Reconocer Dilataciones

En esta sección, reconocerás dilataciones y utilizarás el factor de escala para determinar mediciones.

¿Has pensado alguna vez en una cabaña de madera? Observa este problema sobre construcción de cabañas de madera?

Sherri decidió hacer su proyecto sobre cabañas de madera. La Sra. Patterson sugirió que se centrara un periodo de tiempo para trabajar, ya que las cabañas de madera se han construido durante mucho tiempo. Años atrás, eran bastante pequeñas, pero hoy las cabañas de madera también pueden ser casas de diseñador.

“Sra. Patterson, me voy a centrar en una cabaña de madera del siglo XIX”, dijo Sherri mientras sacaba un libro que encontró en la biblioteca sobre las cabañas de madera.

“Buena idea. ¿Cuál era el tamaño promedio de una cabaña de madera en el año 1800?”, pregunto la Sra. Patterson.

“¿A qué se refiere?”

“Me refiero a los pies cuadrados. ¿Cuántos pies de ancho tenía la casa promedio y cuántos pies de largo?”, explicó la Sra. Patterson.

“Oh, ya entendí. La casa promedio medía $20 \times 40 \ feet$ . Así que el promedio era de 800 pies cuadrados”, dijo Sherri.

“Genial, ahora asegúrate de que tu plano refleje eso”, dijo la Sra. Patterson mientras se alejaba.

Sherri está confundida. Sabe que la forma de la cabaña de madera es un rectángulo dadas la longitud y el ancho. Conoce el área de la casa. Para crear un plano, necesitará crear una dilatación. Sherri decide que utilizará un factor de escala de $\frac{1}{16}$ . Dada esta información, ¿cuáles serán las dimensiones de su plano para la casa?

Para el final de esta Sección, abrás aprendido sobre las dilataciones y encontrado las dimensiones de la casa.

Orientación

Existen muchos tipos de transformaciones. Podemos voltear o reflejar una figura, trasladar o deslizar una figura y rotar una figura. También podemos estirar o encoger una figura para crear una nueva. Esto recibe el nombre de dilatación .

Una dilatación es una transformación creada por un factor de escala.

Podemos crear una dilatación que es más pequeña o grande que la figura original. De cualquier manera, una figura similar se crea a través de una dilatación.

Pensemos en los factores de escala por un momento.

El factor de escala es el radio que determina la relación proporcional entre los lados de las figuras similares.

Para que los pares de lados sean proporcionales entre sí, deben tener el mismo factor de escala. En otras palabras, las figuras similares tienen ángulos y lados congruentes con el mismo factor de escala. Un factor de escala de dos quiere decir que cada lado de la figura más grande es exactamente dos veces más grande que el lado correspondiente en la figura más pequeña.

Cuando comparamos los lados correspondientes de una figura, podemos encontrar el factor de escala de esa figura.

Una figura tiene una longitud de lado de 3 pies. ¿Cuál sería la longitud de lado correspondiente de la siguiente figura, si el factor de escala fuera 4?

Analicemos esto. Sabemos la longitud de uno de los lados de la primera figura y conocemos el factor de escala. Para encontrar la longitud nueva, podemos multiplicar el factor de escala por la primera longitud.

$3 \times 4 = 12$

La longitud del lado correspondiente de la segunda figura es de 12 pies.

Cuando tenemos una figura que es más grande que la original, tenemos un factor de escala que es más mayor que uno. Si tenemos una figura que es más pequeña que la original, entonces tenemos un factor de escala que es menor que uno o es una fracción.

Una figura tiene una longitud de lado de 5 metros. ¿Cuál sería la longitud de lado correspondiente de la nueva figura, si el factor de escala fuera $\frac{1}{2}$ ?

Para resolver esto, tenemos que considerar la longitud dada de la primera figura y dividirla por la mitad. Esto nos dará la longitud correspondiente de la segunda figura.

$5 \left(\frac{1}{2}\right) = 2.5$

La longitud del lado correspondiente será de 2,5 metros.

Ahora que entendiste las dilataciones, podemos ver cómo trabajar con estas sobre el plano cartesiano. Una vez más, utilizaremos notación de coordenadas para describir las diferentes dilataciones que se crean sobre el plano cartesiano.

