El Teorema de Pitágoras, Perímetro y Área

En esta sección del capítulo, utilizarás el Teorema de Pitágoras para encontrar el perímetro y el área.

¿Alguna vez has intentado medir una cartulina? Observa este dilema.

Lena tenía un trozo de cartulina que medía 12 pulgadas por 16 pulgadas. Ella corta la cartulina en la mitad de forma diagonal y quiere saber el perímetro de un trozo. ¿Cuál es el perímetro de la mitad de la cartulina de Lena?

Pon atención y sabrás cómo lograr esta tarea al final de esta Sección.

Orientación

¿Recuerdas cómo identificar el perímetro y el área? ¿Sabes cómo utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular el perímetro y el área de una figura?.

Observa.

El perímetro de un objeto es la distancia del rededor externo de este.

Por lo tanto, para un triángulo, sería la suma de los dos catetos y la hipotenusa

El área de un objeto es la cantidad de espacio que ocupa, o cuántos cuadrados ocuparía en una cuadrícula.

La fórmula del área de un triángulo es $A = \frac{1}{2} bh$ donde $b$ es la longitud de la base del triángulo y $h$ es la altura. En un triángulo rectángulo, el producto $bh$ siempre se puede encontrar con la multiplicación de sus dos catetos juntas.

Algunas veces, no sabrás todas las dimensiones de un triángulo rectángulo. Para encontrar el perímetro de un triángulo rectángulo, debes conocer los tres lados. Para encontrar el área de un triángulo rectángulo, debes conocer la base y la altura. Si no conoces todas las dimensiones que necesitas para resolver un problema, puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para ayudarte con la resolución de problemas.

¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo de abajo?

Lo primero que hay que notar es que hay un cateto faltante en el triángulo. Antes de hacer algo, debemos resolver la longitud del lado faltante. Este es un triángulo rectángulo, por lo que el primer paso para completar este problema es utilizar el Teorema de Pitágoras para identificar la longitud del cateto faltante.

$a^2 + b^2 = c^2$ , donde $a = 5$ y $c = 13$

$5^2 + b^2 & = 13^2\\\25 + b^2 & = 169\\\25 + b^2 - 25 & = 169 - 25\\\b^2 & = 144\\\\sqrt{b^2} & = \sqrt{144}\\\b & = 12$

La longitud del lado faltante es de 12 pulgadas.

Ahora, para encontrar el perímetro $(P)$ del triángulo, suma las longitudes de los tres lados.

$P & = leg + leg + hypotenuse\\\P & = 5 + 12 +13\\\P & = 30$

El perímetro del triángulo es de 30 pulgadas.

Para encontrar el área, utiliza la fórmula del área que mostramos arriba. Recuerda que en este triángulo, $b=5$ y $h=12$ . La altura es el otro cateto porque es un triángulo rectángulo.

$A & = \frac{1}{2}bh\\\A & = \frac{1}{2} (5)(12)\\\A & =\frac{1}{2} (60)\\\A & = 30$

El área del triángulo es de 30 pulgadas cuadradas. Recuerda utilizar las unidades cuadradas cuando mides un área.

Este triángulo es único porque el valor numérico para el perímetro y el área es el mismo. Sin embargo, recuerda que los valores verdaderos son diferentes porque las unidades son diferentes.

Ejemplo A

¿Cuál es el perímetro de un triángulo con longitudes en los lados de 6, 8 y 10?

Solución: 24

Ejemplo B

Si las longitudes de los catetos de un triángulo son 12 y 16, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

Solución: 20

Ejemplo C

¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo del Ejemplo B?

Solución: Área = 96, Perímetro = 48

Ahora, miremos otra vez el dilema que estaba al principio de esta Sección.

Para encontrar el perímetro, debes encontrar la longitud del lado faltante (la hipotenusa) Puedes reconocer 12 y 16 como múltiplos de 3 y 4 (mayor por un factor de 4) y concluir que la hipotenusa será cuatro veces cinco, o 20. Sin embargo, puedes resolverlo utilizando el Teorema de Pitágoras incluso si no has encontrado el triple Pitagórico.

$a^2 + b^2 = c^2$ , donde $a = 12$ y $b = 16$

$12^2 + 16^2 & = c^2\\\144 + 256 & = c^2\\\400 & = c^2\\\\sqrt{400} & = \sqrt{c^2}\\\20 & = c$

El lado faltante es de 20 pulgadas.

¡Pero no termina aquí! Debes encontrar el perímetro del triángulo, por lo que suma los tres lados juntos.

$P & = leg + leg + hypotenuse\\\P & = 12 + 16 + 20\\\P & = 48$

El perímetro de la mitad de la cartulina de Lena es de 48 pulgadas.

Vocabulario

Medida Indirecta: Utilización de propiedades geométricas para resolver distancias y longitudes que, de otra forma, serían desafiantes.

Perímetro: La distancia alrededor de una figura.

Área: La medida del espacio dentro de una figura.

Teorema de Pitágoras: La fórmula para resolver la longitud de los lados de un triángulo rectángulo - $a^2+b^2=c^2$

Triple Pitagórico: Diferentes formas de la razón 3:4:5 que representa la longitud del lado de un triángulo rectángulo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

¿Cuál es el área de una triángulo rectángulo que tiene un cateto de 6 yardas y una hipotenusa de 10 yardas?

Solución

Para resolver esto, primero debemos utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto faltante.

$a^2 + b^2 = c^2$

Ahora, sustituye en los valores dados y resuelve.

$6^2 + b^2 &= 10^2 \\\36 + b^2 &= 100 \\\b^2 &= 100 - 36 \\\b^2 &= 64$

Finalmente, sacamos la raíz cuadrada de 64. Esta es nuestra respuesta.

$b = 8$

Ahora podemos encontrar el área del triángulo.

$A &= \frac{1}{2}bh \\\A &= \frac{1}{2}(8)(6) \\\A &= \frac{1}{2}48 \\\A &= 24$

El área del triángulo es de 24 unidades.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Pythagorean Theorem III

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Encuentra la longitud de un lado faltante de cada triángulo rectángulo con la utilización del Teorema de Pitágoras. Puedes redondear a la decena más próxima cuando sea necesario.

$a = 10, b = 14, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 6, b = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}, c = 10$
$a = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}, b = 12, c = 15$
$a = 15, b = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}, c = 25$
$a = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}, b = 32, c = 40$
$a = 30, b = 40, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 1.5, b = 2, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 4.5, b = 6, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 6.6, b = 8.8, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 36, b = 48, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$a = 27, b = 36, c = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Instrucciones: Responde cada pregunta.

Una televisión se mide por la longitud de la diagonal de una esquina a otra. Si la pantalla es de 8 pulgadas por 15 pulgadas, ¿cuál es la longitud de la diagonal?
Los números 15, 20 y 25 ¿se componen de un triple Pitagórico?
¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 30 pulgadas y un cateto de 18 pulgadas?
¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 30 pulgadas y un cateto de 18 pulgadas?

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