Clasificación de Números Reales

En esta sección del capítulo, clasificarás números reales como números racionales, números naturales, enteros y números irracionales. Luego compararás números reales.

¿Alguna vez has pensado en círculos? ¿Y en tipos de números? Observa este dilema.

En el frente de la Secundaria Kenneth Graham hay una bandera con un jardín circular debajo. Los estudiantes de la clase del Sr. Kennedy decidieron que este jardín circular sería su proyecto de servicio comunitario. Los estudiantes eligieron a Candice como la líder del proyecto y ella comenzó a trabajar inmediatamente con la organización de la decoración. Pidió a un grupo de estudiantes que plantaran flores y rastrillaran las hojas que quedaron del otoño anterior. Era un proyecto perfecto para la primavera.

“Necesitamos más tierra”, le dijo Sam un poco antes de comenzar la limpieza.

“Yo también lo creo”, dijo Kyle.

Candice se acercó para evaluar la situación. La lluvia y la nieve del invierno y del comienzo de la primavera habían dejado la tierra dispersa. Definitivamente, no había suficiente tierra para poder plantar. Candice comenzó a resolver el área del jardín circular.

Sabía que la fórmula de área es $A = \pi r^2$ . El diámetro del jardín es de 16 pies.

Eso es todo lo que Candice puedo obtener. No podía recordar el siguiente paso. Aquí es donde entras tú. La utilización de números irracionales es necesaria para resolver este problema. Pero primero, debes entender que significa cuando decimos “números irracionales”.

Orientación

Hay muchas maneras de clasificar o nombrar a los números.

Todos los números se consideran números reales.

Cuando cursas grados inferiores trabajas con números naturales. Los números naturales son los números contables. Consideramos los números naturales como un conjunto de números $\{0, 1, 2, 3, 4 \ldots \}$ .

En la secundaria, también aprendes sobre enteros . El conjunto de enteros incluye números naturales, pero también incluye a sus opuestos. Por lo tanto, podemos decir que los positivos naturales y los números negativos son parte de un conjunto de enteros $\{ \ldots -2, -1, 0, 1, 2, 3 \ldots \}$ .

Podemos parar de clasificar números con números naturales y enteros porque algunas veces podemos medir una parte del entero o un entero en partes. A estos números se les llama números racionales. Un número racional es cualquier número que se puede escribir como una fracción donde el numerador o el denominador no son iguales a cero. Pensemos en esto. Un número natural o un entero puede ser un número racional porque podemos ponerlo sobre 1.

-4 se puede escribir como $-\frac{4}{1}$ , por lo tanto es un entero, pero también un número racional.

Exactamente. También podemos pensar en decimales. Muchos decimales se pueden escribir como fracciones, por lo que los decimales también son números racionales.

Hay dos tipos especiales de decimales que se consideran números racionales y un tipo de decimal que NO es un número racional Un decimal finito es un decimal que se considera como número racional. Un decimal finito es un decimal que parece como si continuara y continuara, pero en algún punto termina. Termina o finaliza en alguna parte.

.3456798

Este es un decimal finito. Continúa por un tiempo, pero luego termina.

Un decimal repetitivo también se considera un número racional. Un decimal repetitivo tiene valor que se repiten para siempre.

.676767679...

Este es un decimal repetitivo.

Ah ja! Este es el último tipo de número que es un decimal, pero NO es un número racional. Se le llama número irracional. Un número irracional es un decimal que no termina y que no tiene repetición. Continúa y continúa y continúa. Los números irracionales no se pueden representar como fracciones. El número irracional más famoso es pi $(\pi)$ . Utilizamos 3,14 para representar $\pi$ , pero debes saber que $pi$ es un número irracional que significa que continúa para siempre.

¿Cómo podemos determinar si una fracción o un decimal es racional o irracional?