Observemos esta figura y luego veamos cómo podemos graficar su dilatación.

Graficar dilataciones de figuras geométricas es en realidad algo bastante sencillo cuando conocemos el factor de escala. Simplemente multiplicamos ambas coordenadas para cada vértice por el factor de escala con el fin de generar nuevas coordenadas.

Imagina que queremos agrandar el rectángulo anterior mediante el uso de un factor de escala de 3. Necesitamos multiplicar por 3 cada coordenada.

$& (-2,-3) \ (-2,3) \ (2,3) \ (2,-3)\\\& \times 3\\\& (-6,-9) \ (-6,9) \ (6,9) \ (6,-9)$

Ahora, podemos graficarlo sobre el plano cartesiano.

También podemos crear una reducción. Creamos una reducción mediante la división de cada coordenada por el factor de escala. Esto nos dará las medidas nuevas de la figura.

Encuentra cada medida nueva dado el factor de escala.

Un cuadrilátero con medidas de lado de 6, 15, 27, 30.

Ejemplo A

Un factor de escala de $\frac{1}{3}$ .

Solución: 2, 5, 9, 10

Ejemplo B

Un factor de escala de $\frac{1}{2}$ .

Solución: 3, 7.5, 13.5, 15

Ejemplo C

Un factor de escala de 2.

Solución: 12, 30, 54, 60

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Para resolver este problema, comenzamos con las dimensiones actuales de la cabaña de madera. La cabaña de madera tiene dimensiones reales de $20 \times 40 \ feet$ .

Sherri está utilizando un factor de escala de $\frac{1}{16}$ . Esto quiere decir que la dilatación será una reducción. Dividimos ambas dimensiones por 16.

$20 \div 16 &= 1.25 \ ft.\\\40 \div 16 &= 2.5 \ ft$

Las dimensiones del plano de Sherri serán $1.25 \ ft \ wide \times 2.5 \ ft \ long$ .

Vocabulario

Dilatación: es reducir o agrandar una figura de acuerdo a un factor de escala.

Factor de Escala: el radio que compara las longitudes de los lados correspondientes entre sí. Esa comparación recibe el nombre de factor de escala.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Grafica una reducción de la siguiente figura si el factor de escala es $\frac{1}{2}$ .

Solución

Nota que cada una de las coordenadas originales se dividió por dos para crear las coordenadas de la reducción.

$(2, 4) \div 2 &= (1, 2)\\\(8, -4) \div 2 &= (4, -2)\\\(-6, -2) \div 2 &= (-3, -1)$

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza cada factor de escala para determinar las nuevas dimensiones de cada figura.

Un triángulo con medidas de lados de 4, 5, 9 y un factor de escala de 2.
Un triángulo con medidas de lados de 4, 5, 9 y un factor de escala de 3.
Un triángulo con medidas de lados de 4, 5, 9 y un factor de escala de 4.
Un triángulo con medidas de lados de 8, 10, 14 y un factor de escala de 2.
Un triángulo con medidas de lados de 8, 10, 14 y un factor de escala de 4.
Un triángulo con medidas de lados de 2, 4, 6 y un factor de escala de 2.
Un cuadrilátero con medidas de lados de 4, 6, 8, 10 y un factor de escala de $\frac{1}{2}$
Un cuadrilátero con medidas de lados de 12, 16, 20, 24 y un factor de escala de $\frac{1}{4}$
Un cuadrilátero con medidas de lados de 4, 6, 8, 10 y un factor de escala de 2
Un cuadrilátero con medidas de lados de 4, 6, 8, 10 y un factor de escala de 3
Un cuadrilátero con medidas de lados de 4, 6, 8, 10 y un factor de escala de 4
Un cuadrilátero con medidas de lados de 9, 12, 18, 24 y un factor de escala de $\frac{1}{3}$
Un cuadrilátero con medidas de lados de 9, 12, 18, 24 y un factor de escala de 2
Un cuadrilátero con medidas de lados de 9, 12, 18, 24 y un factor de escala de 3
Un cuadrilátero con medidas de lados de 8, 12, 16, 24 y un factor de escala de $\frac{1}{4}$
Un cuadrilátero con medidas de lados de 9, 12, 18, 24 y un factor de escala de $\frac{1}{2}$