Identificación y Uso de la Fórmula de la Distancia

En esta sección del capítulo, identificarás y usarás la fórmula de la distancia.

¿Alguna vez has diseñado un huerto? Observa este dilema.

El octavo grado está realizando un proyecto de servicio a la comunidad y cada clase ha seleccionado sus proyectos. La clase del profesor Henry ha decidido hacer un huerto. Espera que si llegan a tener éxito, los de séptimo grado los ayudarán y donarán un porcentaje de la comida que cultiven a la caridad.

“Este es mi plan. Podemos calcular la distancia desde la fuente de agua hasta el centro del huerto. Luego, si podemos comprar una manguera del largo correcto y con un aspersor, deberíamos ser capaces de regar el huerto”, le dijo Belinda a la clase.

“Es una buena idea. ¿Por qué lo pusiste en una cuadrícula?”, preguntó Carmen.

“Porque de esa forma podemos calcular la distancia exacta entre los dos puntos y cada cuadrado en la cuadrícula representa un pie. Lo medí ayer. Pero la distancia exacta desde el agua al centro fue un poco difícil de calcular usando una huincha de medir. Es por eso que lo dibujé en la cuadrícula. Ahora podemos usar la fórmula de la distancia”, explicó Belinda.

La clase se veía confundida.

¿Estás confundido? La fórmula de la distancia es una buena forma de calcular las distancias exactas usando cuadrículas de coordinación y coordinadas. Usa esta Sección para aprender todo sobre ella y al final podrás calcular la distancia desde la fuente de agua al centro del jardín.

Orientación

Cuando trabajas con puntos y líneas en cuadrículas coordinadas, hay muchas formas diferentes para resolver los problemas. Puedes usar tu conocimiento de álgebra, números racionales y el Teorema de Pitágoras como ayuda. Puedes aplicar la fórmula de la distancia y entender la relación entre los puntos dentro de una cuadrícula coordinada.

Puedes usar el Teorema de Pitágoras para entender los diferentes tipos de triángulos rectángulos, encontrar longitudes que falten e identificar los triples Pitagóricas. Ahora, aplicarás el Teorema de Pitágoras a una cuadrícula coordinada y aprenderás a cómo usarlo para encontrar distancias entre puntos.

Veamos cómo podemos hacer esto.

Mira los puntos en la siguiente cuadrícula. Luego, encuentra la distancia de la línea destacada.

La pregunta te pide identificar la longitud de la línea. ¿Cómo podemos hacerlo de una forma precisa? Podemos considerar esta línea como la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Dibuja una línea vertical en $x=1$ y una línea horizontal en $y=2$ y encuentra el punto de intersección. Este punto representa el tercer vértice en el triángulo rectángulo.

Puedes contar fácilmente la longitud de los catetos de este triángulo en esta cuadrícula. El cateto vertical se extiende desde (1,2) hasta (1,5), por lo tanto, su largo es de 3 unidades. El cateto horizontal se extiende desde (1,2) hasta (5,2), por lo tanto, su largo es de 4 unidades. Usa el Teorema de Pitágoras con estos valores para encontrar la longitud de la hipotenusa.

$a^2+b^2 &= c^2\\\3^2+4^2 &= c^2\\\(3 \times 3)+(4 \times 4) &= c^2\\\9+16 &= c^2\\\25 &= c^2\\\\sqrt{25} &= \sqrt{c^2}\\\5 &= c$

La hipotenusa tiene un largo de 5 unidades.

Los matemáticos han simplificado este proceso y han creado una fórmula que usa estos pasos para encontrar la distancia. Esta fórmula se llama fórmula de la distancia . Si usas la fórmula de la distancia, no tendrás que dibujar líneas extras.

Esta es la fórmula de la distancia.

$D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Ahora, apliquemos la fórmula de la distancia.

Usa la fórmula de la distancia $D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ para encontrar la distancia entre los puntos (1,5) y (5,2) en una cuadrícula de coordinación.

Ya sabes, a partir del primer ejemplo, que la distancia será 5 unidades, pero puedes practicar usando la fórmula de la distancia para asegurarte de que funciona. En esta fórmula, sustituye 1 por $x_1$ , 5 por $y_1$ , 5 por $x_2$ , y 2 por $y_2$ ya que (1,5) y (5,2) son los dos puntos involucrados.

$D &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\\D &= \sqrt{(5-1)^2+(2-5)^2}\\\D &= \sqrt{(4)^2+(-3)^2}\\\D &= \sqrt{16+9}\\\D &= \sqrt{25}\\\D &= 5$

Así que, sin importar de qué manera resuelvas este problema, verás que la distancia entre (1,5) y (5,2) en una cuadrícula de coordinación es de 5 unidades.

Observa que la fórmula de la distancia te ayuda a eliminar la necesidad de graficar la línea y contar todas las unidades. Podemos usar la fórmula para resolver el problema matemáticamente.

Ahora, practiquemos usando la fórmula de la distancia para resolver problemas. Es importante acostumbrarse a aplicar la fórmula de la distancia a diversos tipos de problemas y situaciones. Recuerda que los puntos pueden considerarse como $(x_1, y_1)$ o $(x_2, y_2)$ , pero es crucial que mantengas esta elección a través de todo el problema. El error más común que cometen los estudiantes al usar la fórmula de la distancia es sustituir de manera incorrecta. Mantén tus variables constantes y usa tu álgebra cuidadosamente y estarás bien.

Usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los puntos (-3,2) y (4,-5) en una cuadrícula de coordinación.

Ya que conocemos la fórmula de la distancia, ni siquiera tenemos que dibujar esto en una cuadrícula de coordinación. Todo lo que tienes que hacer es sustituir los valores en el problema en la fórmula de la distancia y resolver. En esta fórmula, sustituye -3 por $x_1$ , 2 por $y_1$ , 4 por $x_2$ , y -5 por $y_2$ ya que (-3,.2) y (4,-5) son los dos puntos involucrados.

$D &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\\D &= \sqrt{(4-(-3))^2+((-5)-2)^2}\\\D &= \sqrt{(7)^2+(-7)^2}\\\D &= \sqrt{49+49}\\\D &= \sqrt{98}$

Puedes dejar la respuesta en la forma radical como se muestra o usar tu calculadora para encontrar el valor aproximado de 9.899 unidades.

Observa que la respuesta no es un Triple Pitagórico, por lo que no es posible encontrar una raíz cuadrada perfecta. Cuando pasa esto, puedes dejar la respuesta en la forma radical o encontrar una respuesta aproximada usando la calculadora y redondeando.

Ejemplo A

Usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los puntos (2,3) y (7,15) en una cuadrícula de coordinación.

Solución: La distancia entre los dos puntos en el problema es 13 unidades.

Ejemplo B

¿Cuál es la distancia entre (6, -1) y (6, 3)?

Solución: La distancia entre los dos puntos es 4 unidades.

Ejemplo C

¿Cuál es la distancia entre (1, 5) y (6, 4)?

Solución: La distancia entre los dos puntos es 5,1 unidades.

Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.

Para resolver este problema, primero necesitarás las coordinadas de cada punto en la cuadrícula. Esta es la distancia que estás midiendo. En este problema, medirás desde el punto $A$ al punto $B$ .

Fuente de Agua $= A (8, 5)$

Centro del Huerto $= B (1, 0)$

Ahora sustituye estos valores en la fórmula de la distancia y resuelve.

$D &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\\D &= \sqrt{(1-8)^2+(5-0)^2}\\\D &= \sqrt{7^2+5^2}\\\D &= \sqrt{74}\\\D &= 8.6 \ feet$

Los estudiantes necesitarán una manguera de al menos 9 pies de largo.

Vocabulario

El Teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=c^2$ - una forma para encontrar uno de los dos catetos o la hipotenusa de un triángulo rectángulo con los valores de los otros dos.

La Fórmula de la Distancia: Una formula diseñada para medir la distancia entre puntos en una cuadrícula de coordinación dibujando las líneas y contando las unidades, $D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

El siguiente mapa muestra la ubicación de varios puntos de la ciudad de Helene.

¿Cuál es la distancia entre la biblioteca y la escuela en la ciudad de Helene?

Solución

Todo lo que tienes que hacer en este problema es identificar las coordinadas de la escuela (-1,9) y de la biblioteca (5,1) en el mapa y sustituirlas dentro de la fórmula de la distancia. Luego, resuelve.

$D &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\\D &= \sqrt{(5-(-1))^2+(1-9)^2}\\\D &= \sqrt{(6)^2+(-8)^2}\\\D &= \sqrt{36+64}\\\D &= \sqrt{100}\\\D &= 10$

Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos es 10 unidades. Puedes ver en la escala que una unidad equivale a una milla, así que la distancia real es 10 millas.

Revisión en Video

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The Distance Formula

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los siguientes pares de puntos. Puedes redondear al décimo más cercano cuando sea necesario.

¿Cuál es la distancia entre (3, 6) y (-1, 3)?
¿Cuál es la distancia entre (-2,-2) y (10, 3)?
¿Cuál es la distancia entre (1,9) y (9,1)?
¿Cuál es la distancia entre (-5,-5) y (-2,-1)?
¿Cuál es la distancia entre (2, 12) y (3,7)?
¿Cuál es la distancia entre (2, 2) y (8, 2)?
¿Cuál es la distancia entre (-3, 4) y (2, 0)?
¿Cuál es la distancia entre (3, 4) y (3, -4)?
¿Cuál es la distancia entre (-4, -3) y (1, -1)?
¿Cuál es la distancia entre (-6, 2) y (-3, 1)?

Instrucciones: Responde cada una de las siguientes preguntas.

11. El mapa siguiente muestra la ciudad de Bryan. ¿Cuál es la distancia entre la tienda de mascotas y la alcaldía?

El mapa siguiente muestra la ciudad de Bryan. ¿Cuál es la distancia entre la tienda de mascotas y el juzgado?
El mapa siguiente muestra la ciudad de Bryan. ¿Cuál es la distancia entre el juzgado y la biblioteca?
El mapa siguiente muestra la ciudad de Bryan. ¿Cuál es la distancia entre la biblioteca y la alcaldía?
El mapa siguiente muestra la ciudad de Bryan. ¿Cuál es la distancia entre la tienda de mascotas y la biblioteca?

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