Triángulos 45 - 45 - 90

En esta sección del capítulo, identificarás los triángulos rectángulos especiales y reconocerás que un triángulo de $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ es un triángulo isósceles y que la longitud de la hipotenusa es el producto de las longitudes de los catetos y $\sqrt{2}$ .

¿Alguna vez has hecho los planos de un jardín de flores en donde necesites calcular la longitud de una diagonal? Es un tipo especial de proyecto, así que mira este dilema.

La clase de la señorita Kino decidió hacer un proyecto de servicio comunitario que todos pudieran disfrutar. Ellos decidieron crear un jardín de meditación, que sería un jardín de piedras.

Chas y Juanita se hicieron cargo del proyecto. Dibujaron un bosquejo del jardín de piedras y el resto de la clase lo amó tanto que inmediatamente acordaron usar el bosquejo que el par había creado. Aquí está su bosquejo.

“Pongamos un camino diagonal en él”, sugirió Frankie al mirar el bosquejo.

“Es una idea genial, ¿Qué tan largo debería ser el camino?”, preguntó Chas.

La clase quiere añadir un camino diagonal. Si lo hacen de una esquina a la otra, ¿Qué tan largo será el camino?

Esta sección te enseñará todo lo que necesitas saber para resolver este problema.

Orientación

Hay unos pocos tipos de triángulos rectángulos que son particularmente importantes de estudiar. Sus lados siempre están en la misma proporción y es crucial estudiar los triángulos $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ y $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ y comprender la relación entre los lados. Te ahorrará tiempo y energía mientras trabajas en problemas matemáticos simples y complicados.

Comencemos aprendiendo acerca del $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ .

Primero, piensa a qué se refiere $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ Aquellos valores se refieren a las medidas de los ángulos en el triángulo rectángulo. Podemos ver que hay un ángulo de 90 grados y que los otros dos ángulos tienen la misma medida. Este triángulo en particular también es isósceles . Un triángulo isósceles tiene dos lados con la misma longitud. Un triángulo rectángulo isósceles siempre tendrá las mismas medidas de ángulos: $45^\circ,45^\circ$ , y $90^\circ$ y siempre tendrán dos lados con la misma longitud. Estas características lo hace un triángulo rectángulo especial.

Ya que estos ángulos siempre serán los mismos, los lados siempre estarán en proporción. Para encontrar la relación entre los lados, usa el Teorema de Pitágoras.

Mira esta situación.

El triángulo rectángulo isósceles siguiente tiene catetos que miden un centímetro. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

Como el problema dice, puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa. Ya que cada cateto mide 1 centímetro $a$ y $b$ son iguales a 1 y podrás resolver para encontrar $c$ .

$a^2+b^2 &=c^2\\\(1)^2+(1)^2 &= c^2\\\1+1 &= c^2\\\2 &= c^2\\\\sqrt{2} &= \sqrt{c^2}\\\\sqrt{2} &= c$

Podemos mirar esto y comprender que también hay un 1 en frente de la raíz cuadrada de dos. Esto muestra que la relación entre la longitud de un lado y la longitud de una de la hipotenusa siempre será la misma La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles siempre igualará el producto de un cateto y $\sqrt{2}$ .

Anota en tu cuaderno bajo los triángulos rectángulos especiales $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ Encuentra cada hipotenusa.

Un triángulo con lados de longitud .

Ejemplo A

Un triángulo con lados de longitud 9.

Solución: $9 \sqrt{2}$

Ejemplo B

Un triángulo con lados de longitud 15.

Solución: $15 \sqrt{2}$

Ejemplo C

Un triángulo con lados de longitud $3 \sqrt{2}$

Solución: $6$

Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.

El primer paso en un problema de esta naturaleza es añadir la información importante al bosquejo. Ya que el problema te pide encontrar la longitud de un camino desde una esquina a la otra, deberías dibujar ese camino.

Cuando lo hayas hecho, puedes observar que esta es una pregunta sobre triángulos. Ya que ambos catetos del triángulo tienen la misma medida (10 pies), este es un triángulo rectángulo isósceles. Los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles son $45^\circ,45^\circ$ , y $90^\circ$ .

En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa siempre igualará el producto de la longitud de un cateto y $\sqrt{2}$ . Por lo tanto, la longitud del camino será el producto de 10 y $\sqrt{2}$ , o $10 \sqrt{2} \ feet$ . Este valor es, aproximadamente, igual a 14,14 pies.

Vocabulario

Triángulo Isósceles: Un triángulo con dos lados del mismo largo.

Triángulo 45/45/90: Un triángulo rectángulo isósceles especial.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

¿Cuál es la longitud de la hipotenusa en el siguiente triángulo?

Solución

Ya que la longitud de la hipotenusa es el producto de un cateto y $\sqrt{2}$ , puedes calcular fácilmente esta longitud. Es fácil porque sabemos que con cualquier triángulo de 45/45/90 grados, la hipotenusa es el producto de uno de los catetos y la raíz cuadrada de 2.

Un cateto tiene 3 pies, así que la hipotenusa será $3 \sqrt{2}$ , o alrededor de 4,24 pies.

Para obtener la respuesta, tomamos la raíz cuadrada de dos en la calculadora, 1,414 y luego multiplicarlo por 3.

$3 \times 1.414 = 4.242$

Lo aproximamos para obtener la respuesta.

Revisión en Video

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Special Right Triangles

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Encuentra la hipotenusa faltante en cada triángulo $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ .

Longitud de cada cateto = 5
Longitud de cada cateto = 4
Longitud de cada cateto = 6
Longitud de cada cateto = 3
Longitud de cada cateto = 7

Instrucciones: Ahora usa una calculadora para encontrar los valores aproximados de cada hipotenusa. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

$5 \sqrt{2}$
$4 \sqrt{2}$
$6 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{2}$
$7 \sqrt{2}$
$8 \sqrt{2}$
$10 \sqrt{2}$
$13 \sqrt{2}$
$21\sqrt{2}$
$17 \sqrt{2}$

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