Soluciones Aproximadas de las Ecuaciones que Involucran Números Irracionales

En esta sección del capítulo, aproximarás soluciones de las ecuaciones que involucran números irracionales.

Un lugar común donde encontrarás números irracionelaes es cuando trabajas con círculos y esferas. Ya que pi se relaciona con el círculo, necesitarás trabajar con números irracionales cuando soluciones problemas que involucran círculos. Observa este dilema.

Henrietta sabía que para encontrar la circunferencia de un círculo, ella necesitaba multiplicar el diámetro por $\pi$ . Si el diámetro de círculo de Henrietta es de 6 pulgadas, ¿cuál es la circunferencia aproximada del círculo?

Pon atención y aprenderás cómo resolver este problema exitosamente.

Orientación

Hay muchas maneras de clasificar o nombrar a los números.

Todos los números se consideran números reales.

Cuando cursas grados inferiores trabajas con números naturales. Los números naturales son los números contables. Consideramos los números naturales como un conjunto de números $\{0, 1, 2, 3, 4 \ldots \}$ .

En la secundaria, también aprendes sobre enteros . El conjunto de enteros incluye números naturales, pero también incluye a sus opuestos. Por lo tanto, podemos decir que los positivos naturales y los números negativos son parte de un conjunto de enteros $\{ \ldots -2, -1, 0, 1, 2, 3 \ldots \}$ .

Podemos dejar de clasificar números con números naturales y enteros porque algunas veces podemos medir una parte del entero o un entero en partes. A estos números se les llama números racionales. Un número racional es cualquier número que se puede escribir como una fracción donde el numerador o el denominador no son igual a cero.

Observa estas definiciones y luego escríbelas en tu cuaderno.

Algunas veces, necesitarás encontrar estimaciones de los números irracionales para resolver una ecuación. La forma más fácil para hacerlo es encontrando el valor decimal en tu calculadora que es cercano al número irracional. Recuerda que entre más comas decimales incluyas, más exacta será tu respuesta. Para este propósito, está bien redondear un número irracional a la centena o unidad de mil más cercana. Una vez que encuentras el decimal aproximado, resuelve la ecuación normalmente. Es crucial utilizar las palabras o las señales para demostrar que tu respuesta es aproximada, no exacta. El símbolo $\approx$ significa aproximadamente igual a, y es más apropiado que el signo igual en estas situaciones.

Observa esta situación.

Encuentra la $a$ : $a=4 \pi$ .

Primero, encuentra la aproximación de $\pi$ utilizando tu calculadora. El valor de $\pi$ es 3.1415927... Esto puede redondearse a 3,14 para este próposito.

Para resolver esta ecuación, multiplica 3,14 por 4. Este será el valor aproximado de $a$ .

$3.14 \times 4=12.56$

Por lo que el valor de $a$ es aproximadamente 12.56. $a \approx 12.56$

Evalúa each solution.

Ejemplo A

$a$ : $a=3 \pi$

Solución: $9.42$

Ejemplo B

$x$ : $x=7 \pi$

Solución: $21.98$

Ejemplo C

$y$ : $y=5 \pi$

Solución: $15.7$

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Primero, transforma la información del problema en una ecuación. Establezcamos $C$ igual a la circunferencia.

$C=\pi \times 6$

El valor de $\pi$ es 3.1415927... Redondeado a la centena más cercana, este valor es 3,14. Puedes sustituir este valor otra vez en la ecuación para encontrar el valor de $C$ . Recuerda utilizar los signos iguales aproximado res después de hacer la estimación.

$C&=\pi \times 6\\\C &\approx 3.14 \times 6\\\C &\approx 18.84$

Si el diámetro de círculo de Henrietta es de aproximadamente 18,84 pulgadas.

Vocabulario

Números Naturales: El conjunto de números contables positivos.

Enteros: El conjunto de números naturales y sus opuestos.

Números Irracionales: Cualquier número que se puede escribir en forma de fracción incluido los decimales finitos y repetitivos.

Números Racionales: Estos son números que no tienen un punto final o repetición cuando se escriben en forma decimal. Los valores decimales continúan indefinidamente. Estos números no entran en el conjunto de números racionales.

Pi: $\pi$ , el radio de un diámetro de la circunferencia de un círculo. Utilizamos 3,14 para representar este número irracional.

Números Reales: El conjunto de números racionales e irracionales hacen este conjunto de números reales.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

Encuentra la $y$ : $12-\sqrt{7}=y$ .

Solución

Primero, encuentra la aproximación de $\sqrt{7}$ utilizando tu calculadora. El valor de $\sqrt{7}$ es 2.64575... Esto puede redondearse a 2,65 para este propósito.

Para resolver esta ecuación, multiplica 2,65 por 12. Este será el valor aproximado de $y$

$12-2.65=9.35$

Por lo que el valor de $y$ es aproximadamente 9.35. $y \approx 9.35$

Revisión en Video

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Práctica

Instrucciones: Aproxima la solución de cada ecuación dados los números irracionales.

$a$ : $a=3 \pi$
$x$ : $x=8 \pi$
$b$ : $b=9 \pi$
$c$ : $c=12 \pi$
$a$ : $a=2 \pi$
$y$ : $y=6 \pi$
$b$ : $b=7 \pi$
$d$ : $d=12 \pi-6$
$a$ : $a=14 \pi-9$
$x$ : $x=11 \pi-5$
$\sqrt{2}+5=x$
$8 = \sqrt{2} + x$
$t=\pi-5.3$
$\sqrt{h}=\sqrt{6}-\frac{3}{4}$
15. La Sra. DeFazio escribió la siguiente ecuación en la pizarra. $w=\sqrt{11}-2^2$ ¿Cuál es el valor de $w$ en la ecuación de la Sra. DeFazio?

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