Evaluación de Expresiones Radicales

En esta sección, evaluarás las expresiones radicales que incluyen cuadrados perfectos, cubos y raíces cuadradas aproximadas.

¿Alguna vez has jugado fútbol y te has preguntado sobre las medidas del diamante de beisbol? Observa este problema.

“¿Sabías que la distancia entre dos bases en un diamante de béisbol es la misma que las raíz cuadrada de 8100?”, le preguntó Mark a su hermana una mañana.

Sara miró a Mark.

“¿Estás seguro?”, Sara preguntó tratando de resolver el problema en su cabeza.

Mark simplemente sonrió.

¿Es correcto lo que dice Mark?

Esta sección es sobre las raíces cuadradas y los cuadrados perfectos. Sabrás cómo resolver este dilema al final de esta sección.

Orientación

¿Recuerdas los exponentes?

Un exponente es un número que eleva una base a su potencia.

Podemos reconocer los exponentes porque son pequeños números que se encuentran al lado de números grandes. Este pequeño número es el exponente y el número grande es la base . El exponente te dice cuántas veces multiplicar una base por sí misma.

Mira este valor.

$7^2$

Esto significa que multiplicamos la base de 7 por sí misma dos veces. Esta es la forma en que evaluamos una potencia.

$7 \times 7 = 49$

Esta es la respuesta.

También podemos realizar una operación que es el opuesto de elevar un número a una potencia, podemos encontrar la raíz del número: Esta es la expresión que es el opuesto a elevar un número a una potencia. Lo llamamos raíz o radical.

Cuando ves un número que se ve como esto, $\sqrt {16}$ , eso significa que estamos buscando la raíz del número que está dentro del símbolo radical.

Ahora, miremos cómo funciona con raíces o radicales.

Piensa en el valor de arriba.

$7^2 = 7 \times 7 = 49$

utilizamos lenguaje verbal para explicar esto, podemos decir que siete al cuadrado es igual a 49. Cuando el exponente es 2, podemos decir que el número se eleva al cuadrado porque se multiplica por sí mismo.

Podemos trabajar con lo opuesto del cuadrado y encontrar la raíz cuadrada del número.

$\sqrt {49}$

Cuando vemos un número dentro de un símbolo radical, estamos buscando resolver la raíz cuadrada de ese número. En otras palabras, lo que se multiplica por sí mismo dos veces es igual al valor dentro del símbolo radical.

La respuesta es 7 porque 7 al cuadrado es igual a 49.

También podemos elevar un número al cubo. Cuando un número se eleva al cubo , el exponente es 3. Esto significa que multiplicamos la base por sí misma tres veces.

$2^3$

Esto significa que multiplicamos la base dos por sí misma tres veces.

$2 \times 2 \times 2 = 8$

También podemos encontrar la raíz cúbica de un número.

$\sqrt[3]{8}$

Cuando buscamos la raíz cúbica, estamos buscando el valor que podemos multiplicar por sí mismo tres veces.

La raíz cúbica de 8 es 2.

Podemos determinar si un valor es un cuadrado perfecto o un cubo perfecto.

¿64 es un cuadrado perfecto? ¿Es un cubo perfecto?

Para resolver esto necesitamos mirar si hay un número que podemos multiplicar por sí mismo para igualar 64. Esto significa que buscamos la raíz cuadrada de 64.

Evaluemos esta expresión radical.

$\sqrt {64}=8$

Ya que $8^2 = 64$ , 64 es un cuadrado perfecto.

Ahora, ¿es un cubo perfecto? Para resolver esto, necesitamos mirar si hay un valor que cuando se eleva al cubo da como resultado 64.

$\sqrt[3]{64}=4$

Ya que $4 \times 4 \times 4 = 64$ , 64 es un cubo perfecto.

64 es un cuadrado perfecto y un cubo perfecto.

Escribe la definición de una expresión radical, de una raíz cuadrada y de una raíz cúbica en tu cuaderno. Asegúrate que entiendes cómo resolver si el número es un cuadrado perfecto o un cubo perfecto.

