Resolución de Ecuaciones que Involucran Radicales

En esta sección del capítulo, resolverás ecuaciones que involucran radicales.

¿Alguna vez has plantado un jardín? Observa este dilema.

Mario y su hermano han construido un huerto que tiene un área de 144 pies cuadrados. Si la forma del huerto es un cuadrado, entonces ¿cuál es la longitud de un lado del huerto? ¿Cuál es el perímetro de este huerto?

Para resolver esto, necesitarás entender cómo resolver ecuaciones que involucran radicales. Esta sección te enseñará a encontrar el éxito.

Orientación

¿Recuerdas los exponentes?

Un exponente es un número que eleva una base a su potencia. Podemos reconocer los exponentes porque son pequeños números que se encuentran al lado de números grandes. Este pequeño número es el exponente y el número grande es la base . El exponente te dice cuántas veces multiplicar una base por sí misma.

$7^2$

Esto significa que multiplicamos la base de 7 por sí misma dos veces. Esta es la forma en que evaluamos una potencia.

$7 \times 7 = 49$

Esta es la respuesta.

También podemos realizar una operación que es el opuesto de aumentar un número a una potencia, podemos encontrar la raíz del número: Esta es la expresión que es el opuesto a aumentar un número a una potencia. Lo llamamos raíz o radical.

Cuando ves un número que se ve como esto, $\sqrt{16}$ , significa que estamos buscando la raíz del número que está dentro del símbolo radical.

En este caso, la respuesta sería 4 porque 4 x 4 = 16.

También podemos ver radicales en una ecuación. Cuando tenemos un radical en una ecuación, podemos resolver la ecuación al utilizar lo que hemos aprendido sobre cuadrados y raíces cuadradas. Echémosle un vistazo.

$x^2=100$

Para resolver esta ecuación, pensemos en algo que ya sabemos. Sabemos que un valor multiplicado por sí mismo será igual a 100. Hasta este punto hemos resuelto ecuaciones con la utilización de operaciones inversas. Podemos utilizar eso aquí otra vez. La variable se eleva al cuadrado; podemos obtenerlo por sí mismo al utilizar una operación inversa. La inversa de elevar al cuadrado un número es encontrar la raíz cuadrada del número. Veamos qué sucede si encontramos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x^2}= \sqrt{100}$

El exponente 2 y el radical se anulan el uno al otro porque son inversos de cada uno. Crucémoslos.

$\sqrt{x^2}=\sqrt{100}$

Ahora, pongámoslos a la izquierda con:

$x&=\sqrt{100}\\\x&=10$

Esta es la respuesta.

Resuelve cada ecuación.

Ejemplo A

$x^2=36$

Solución: $x = 6$

Ejemplo B

$x^2=81$

Solución: $x = 9$

Ejemplo C

$x^3+2=66$

Solución: $x = 4$

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Primero, tenemos que analizar lo que sabemos sobre el huerto. Sabemos el área.

$A = 144 \ sq.feet$

También sabemos que la fórmula del área es $s^2$ .

Ahora podemos escribir la ecuación para resolver la primera parte del problema, la longitud de uno de los lados.

$s^2=144 \ sq.feet$

Si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, entonces podremos resolver el valor de un lado del huerto.

$sqrt{s^2} &= \sqrt{144}\\\s&=12 \ feet$

La longitud de uno de los lados del huerto es de 12 pies.

Luego, necesitamos resolver el perímetro del huerto.

$P=4s$

Sustituiremos el valor incógnito por el lado del huerto.

$P=4(12)$

El perímetro del huerto es de 48 pies cuadrados.

Vocabulario

Exponente: El número pequeño que representa una potencia. Te dice cuántas veces multiplicar una base por sí misma.

Base: El número que se eleva a la potencia. Es el número más grande que está al lado de un exponente.

Expresión Radical: Un número dentro de una radical donde necesitas encontrar la raíz de un número.

Elevar al cuadrado: Un exponente de 2 dice que debes multiplicar la base por sí misma.

Elevar al cubo: Un exponente de 3 dice que debes multiplicar la base por sí misma tres veces.

Raíz Cúbica: Sirve para encontrar un valor que cuando se multiplica por sí mismo tres veces es igual al valor dentro de la radical.

Cuadrado Perfecto: Un número que es el cuadrado de un número entero.

Cubo Perfecto: Un número que es el cubo de un número entero.

Potencia Fraccionaria: Un exponente en forma de fracción. Un exponente fraccionario de $\frac{1}{2}$ es lo mismo que la raíz cuadrada de un número. Un exponente fraccionario de $\frac{1}{3}$ es lo mismo que la raíz cúbica de un número.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

$x^2=121$

Solución

$\sqrt{x^2}= \sqrt{121}$

El exponente 2 y el radical se anulan el uno al otro porque son inversos de cada uno. Crucémoslos.

$\sqrt{x^2}=\sqrt{121}$

Ahora, pongámoslos a la izquierda con:

$x&=\sqrt{121}\\\x&=11$

Esta es la respuesta.

Revisión en Video

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Solving Radical Equations with One Radical

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada ecuación que involucra expresiones radicales.

$x^2=121$
$x^2=144$
$x^2=64$
$x^2=169$
$x^2=16$
$x^3=64$
$x^3=27$
$x^2+3=147$
$x^2-2=23$
$x^2+5=30$
$x^3+4=68$
$x^3+10=135$
$x^2-4=21$
$x^2-6=30$
$x^2-12=37$

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