de los lados?

Los lados en pares similares también se corresponden entre sí (como la base de cada triángulo), pero no son congruentes, son proporcionales. Podemos determinar si las figuras son similares entre sí a través de la comparación se sus partes correspondientes. Las partes correspondientes son especialmente útiles cuando una figura está rotada, de forma que no es claro cuáles ángulos y lados corresponden a los de la otra figura.

Ahora, observemos las longitudes de lados correspondientes. En el primer rectángulo, el lado corto es 4 y el lado largo es 8. Sabemos que los lados opuestos de un rectángulo son congruentes, así que no tenemos que preocuparnos de escribir medidas en los otros dos lados. Podemos comparar las medidas en el primer rectángulo con las medidas en el segundo rectángulo. En el segundo rectángulo, el lado corto es 2 y el lado largo es 4.

Escribamos una proporción para comparar los lados correspondientes.

$\frac{short \ side}{short \ side} &= \frac{long \ side}{long \ side}\\\\frac{4}{2} &= \frac{8}{4}$

Puedes observar que estos dos radios forman una proporción. También puedes utilizar esta información para comprobar si dos figuras son similares. Recuerda que las medidas de los ángulos deben ser las mismas y las longitudes de los lados deben ser proporcionales.

Escribe en tu cuaderno estas notas sobre figuras similares.

Ahora que entiendes cómo identificar si dos figuras son similares, podemos analizar triángulos similares. Los triángulos similares son muy útiles, ya que podemos usarlos para encontrar medidas. Años atrás, así es como las personas solían encontrar las medidas de las cosas que eran muy altas o grandes para medirlas. Ellos usaban la medición indirecta. La medición indirecta utiliza triángulos similares y proporciones para encontrar longitudes o distancias.

Pero primero, analicemos triángulos similares.

Los triángulos similares tienen las mismas propiedades que otras figuras similares. Las medidas de los ángulos son iguales y las longitudes de lados correspondientes son proporcionales. Observemos el siguiente diagrama para entender esto.

Ahora, podemos comparar los ángulos y longitudes de lados correspondientes. Comencemos con los ángulos.

$\angle A & \cong \angle D\\\\angle B & \cong \angle E\\\\angle C & \cong \angle F$

Luego, podemos ver las longitudes de los lados correspondientes. En el diagrama, no se nos ha proporcionado ninguna medida, pero podemos utilizar letras minúsculas para mostrar los lados correspondientes.

$\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$

Esto muestra que las longitudes de lado forman un radio y que cada uno de estos es proporcional al otro.

Podemos utilizar esta información cuando resolvemos problemas de longitudes de lados desconocidas.

Esta es una buena pregunta. Primero, tendríamos que conocer alguna de las longitudes de los lados. Asignemos algunas longitudes a los lados en el diagrama anterior.

$a &= 12\\\b &= ?\\\c &= 3\\\d &= 4\\\e &= 3\\\f &= 1$

Ahora, podemos tomar estas medidas dadas y sustituirlas en la proporción que escribimos anteriormente. Nota que no tenemos la medida del lado $b$ , así que necesitaremos resolver esa medida desconocida.

$\frac{12}{4}=\frac{b}{3}=\frac{3}{1}$

Luego, podemos utilizar dos de los tres radios para resolver las proporciones. Tenemos tres radios, pero no necesitamos los tres, porque dos radios iguales forman una proporción. Esto quiere decir que solo necesitamos trabajar con dos radios para encontrar el valor de $b$ .

$\frac{12}{4}=\frac{b}{3}$

Ahora podemos multiplicar cruzado y resolver la proporción.

$4b &= 36\\\b &= 9$

El valor de $b$ es 9.

La clave para trabajar con mediciones indirectas es siempre tener claro lo que se está comparando. Escribes tus radios y luego formas una proporción y encuentras la longitud o distancia desconocida.

Escribe en tu cuaderno algunos datos sobre medición indirecta.

Encuentra cada uno de los valores desconocidos.

Ejemplo A

$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{x}{18}$

Solución: $x = 12$

Ejemplo B

$\frac{4}{5}=\frac{12}{15}=\frac{x}{30}$

Solución: $x = 24$

Ejemplo C

$\frac{8}{9}=\frac{16}{x}=\frac{32}{36}$

Solución: $x = 18$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Esto podría verse como un problema muy difícil de resolver, sin embargo, si piensas en las personas y las sombras como si estuvieran relacionadas con triángulos, se vuelve mucho más fácil. Observa esta imagen.

