Derivación y Uso del Teorema de Pitágoras

En esta sección del capítulo, derivarás y usarás el Teorema de Pitágoras.

¿Alguna vez has pintado algo que sea más alto que tú? Observa este dilema.

Mientras la clase del Sr. Kennedy trabajaba en el jardín, los estudiantes de la clase del Sr. Richardson decidieron pintar el cobertizo de equipamiento donde se guarda todo el equipo deportivo.

“Esa cosa no se ha pintado en décadas”, dijo Karen en la primera reunión.

“Estoy de acuerdo, se ve horrible”, agregó Cameron.

“Bueno, no sé sobre las décadas, pero sí necesita pintarse y eso es lo que haremos. Ahora, para trabajar en este proyecto, necesitaremos escoger una escalera para escalar lo suficientemente alto. ” ¿Cómo resolvemos esto?", preguntó el Sr. Richardson.

La clase estaba silenciosa.

“Tengo una idea”, dijo Vera sonriendo, “tiene que ver con los triángulos. Necesitamos descubrir la altura de la escalera, comparado con la altura del edificio.”

“Sí, pero no olvidemos que la escalera debe alcanzar el edificio, no al revés. Por lo que también tenemos que considerar esa medida”, dijo Aran.

“¿Qué podemos utilizar para resolverlos?”, Preguntó Karen.

Una vez más, el grupo guardó silencio.

Se necesita una fórmula matemática que involucra el teorema de Pitágoras para resolver este problema. Los estudiantes tienen el trabajo listo. Tú también. Pon atención a esta sección para que puedas explicar la fórmula que ellos necesitarán y por qué lo harán.

Orientación

Probablemente has estudiado muchos tipos diferentes de triángulos.

Los triángulos agudos tiene ángulos que miden menos de $90^{\circ}$ .

Los triángulos obtusos tiene un ángulo que mide entre $90^{\circ}$ y $180^{\circ}$ .

Los triángulos rectángulos tienen un ángulo que mide exactamente $90^{\circ}$ . En otras palabras, tiene un ángulo rectángulo.

Esta sección se enfoca completamente en las propiedades específicas de los triángulos rectángulos. Todas las ecuaciones y estrategias que estás por aprender son útiles, pero solo son aplicables a los triángulos rectángulos; no funcionan con triángulos agudos u obtusos.

Para comenzar, miremos las partes de un triángulo rectángulo.

Los catetos son los dos lados del triángulos que se etiquetan como $a$ y $b$ . La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y se etiqueta como $c$ . Hay una relación especial entre los catetos de un triángulo rectángulo y la hipotenusa del mismo.

Una de las características especiales de los triángulos rectángulos se describe con el Teorema de Pitágoras , aunque este se desarrolló alrededor del año 500 A.C. Establece que el valor cuadrado de una hipotenusa igualará la suma de los cuadrados de ambos catetos. En el triángulo de arriba, la suma de los cuadrados de los catetos es $a^2 + b^2$ y el cuadrado de la hipotenusa es $c^2$ . Por lo que, el teorema de Pitágoras se representa comúnmente como $a^2 + b^2 = c^2$ donde $a$ y $b$ son los catetos del triángulo rectángulo y $c$ es la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se conoce como $a^2 + b^2 = c^2$ .

Te estarás preguntando a ti mismo cuál es el caso. Bueno, podemos pensar en el Teorema de Pitágoras en términos de un cuadrado. Sabemos que hay una relación entre un cuadrado y un triángulo rectángulo. Podemos dividir un cuadrado con una diagonal y ya que un cuadrado tiene cuatro ángulos rectángulos, la diagonal dividirá el cuadrado en dos triángulos rectángulos. Ya que un triángulo rectángulo proviene de un cuadrado, los lados también se relacionarán con el cuadrado. De aquí es de donde proviene el Teorema de Pitágoras.

Miremos uno.

Utiliza las medidas del triángulo de abajo para probar el teorema de Pitágoras.

Los catetos del triángulo de arriba son de 3 pulgadas y 4 pulgadas. La hipotenusa es de 5 pulgadas. Por lo que, $a = 3$ , $b = 4$ , y $c = 5$ . Podemos probar la fórmula para ver si es verdadera.

$a^2 + b^2 &= c^2\\\3^2 + 4^2 &= 5^2\\\(3 \times 3) + (4 \times 4) &= (5 \times 5)\\\9 + 16 &= 25\\\25 &= 25$

Ya que ambos lados de la ecuación son iguales a 25, la ecuación es verdadera. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras funcionó en este triángulo rectángulo.

