Uso del Teorema de Pitágoras

En esta sección del capítulo, utilizarás el Teorema de Pitágoras con medidas indirectas.

¿Alguna vez has utilizado la medida indirecta? Observa este dilema.

Los estudiantes de la clase del Sr. Richardson necesitan utilizar el Teorema de Pitágoras para medir y así poder pintar. Ahora, les queda la pregunta de qué escalera utilizar. El Sr. Richardson les ha dicho que la altura del cobertizo es de 23 pies.

Tienen dos escaleras diferentes para escoger. Una escalera es de 20 pies de largo y la otra es de 25 pies de largo.

“Si escogimos la escalera de 20 pies y está a aproximadamente 4 pies del cobertizo, ¿cuán alto llegaría?”, pregunto Aran sacando un papel y un lápiz.

“No lo sé. También debemos pensar en la escalera de 25 pies. Si también está a 4 pies del cobertizo ¿qué altura alcanzaría?”, dijo Amy. “Necesitamos utilizar el Teorema de Pitágoras en esto”, dijo Aran.

Ambos estudiantes sacaron un papel y un lápiz y comenzaron a trabajar.

Saber utilizar el teorema de Pitágoras en problemas cotidianos es importante porque tiene muchos usos. Toma atención a esta Sección y serás capaz de resolver qué altura alcanzará cada escalera al final.

Orientación

¿Recuerdas el Teorema de Pitágoras? Observa.

Para comenzar, miremos las partes de un triángulo rectángulo.

Los catetos son los dos lados del triángulo que se etiquetan como $a$ y $b$ . La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y se etiqueta como $c$ . Hay una relación especial entre los catetos de un triángulo rectángulo y la hipotenusa del mismo.

Una de las características especiales de los triángulos rectángulos se describe por el Teorema de Pitágoras , aunque se desarrolló alrededor del año 500 A.C. Establece que el valor cuadrado de una hipotenusa igualará la suma de los cuadrados de ambas catetos. En el triángulo de arriba, la suma de los cuadrados de los catetos es $a^2 + b^2$ y el cuadrado de la hipotenusa es $c^2$ . Por lo que, el teorema de Pitágoras se representa comúnmente como $a^2 + b^2 = c^2$ donde $a$ y $b$ son los catetos del triángulo rectángulo y $c$ es la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se conoce como $a^2 + b^2 = c^2$ .

Ahora que estás familiarizado con el Teorema de Pitágoras, hay muchas formas diferentes en que lo puedes utilizar. Por lo general, las preguntas matemáticas requieren de la utilización del teorema incluso si no se ha mencionado específicamente en el texto. Cuando sea que mires a una forma, piensa si un triángulo rectángulo está presente o no. Si hay un triángulo rectángulo en la forma, necesitarás utilizar el Teorema de Pitágoras.

Escribe este enunciado en tu cuaderno.

Hay muchas situaciones en que las que necesitarás utilizar el Teorema de Pitágoras en objetos que ni siquiera parecen (al principio) triángulos rectángulos. Por lo general, encontrarás que las medidas involucran una figura que parece un triángulo rectángulo. Puedes utilizar el Teorema de Pitágoras en estas situaciones. A esta habilidad se le conoce como medida indirecta , y es importante para utilizarlo en muchas situaciones.

Las medidas indirectas te permiten resolver longitudes o distancias que serían difíciles al utilizar el conocimiento lógico o matemático.

La situación de abajo requiere de medidas indirectas para resolver el problema.

El diagrama de abajo muestra la distancia en las carreteras para llegar desde el punto $A$ al punto $B$ . Sin embargo, si vas en bicicleta, puedes viajar en línea recta entre esos puntos. ¿Cuál es la distancia posible más corta entre los puntos $A$ y $B$ ?

Si miras la imagen de abajo verás un rectángulo, no un triángulo. Por lo tanto, al principio, es improbable que notes que debes utilizar el Teorema de Pitágoras para resolver el problema. La pregunta pide la distancia más corta entre los puntos $A$ y $B$ . Sabes por tus estudios de geometría que la distancia más corta entre dos puntos siempre es en línea recta, por lo que la distancia será diagonal en el rectángulo.

Ahora que la diagonal está dibujada, el triángulo se nota más. De hecho, este triángulo es un triángulo 3:4:5, por lo que puedes ver, de manera rápida, que la hipotenusa será de 5 millas. Utiliza el teorema de Pitágoras para confirmar tu respuesta.