Si un número se puede escribir como fracción entonces es racional. Si un número no se puede escribir como fracción entonces es irracional. Además de $\pi$ , las raíces de muchos números también son ejemplos de números irracionales. Por ejemplo, $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ son números irracionales.

Escribe cada una de estas definiciones y un ejemplo para cada una en tu cuaderno.

Ahora que tienes algo de práctica en la identificación de números reales, puedes compararlos.

Anteriormente, has utilizado líneas numéricas para comparar números. Pueden ser extremadamente útiles en comparación con los valores de diferentes números, incluidos los números irracionales. La mejor estrategia es convertir cada valor individual en decimal. En el caso de números irracionales, tendrás que redondearlos a un valor razonable. Una vez que los números son decimales, puedes compararlos fácilmente con una línea numérica. Recuerda que cuando encuentras la solución a estos tipos de problemas después de ordenar los valores, debes convertirlos otra vez a su forma original.

Ubica los siguientes valores en una línea numérica: $-3.2, \sqrt{2}, 2.\overline{3}, \sqrt{9}$ .

Primero encuentra los valores decimales de cada número.

El número -3.2 ya es un decimal.

El número $\sqrt{2}$ es un número irracional. Su decimal, redondeado a la centena más cercana es 1.414.

El número $2.\overline{3}$ es un número racional porque es un decimal repetitivo. Es equivalente a la fracción $\frac{7}{3}$ .

El número $\sqrt{9}$ simplifica a 3, ya que $3^2$ es igual a 9.

Luego puede ubicar estos valores en una línea numérica.

Esto puede parecer engañoso, pero si piensas en el valor decimal aproximado de cada número entonces se vuelve más fácil.

Clasifica cada número real.

Ejemplo A

$\sqrt{7}$

Solución: Número irracional

Ejemplo B

$\frac{1}{9}$

Solución: Número irracional

Ejemplo C

$-98$

Solución: Entero y número racional

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Primero, tomemos las medidas del diámetro y resolvamos las medidas de los radios. Los radios son una mitad del diámetro.

$16 \ feet &= diameter\\\8 \ feet &= radius$

Ahora, podemos sustituirlo en la fórmula y resolver. Podemos utilizar 3,14 como una aproximación de $\pi$ para obtener el área aproximada.

$A &= \pi r^2\\\A &= (3.14)(8^2)\\\A &= 200.96 \ sq. feet$

Vocabulario

Números Naturales: El conjunto de números contables positivos.

Enteros: El conjunto de números naturales y sus opuestos.

Números Racionales: Cualquier número que se puede escribir en forma de fracción incluido los decimales finitos y repetitivos.

Números Racionales: Cualquier número que no se puede escribir en forma de fracción. Estos son números que no tienen un punto final o repetición cuando se escriben en forma decimal. Los valores decimales continúan indefinidamente.

Pi: $\pi$ , el radio de un diámetro a la circunferencia de un círculo. Utilizamos 3,14 para aproximar este número irracional.

Números Reales: El conjunto de números racionales e irracionales hacen este conjunto de números reales.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

$\frac{23}{4}$ es racional o irracional?

Solución

Ya que el número se escribe como fracción, sabemos que es un número racional.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Identifying Rational Numbers

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Clasifica cada uno de los siguientes números en reales, naturales, enteros, racionales o irracionales. Algunos números tendrán más de una clasificación.

3.45
-9
1,270
1.232323
$\frac{4}{5}$
-232,323
-98
1.98
$\sqrt{16}$
$\sqrt{2}$

Instrucciones: Responde cada pregunta con verdadero y falso.

Un número irracional también puede ser un número real.
Un número irracional es un número real y un entero.
Un número natural también es un entero.
Un decimal se considera un número real y un número racional.
Un decimal negativo puede seguir considerándose como un entero.
Un número irracional es un decimal finito.
Un radical siempre es un número irracional.
Los números naturales negativos son enteros y números racionales.
Pi es un ejemplo de número irracional.
Un decimal repetitivo también es un número racional.

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