Nota que la persona y la sombra forman dos lados de un triángulo y podemos dibujar una recta imaginaria desde la cabeza de la persona a la punta de la sombra. Las sombras son una forma de trabajar con triángulos y medición indirecta. De hecho, frecuentemente escucharás que se le llama a estos tipos de problemas, problemas de sombra.

Para resolver este problema, encontremos cómo utilizar triángulos similares pare descubrir la altura de la torre. Primero, piensa en lo que se está comparando. Estamos comparando la altura de la persona con la longitud de la sombra. Este es el primer radio.

$\frac{person}{shadow}=\frac{5 \ ft}{2 \ ft}$

Luego, miramos la torre. No sabemos la altura de la torre, esa es nuestra variable. Conocemos la longitud de la sombra. Aquí tenemos nuestro segundo radio.

$\frac{tower}{shadow}=\frac{x}{10 \ ft}$

Podemos decir que estos dos triángulos son similares y que los triángulos similares son proporcionales. Por lo tanto, estos dos radios forman una proporción. Escribámoslos como una proporción.

$\frac{5 \ ft}{2 \ ft}=\frac{x}{10 \ ft}$

Ahora podemos multiplicar cruzado y resolver la proporción.

$2x &= 50 \ ft\\\x &= 25 \ ft$

La torre mide 25 pies de alto.

Vocabulario

Congruente: significa “que tiene el mismo tamaño, forma y medida”.

Similar: significa que tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño. Las medidas de los ángulos son iguales y las longitudes de lados son proporcionales.

Proporcional: las longitudes de los lados crean radios que forman una proporción.

Medición Indirecta: usar triángulos similares para encontrar distancias o longitudes difíciles.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}=\frac{24}{x}$

Solución

Primero, podemos ver la relación entre los numeradores.

Uno fue multiplicado por dos para obtener dos. Luego dos fue multiplicado por 12 para obtener 24.

Ahora, observemos los denominadores.

Cuatro fue multiplicado por dos para obtener 8. Luego, necesitamos multiplicar 8 por 12 para encontrar el denominador desconocido.

La respuesta es $x = 96$ .

Práctica

Instrucciones: Identifica si cada par de triángulos es similar, basados en los radios de sus lados.

1. El triángulo $A$ tiene longitudes de lado de 2, 4 y 6. El triángulo $B$ tiene longitudes de lado de 6, 12 y 24. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $C$ tiene longitudes de lado de 4, 5 y 10. El triángulo $B$ tiene longitudes de lado de 2; 2,5 y 5. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $D$ tiene longitudes de lado de 5, 8 y 12. El triángulo $B$ tiene longitudes de lado de 10, 16 y 24. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $A$ tiene longitudes de lado de 10, 12 y 14. El triángulo $B$ tiene longitudes de lado de 5, 7 y 9. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $B$ tiene longitudes de lado de 8, 14 y 20. El triángulo $C$ tiene longitudes de lado de 4, 7 y 10. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $E$ tiene longitudes de lado de 20, 11 y 8. El triángulo $F$ tiene longitudes de lado de 10; 5,5 y 5. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $G$ tiene longitudes de lado de 6, 8 y 12. El triángulo $H$ tiene longitudes de lado de 18, 24 y 36. ¿Son similares estos triángulos?
1. El triángulo $I$ tiene longitudes de lado de 8, 12 y 16. El triángulo $J$ tiene longitudes de lado de 4, 8 y 10. ¿Son similares estos triángulos?

Instrucciones: Encuentra la longitud desconocida al observar cada serie de radios. El valor superior representa las longitudes de los lados del primer triángulo similar. El valor inferior representa las longitudes de los lados del segundo triángulo similar.

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{9}{x}$
$\frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{10}{x}$
$\frac{4}{2}=\frac{10}{x}=\frac{12}{6}$
$\frac{6}{2}=\frac{9}{x}=\frac{12}{4}$
$\frac{5}{10}=\frac{10}{20}=\frac{15}{x}$
$\frac{12}{6}=\frac{20}{10}=\frac{15}{x}$
$\frac{16}{x}=\frac{20}{5}=\frac{24}{6}$

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