$a^2 + b^2 & = c^2\\\3^2 + 4^2 & = c^2\\\(3 \times 3) + (4 \times 4) & = c^2\\\9 + 16 & = c^2\\\25 & = c^2\\\\sqrt{25} & = \sqrt{c^2}\\\5 & = c$

La respuesta correcta es cinco millas. Si vas en bicicleta entre los puntos $A$ y $B$ en el mapa, y puedes ir en línea recta, la distancia será de 5 millas.

Trabajar con el Teorema de Pitágoras de esta forma requiere que seas un detective de cierta forma. Cuando ves una figura, puedes pensar en cuáles son las características de la figura. Esto te puede ayudar. Una gran pista en el último ejemplo es que un rectángulo tiene ángulos de $90^\circ$ . Cuando ves una figura con ángulo de $90^\circ$ , sabrás que puedes formar triángulos rectángulos en esa figura.

Encuentra cada medida faltante con la utilización del Teorema de Pitágoras.

Ejemplo A

$1.5, 2, ?$

Solución: $2.5$

Ejemplo B

$12, ?, 20$

Solución: $16$

Ejemplo C

$18,24,?$

Solución: $30$

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Primero, comencemos con la escalera que mide 20 pies de largo. Utilizamos la longitud de la escalera como $c$ en el Teorema de Pitágoras. Es el lado más largo del triángulo. La altura de la escalera que alcanzará el cobertizo es lo que estamos buscando, la llamaremos $a$ y esa será nuestra incógnita. Sabemos que la escalera está a cuatro pies del cobertizo, por lo que eso es nuestro valor $b$ .

$a^2+b^2&=c^2 \\\a^2+4^2 & =20^2 \\\a^2+16&=400 \\\a^2&=400-16=384 \\\a&=19.59 \ feet$

Ahora, podemos mirar a la escalera que tiene 25 pies de largo.

$a^2+b^2&=c^2 \\\a^2+4^2&=25^2 \\\a^2+16&=625 \\\a^2&=625-16 \\\a&=24.5 \ feet$

Si el cobertizo es de 23 pies de altura, entonces los estudiantes deberían utilizar la escalera que tiene 25 pies de largo y así poder pintar todo desde la cima del cobertizo.

Vocabulario

Medida Indirecta: Utilización de propiedades geométricas para resolver distancias y longitudes que, de otra forma, serían desafiantes.

Teorema de Pitágoras: La fórmula para resolver la longitud de los lados de un triángulo rectángulo - $a^2+b^2=c^2$

Triple Pitagórico: Diferentes formas de la razón 3:4:5 que representa la longitud del lado de un triángulo rectángulo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

El patio de Karen tiene una forma cuadrada con ángulo de 90 grados en cada esquina. Ella hizo una ruta diagonal desde un extremo del patio al otro extremo. Si la diagonal es de 35 pies de largo, ¿cuán largo es cada lado del patio?

Solución

Para resolver esto, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras. Sabemos que la diagonal es de 35 pies de largo. Por lo tanto, el lado a y b necesitan corresponderse con los valores que se necesitan para formar el Triple Pitagórico.

Si utilizamos el triángulo 3:4:5 como nuestro modelo, sabemos que la hipotenusa es de 35 pies de largo.

$5 \times 7 = 35$

Si multiplicamos los otros dos valores del modelo por 7, deberíamos obtener las longitudes correctas.

$3 \times 7 = 21$

El lado a es de 21 pies de largo.

$4 \times 7 = 28$

El lado b es de 28 pies de largo.

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Pythagorean Theorem II

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Identifica si cada conjunto de medidas indica o no un Triple Pitagórico.

3, 4, 5
6, 8, 12
6, 8, 10
15, 20, 25
5, 9, 14
9, 12, 15
18, 24, 30
1.5, 2, 4
1.5, 2, 2.5
21, 28, 35

Instrucciones: Encuentra la longitud de un lado faltante de cada triángulo rectángulo con la utilización del Teorema de Pitágoras. Puedes redondear a la decena más próxima cuando sea necesario.

$a = 6, b = 10, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 5, b = 7, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 7, b = 9, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 6, b = 8, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 9, b = 12, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

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