Evaluación de Expresiones Radicales y Potencias Fraccionarias

En esta sección del capítulo evaluarás Expresiones radicales y Potencias Fraccionarias.

¿Alguna vez has guardado conservas en lata para donarlas a caridad? Observa este dilema.

Los estudiantes de octavo grado del Consejo de Estudiantes decidieron que el tema del año escolar sería “Manos Auxiliadoras” Con este tema, los alumnos de octavo grado se enfocarían durante todo el año en diferentes proyectos de servicio comunitario. Cuando la presidenta de la clase, Margaret, propuso esta iniciativa al cuerpo estudiantil, los estudiantes se emocionaron mucho. Decidieron dejar que cada clase resolviera el proyecto en que se enfocarían.

La clase de la Sra. Garibaldi realizó una campaña de conservas en lata para ayudar a un refugio de asistencia local. Juan era el líder del grupo. Él envió un aviso a cada familia para comenzar a recolectar comida a principios de noviembre. Pensó que podría juntar todas las latas para El Día de Acción de Gracias y así proveer a algunas familias con comida extra para las fiestas.

Juntaron 121 latas para el refugio. Se recolectaron muchos tipos diferentes de comida enlatada. Juan calculó que el número de latas que contienen vegetales era igual a $121^{\frac{1}{2}}+14$ .

“¿Cuántas latas contenían vegetales?”, le preguntó Margaret a Juan durante el almuerzo.

Juan simplemente sonrió y escribió su expresión en un pedazo de papel.

“¡Esa es una forma muy rara de escribirlo!”, dijo ella “¡aún no sé cuántas latas contienen vegetales!”

¿Tú lo sabes? Esta sección trabajará con exponentes fraccionarios y radicales. Al final de ella, sabrás cómo ayudar a Margaret a resolver el problema.

Orientación

Puedes evaluar una expresión radical al evaluar también el exponente o la raíz.

¿Recuerdas los exponentes?

Un exponente es un número que eleva una base a su potencia.

Podemos reconocer los exponentes porque son pequeños números que se encuentran al lado de números grandes. Este pequeño número es el exponente y el número grande es la base . El exponente te dice cuántas veces multiplicar una base por sí misma.

$5^2$

Esto significa que multiplicamos la base de 5 por sí misma dos veces. Esta es la forma en que evaluamos una potencia.

$5 \times 5 = 25$

Esta es la respuesta.

También podemos realizar una operación que es el opuesto de aumentar un número a una potencia, podemos encontrar la raíz del número: Esta es la expresión que es el opuesto a elevar un número a una potencia. Lo llamamos raíz o radical.

Cuando ves un número que se ve como esto, $\sqrt{49}$ , significa que estamos buscando la raíz del número que está dentro del símbolo radical.

Ahora, miremos cómo funciona con raíces o radicales.

$5^2 = 5 \times 5 = 25$

Si utilizamos lenguaje verbal para explicar esto, podemos decir que siete al cuadrado es igual a 49. Cuando el exponente es 2, podemos decir que el número se eleva al cuadrado porque se multiplica por sí mismo.

Podemos trabajar con lo opuesto del cuadrado y encontrar la raíz cuadrada del número.

$\sqrt{25}$

Cuando vemos un número dentro de un símbolo radical, estamos buscando resolver la raíz cuadrada de ese número. En otras palabras, lo que se multiplica por sí mismo dos veces es igual al valor dentro del símbolo radical.

La respuesta es 5, porque 5 al cuadrado es igual al 25.

Considera esta declaración de equivalencia.

$7^2 &= 49\\\\sqrt{49}&=7$

También hay equivalencia cuando utilizas una expresión radical y potencias fraccionarias. Observa esto.

Hay una conexión entre la expresión radical y las potencias fraccionarias.

Una potencia fraccionaria es cuando el exponente está en forma de fracción.

Las raíces cuadradas y las raíces cúbicas también pueden representarse por exponentes fraccionarios.

Si un número se eleva a la potencia de $\frac{1}{3}$ , es lo mismo que sacar la raíz cúbica. De manera similar, si un número se eleva a la potencia de $\frac{1}{2}$ , es lo mismo que sacar la raíz cuadrada.

Observa esta situación.

A Elena le pidieron que encontrara el valor de $27^{\frac{1}{3}}$ . ¿Qué debería hacer Elena para encontrar este valor?