Esta combinación de números (3, 4, 5) se le conoce como el triple Pitagórico . En otras palabras, estos tres números trabajan juntos para hacer que el Teorema de Pitágoras sea verdadero.

Ahora que has aprendido cómo derivar y ejecutar el Teorema de Pitágoras, hay muchas formas diferentes de aplicarla. Cada vez que tienes dos de los tres lados en un triángulo rectángulo, puedes encontrar el terceto utilizando la ecuación $a^2 + b^2 = c^2$ , donde $a$ y $b$ son las longitudes de los catetos del triángulo y $c$ es la longitud de la hipotenusa.

Cuando se aplica el Teorema de Pitágoras, asegúrate de utilizar los exponentes y raíces cuadradas de manera exacta.

¿Cuál es la longitud de $b$ en el triángulo de abajo?

Utiliza el Teorema de Pitágoras para identificar la longitud del cateto faltante, $b$ . Asegúrate de simplificar los exponentes y las raíces cuidadosamente. También recuerda utilizar operaciones inversas para resolver las ecuaciones de manera apropiada.

$a^2 + b^2 = c^2,$ donde $a = 6$ y $c = 10$

$6^2 + b^2 &= 10^2\\\36 + b^2 &= 100\\\36 + b^2 - 36 &= 100-36\\\b^2 &= 64\\\\sqrt{b^2} &= \sqrt{64}\\\b &= 8$

La longitud del lado faltante es de 8 pulgadas.

Ya sabes sobre el triple pitagórico 3:4:5. Fíjate que este triángulo es proporcional a la razón. Si divides en dos las longitudes del triángulo del ejemplo, encontrarás las mismas proporciones, 3:4:5. Cuando sea que encuentres un triple Pitagórico, puedes aplicar esas razones con factores mayores también. Por lo que 6, 8, 10 es otro triple Pitagórico.

Fíjate que entre más uses el Teorema de Pitágoras, podrás resolver la longitud faltante de cualquiera de los tres lados del triángulo rectángulo.

Encuentra la longitud del lado faltante para cada triángulo rectángulo.

Ejemplo A

$9,12$

Solución: $15$

Ejemplo B

$15,20,$

Solución: $25$

Ejemplo C

$21,28,$

Solución: $35$

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Los estudiantes necesitarán utilizar el Teorema de Pitágoras para resolver este problema.

$a^2 + b^2 = c^2$

¿Por qué? Necesitarán utilizarlo porque la escalera puesta en el cobertizo forma un triángulo rectángulo con el suelo. El cobertizo y la distancia en que está ubicada la escalera desde el cobertizo forma los lados $a$ y $b$ del triángulo rectángulo. La escalera es el lado $c$ del triángulo.

Mira el diagrama de abajo.

Vocabulario

Triángulo rectángulo: Un ángulo que es igual a $90^{\circ}$ .

Catetos: Los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo.

Hipotenusa: El lado más largo de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras: $a^2 + b^2 = c^2$

Triple Pitagórico: Valores que funcionan perfecto en el Teorema de Pitágoras. La razón siempre se simplifica a 3:4:5.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

Encuentra la longitud del lado faltante en el triángulo de abajo.

Solución

Utiliza el Teorema de Pitágoras para identificar la longitud de la hipotenusa faltante. Asegúrate de simplificar los exponentes y las raíces cuidadosamente. También recuerda utilizar operaciones inversas para resolver las ecuaciones de manera apropiada.

$a^2 + b^2 = c^2,$ donde $a = 5$ y $b = 12$

$5^2 + 12^2 &= c^2\\\25 + 144 &= c^2\\\169 &= c^2\\\\sqrt{169} &= \sqrt{c^2}\\\13 &= c$

La longitud del lado faltante es de 13 centímetros.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Introduction to the Pythagorean Theorem

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar las dimensiones faltantes del triángulo rectángulo.

$a=3, \ b=4, \ c=?$
$a=6, \ b=8, \ c=?$
$a=9, \ b=12, \ c= ?$
$a=27, \ b=36, \ c= ?$
$a=15, \ b=20, \ c= ?$
$a=18, \ b=24, \ c= ?$
$a= ?, \ b=16, \ c= 20$
$a= ?, \ b=28, \ c=35$
$a=30, \ b= ?, \ c=50$
$a=33, \ b= ?, \ c=55$
$a=1.5, \ b= ?, \ c=2.5$
$a=36, \ b= ?, \ c=60$

Instrucciones: Responde las siguientes preguntas con Verdadero y Falso.

El Teorema de Pitágoras funciona con cualquier triángulo.
El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa.
Un triple Pitagórico solo se puede encontrar en un triángulo rectángulo.

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