Derivación y Uso del Inverso del Teorema de Pitágoras

En esta sección del capítulo, derivarás y utilizarás el Inverso del Teorema de Pitágoras.

¿Sabes cómo probar que un triángulo es un triángulo rectángulo? Observa este dilema.

Un triángulo tiene lados con longitudes de 6,6; 8,8; y 11. ¿Es este un triángulo rectángulo?

Para resolver esto, necesitarás saber cómo utilizar el Inverso del Teorema de Pitágoras. Pon atención y sabrás cómo lograr esta tarea al final de esta Sección.

Orientación

¿Recuerdas el Teorema de Pitágoras? Bueno, primero pensemos en un triángulo rectángulo y sus propiedades.

Los catetos son los dos lados del triángulo que se etiquetan como $a$ y $b$ . La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y se etiqueta como $c$ . Hay una relación especial entre los catetos de un triángulo rectángulo y la hipotenusa del mismo.

Una de las características especiales de los triángulos rectángulos se describe por el Teorema de Pitágoras , aunque se desarrolló alrededor del año 500 A.C. Establece que el valor cuadrado de una hipotenusa igualará la suma de los cuadrados de ambas catetos. En el triángulo de arriba, la suma de los cuadrados de los catetos es $a^2 + b^2$ y el cuadrado de la hipotenusa es $c^2$ . Por lo que, el teorema de Pitágoras se representa comúnmente como $a^2 + b^2 = c^2$ donde $a$ y $b$ son los catetos del triángulo rectángulo y $c$ es la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se conoce como $a^2 + b^2 = c^2$ .

Te estarás preguntando a ti mismo cuál es el caso. Bueno, podemos pensar en el Teorema de Pitágoras en términos de un cuadrado. Sabemos que hay una relación entre un cuadrado y un triángulo rectángulo. Podemos dividir un cuadrado con una diagonal y ya que un cuadrado tiene cuatro ángulos rectángulos, la diagonal dividirá el cuadrado en dos triángulos rectángulos. Ya que un triángulo rectángulo proviene de un cuadrado, los lados también se relacionarán con el cuadrado. De aquí es de donde proviene el Teorema de Pitágoras.

Si utilizas la lógica cuando piensas en el teorema de Pitágoras, hay muchas maneras distintas que pueden resultar útiles. Siempre fíjate cómo tu conocimiento se puede aplicar para ayudarte en un problema difícil.

Observa esto.

Clasifica el triángulo de abajo como agudo, rectángulo u obtuso.

El triángulo está dibujado específicamente para no desproporcionarse. Por lo tanto, no puedes decidir si un triángulo es agudo, rectángulo u obtuso solo con mirarlo. Tómate un momento para analizar las longitudes del lado y mira cómo se relacionan. Dos de los lados (15 y 17) son relativamente cercanos en longitud. El tercer lado (8) es casi la mitad de la longitud de los dos lados más largos.

Para ver si el triángulo es rectángulo, intenta juntar los valores en el teorema de Pitágoras para ver si lo hace verdadero. La hipotenusa siempre es el lado más largo, por lo que 17 debería ser igual a $c$ . Los otros dos lados pueden representarse como $a$ y $b$ .

$a^2 + b^2 &= c^2\\\8^2+15^2&=17^2\\\(8 \times 8) + (15 \times 15) &= (17 \times 17)\\\64 + 225 &= 289\\\289 &= 289$

Ya que ambos lados de la ecuación son iguales a 25, la ecuación es verdadera.

Por lo tanto, el triángulo descrito en el problema es un triángulo rectángulo. Podemos utilizar esta lógica para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo o no.

Utilizar esta lógica se conoce como la utilización del inverso del teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras establece un triángulo rectángulo como, $a^2 + b^2 = c^2$ .

El inverso del teorema de Pitágoras establece que si $a^2 + b^2 = c^2$ , el triángulo es un triángulo rectángulo.

Podemos utilizar el inverso para comprobar si el triángulo es o no un triángulo rectángulo.

Recuerda, si el teorema de Pitágoras funciona con los valores de un triángulo, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Si no, entonces el triángulo no es rectángulo.

Identifica si el triángulo de abajo es un triángulo rectángulo.