El primer paso que debería hacer Elena es convertir el exponente fraccionario en una raíz. Ya que la fracción es $\frac{1}{3}$ , necesitará encontrar la raíz cúbica de 27 para resolver el problema.

$27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}$

Para simplificar la raíz cúbica, Elena debe pensar en un número que, cuando se multiplica tres veces consecutivamente, resulta en 27.

Si multiplicas $3 \times 3 \times 3$ , el producto es 27. Entonces, la raíz cúbica de 27 es 3.

$27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$

La respuesta es 3.

Evalúa cada ejemplo.

Ejemplo A

$64^{\frac{1}{3}}$

Solución: $4$

Ejemplo B

$49^{\frac{1}{2}}$

Solución: $7$

Ejemplo C

$343^{\frac{1}{3}}$

Solución: $7$

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Para crear una ecuación para este caso, es importante identificar primero la variable. Lo desconocido en este problema es el número de latas que contienen vegetales. Podemos nombrar esa cantidad como $c$ .

El problema nos dice que $c$ es igual a la expresión $121^{\frac{1}{2}}+14$ . Entonces, podemos escribir la ecuación con $c$ en un lado y $121^{\frac{1}{2}}+14$ al otro.

$c=121^{\frac{1}{2}}+14$

Para resolver esta ecuación, puedes simplificar el exponente y sumar. Sabemos que si un número se eleva a la potencia de $\frac{1}{2}$ , es lo mismo que encontrar la raíz cuadrada. Por lo que la ecuación puede reescribirse.

$c=\sqrt{121}+14$

La raíz cuadrada de 121 es 11, ya que $11 \times 11=121$ . Entonces, la ecuación se vuelve mucho más simple.

$c=11+14$

Ya que $11+14=25$ , el valor de $c$ es 25.

$c=25$

El número de latas que contienen vegetales en la clase de la Sra. Garibaldi era de 25.

Vocabulario

Exponente: El número pequeño que representa una potencia. Te dice cuántas veces multiplicar una base por sí misma.

Base: El número que se eleva a la potencia. Es el número más grande que está al lado de un exponente.

Expresión Radical: Un número dentro de una radical donde necesitas encontrar la raíz de un número.

Elevar al cuadrado: Un exponente de 2 dice que debes multiplicar la base por sí misma.

Elevar al cubo: Un exponente de 3 dice que debes multiplicar la base por sí misma tres veces.

Raíz Cúbica: Sirve para encontrar un valor que cuando se multiplica por sí mismo tres veces es igual al valor dentro de la radical.

Cuadrado Perfecto: Un número que es el cuadrado de un número entero.

Cubo Perfecto: Un número que es el cubo de un número entero.

Potencia Fraccionaria: Un exponente en forma de fracción. Un exponente fraccionario de $\frac{1}{2}$ es lo mismo que la raíz cuadrada de un número. Un exponente fraccionario de $\frac{1}{3}$ es lo mismo que la raíz cúbica de un número.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

Birgit necesita resolver la ecuación $x=81^{\frac{1}{2}}$ . ¿Cómo puede encontrar el valor de $x$ ?

Solución

Birgit debería darse cuenta que elevar algo a la potencia de $\frac{1}{2}$ es lo mismo que sacar la raíz cuadrada. Entonces, Birgit solo necesita encontrar la raíz cuadrada de 81 para encontrar el valor de $x$ .

Para encontrar el raíz cuadrada de 81, Birgit podría usar su calculadora o pensar en un número que, cuando se multiplica por sí mismo, dará un producto de 81.

Ya que $9 \times 9=81$ , la raíz cuadrada de 81 es 9.

En la ecuación $x=81^{\frac{1}{2}}, x=9$ .

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Fractional Powers

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Evalúa cada potencia fraccionaria.

$64^{\frac{1}{2}}$
$16^{\frac{1}{2}}$
$144^{\frac{1}{2}}$
$81^{\frac{1}{2}}$
$9^{\frac{1}{2}}$
$25^{\frac{1}{2}}$
$216^{\frac{1}{3}}$
$100^{\frac{1}{2}}$
$16^{\frac{1}{4}}$
$256^{\frac{1}{4}}$
$125^{\frac{1}{3}}$
$36^{\frac{1}{2}}$
$81^{\frac{1}{4}}$
$121^{\frac{1}{2}}$
$169^{\frac{1}{2}}$

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