Las raíces son muy fáciles de encontrar cuando los números son cuadrados o cubos perfectos. Cuando no puedes encontrar una raíz que se eleva fácilmente al cuadrado o al cubo, necesitarás utilizar un método diferente. Si solo necesitas estimar una raíz cuadrada, puedes identificar entre qué números estará la raíz.

Si necesitas más información, puedes consultar una tabla que muestra las raíces cuadradas o utilizar una calculadora para encontrar la coma decimal exacta.

Eso es exactamente lo que analizaremos a continuación.

Evalúa $\sqrt{30}$

Al mirar 30 sabemos que no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, necesitaremos aproximarlo a la raíz cuadrada. Podemos hacer esto al resolver los dos valores entre los que estará la raíz cuadrada.

¿Qué valores elevados al cuadrado serán iguales al número que está cerca de 30?

$5^2 &= 25\\\6^2 &= 36$

Podemos decir que la raíz cuadrada de 30 está entre 5 y 6. Ya que 25 y 36 son casi el mismo número de unidades aparte, podemos decir que una respuesta aproximada para la raíz cuadrada de 30 es 5.5.

Algunas veces, querrás una respuesta exacta. Una respuesta aproximada no funcionará. Cuando eso sucede, necesitarás utilizar una calculadora o una tabla. Existen tablas que te dirán la raíz cuadrada exacta de un número.

Utiliza una calculadora para encontrar el valor de $\sqrt{42}$ .

Tipea el símbolo de la raíz cuadrada y 42 para encontrar la raíz cuadrada de 42 en tu calculadora.

El resultado que muestra es 6,48074069840786. Puedes redondearlo a la centena más cercana y registrar el valor como 6.48.

Ejemplo A

Evalúa $\sqrt {62}$

Solución: La respuesta será entre 7 y 8.

Ejemplo B

Evalúa $\sqrt {11}$

Solución: La respuesta será entre 3 y 4.

Ejemplo C

¿16 es un cuadrado perfecto?

Solución: Sí, porque $4 \times 4 = 16$ .

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Para resolver esto, necesitamos tomar la raíz cuadrada de 8100. Si miramos otra vez el diagrama del principio de esta sección, verás que la distancia entre las bases es de 90 pies.

Probaremos que la raíz cuadrada de 8100 es igual a 90 pies. Si esto es correcto, entonces Mark está en lo correcto.

$\sqrt {8100}$ = $90 \times 90$ o $90^2$

¡Mark está en lo correcto!

Vocabulario

Exponente: El número pequeño que representa una potencia. Te dice cuántas veces multiplicar una base por sí misma.

Base: El número que se eleva a la potencia. Es el número más grande que está al lado de un exponente.

Expresión Radical: Un número dentro de una radical donde necesitas encontrar la raíz de un número.

Elevar al cuadrado: Un exponente de 2 dice que debes multiplicar la base por sí misma.

Elevar al cubo: Un exponente de 3 dice que debes multiplicar la base por sí misma tres veces.

Raíz Cúbica: Para encontrar un valor que cuando se multiplica por sí misma tres veces es igual al valor dentro de la radical.

Cuadrado Perfecto: Un número que es el cuadrado de un número entero.

Cubo Perfecto: Un número que es el cubo de un número entero.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

¿40 es un cuadrado perfecto?

Solución

Para resolver esto, necesitamos resolver la raíz cuadrada de 40.

Evaluemos esta expresión radical.

$\sqrt {40}$

No hay un número que cuando se eleve al cuadrado sea igual a 40 sin ningún resto, por lo que 40 no es un cuadrado perfecto.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Understanding Square Roots

“video disponible solo en inglés”

Práctica

Instrucciones: Evalúa cada expresión radical.

$\sqrt{16}$
$\sqrt{25}$
$\sqrt{81}$
$\sqrt{121}$
$\sqrt{36}$
$\sqrt{169}$
$\sqrt[3]{125}$
$\sqrt[3]{64}$
$\sqrt[3]{27}$
$\sqrt{144}$

Instrucciones: Aproxima cada raíz cuadrada listando los dos valores entre los que se puede encontrar la raíz cuadrada.

$\sqrt{12}$
$\sqrt{15}$
$\sqrt{20}$
$\sqrt{22}$
$\sqrt{31}$
$\sqrt{90}$
$\sqrt{99}$