El triángulo está dibujado específicamente para no desproporcionarse. Por lo tanto, no puedes decidir si un triángulo es agudo, rectángulo u obtuso solo con mirarlo. Tómate un momento para analizar las longitudes del lado y mira cómo se relacionan. Dos de los lados (5 y 8) son relativamente cercanos en longitud. El tercer lado (12) es más largo.

Para ver si el triángulo es rectángulo, intenta juntar los valores en el teorema de Pitágoras para ver si lo hace verdadero. La hipotenusa siempre es el lado más largo, por lo que 12 debería ser igual a $c$ . Los otros dos valores pueden representarse como $a$ y $b$ .

$a^2 + b^2 &= c^2\\\5^2 + 8^2 &= 12^2\\\(5 \times 5) + (8 \times 8) &= (12 \times 12)\\\25 + 64 &= 144\\\89 &\ne 144$

Al final de esta solución, puedes ver que el resultado del lado izquierdo fue 89, y el resultado del lado derecho fue 144. Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los catetos no es igual al cuadrado de la hipotenusa. Entonces, el triángulo no es rectángulo.

Recuerda utilizar el teorema de Pitágoras cuando sea que quieras comprobar que un triángulo es o no un triángulo rectángulo.

Ejemplo A

¿Este triángulo es un triángulo rectángulo, a = 7, b = 8, c = 15?

Solución: No.

Ejemplo B

¿Este triángulo es un triángulo rectángulo, a = 9, b = 12, c = 18?

Solución: No.

Ejemplo C

¿Este triángulo es un triángulo rectángulo, a = 15, b = 20, c = 25?

Solución: Si.

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Si un triángulo tiene lados longitudinales de 6,6; 8,8; y 11, podemos sustituir estos valores en el teorema de Pitágoras y al “trabajar al revés”, podemos comprobar si el triángulo es o no un triángulo rectángulo.

$a^2 + b^2 = c^2$

$6.6^2 + 8.8^2 = 11^2$

$43.56 + 77.44 = 121$

$121 = 121$

Ya que ambos lados de la ecuación son iguales, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Vocabulario

Triángulo rectángulo: Un ángulo que es igual a $90^{\circ}$ .

Catetos: Los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo.

Hipotenusa: El lado más largo de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras: $a^2 + b^2 = c^2$

Triple Pitagórico: Valores que funcionan perfecto en el Teorema de Pitágoras. La razón siempre se simplifica a 3:4:5.

Inverso del teorema de Pitágoras: Si $a^2 + b^2 = c^2$ , entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

¿Es este triángulo un triángulo rectángulo si tiene lados longitudinales de 7.5, 10, y 12.5?

Solución

Para resolver esto, podemos utilizar el inverso del teorema de Pitágoras. Este establece que si las longitudes de los lados forman un enunciado verdadero cuando se sustituyen en el teorema de Pitágoras, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Para resolver esto, sustituimos las longitudes de estos lados en el teorema de Pitágoras. Si el valor del lado izquierdo de la ecuación es igual al valor del lado derecho de la ecuación, entonces nuestro triángulo es un triángulo rectángulo.

$a^2 + b^2 &= c^2 \\\7.5^2 + 10^2 &= 12.5^2 \\\56.25 + 100 &= 156.25 \\\156.25 &= 156.25$

Nuestro triángulo es un triángulo rectángulo.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

The Pythagorean Theorem and its Converse

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Piensa en lo que has aprendido sobre el teorema de Pitágoras y responde verdadero o falso en las siguientes preguntas.

El Teorema de Pitágoras funcionará con un triángulo agudo con todos los ángulos de $60^{\circ}$ .
El Teorema de Pitágoras funcionará con un triángulo rectángulo.
El Teorema de Pitágoras solo funcionará si el triángulo es rectángulo.
Los catetos de un triángulo rectángulo se consideran los lados más cortos del triángulo rectángulo.
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
El inverso del teorema de Pitágoras se utiliza para encontrar las medidas del ángulo de un triángulo obtuso.
Un triple Pitagórico ocurre cuando multiplicas todas las medidas de un ángulo por tres.
Puedes utilizar el teorema de Pitágoras para resolver si las longitudes de los lados de un triángulo formas un triángulo rectángulo o no.

Instrucciones: Identifica si cada uno de los siguientes valores son o no un Triple Pitagórico. Escribe sí o no para tus respuestas.

4, 5, 6
6, 8, 10
5, 6, 9
9, 12, 15
30, 40, 55
21, 28, 35
12, 16, 20

Prev Next