Triángulos 30 - 60 - 90

En esta sección del capítulo, aprenderás sobre las relaciones de triángulos especiales y reconocerás que un triángulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ es la mitad de un triángulo equilátero, que la longitud de la hipotenusa es el doble que la longitud del cateto más corto y que el cateto más largo es el producto del cateto más corto y $\sqrt{3}$ .

¿Alguna vez has intentado medir un mástil? ¿Y su sombra? Observa este dilema.

El siguiente diagrama muestra la sombra que produce un mástil a cierta hora del día. Si la altura del mástil es $7 \sqrt{3} \ feet$ , ¿cuál es la longitud de la hipotenusa del triángulo formado por el mástil y su sombra?

Esta sección te mostrara cómo trabajar con relaciones especiales de triángulos y resolver este dilema.

Orientación

Un tipo especial de triángulo tiene ángulos que miden $30^\circ,60^\circ$ , y $90^\circ$ . Estos triángulos son exactamente la mitad de un triángulo equilátero.

¿Recuerdas lo que es un triángulo equilátero?

Un triángulo equilátero es un triángulo con ángulos de medidas iguales.

Los ángulos de medidas iguales de un triángulo equilátero son $60^\circ-60^\circ-60^\circ$ . dividimos un triángulo equilátero por la mitad, tenemos un triángulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ .

Puedes decir a partir del diagrama que el triángulo original era equilátero, el cateto pequeño será la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Mira esta situación.

Encuentra la longitud del cateto faltante en el siguiente triángulo. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar tu respuesta.

Tal como hiciste con los triángulos $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ , usa el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado que falta. En este diagrama ya tienes dos medidas. La hipotenusa $(c)$ es 2 pies y el cateto más pequeño $(a)$ es 1 pie. Encuentra la longitud del cateto faltante $(b)$ .

$a^2+b^2 &= c^2\\\(1)^2+b^2 &= (2)^2\\\1+b^2 &=4\\\1+b^2-1 &= 4-1\\\b^2 &= 3\\\\sqrt{b^2} &= \sqrt{3}\\\b &= \sqrt{3}$

Puedes dejar la respuesta en la forma radical como se muestra o usar tu calculadora para encontrar el valor aproximado de 1,732 pies.

Así, ya que hay una proporción constante entre los lados del triángulo $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ , también hay una entre los lados del triángulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ La hipotenusa siempre será el doble que la longitud del cateto más corto y el cateto más grande siempre es el producto del cateto más corto y $\sqrt{3}$ .

Escribe esta información bajo los triángulos rectángulos de 30/60/90 grados.

También puedes usar esta información cuando resuelves el problema. Mira esto.

¿Cuál es la longitud de un cateto en el siguiente triángulo?

El primer paso en este problema es identificar el tipo de triángulo rectángulo representado. Los ángulos muestran que este es un triángulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ .Por lo tanto, el cateto más grande es el producto de un cateto y $\sqrt{3}$ . La hipotenusa es el doble que la longitud del cateto más corto. El cateto más corto es de 4 metros.

La hipotenusa tendrá $4 \times 2$ , u 8 metros de largo.

El problema se resuelve usando lo que has aprendido acerca de los triángulos rectángulos especiales.

Ejemplo A

¿Cuál es la longitud de la hipotenusa si el cateto más corto es 6 unidades?

Solución: 12 unidades

Ejemplo B

¿Cuál es la longitud del cateto más grande si el cateto más corto es 5 unidades?

Solución: $5 \sqrt{3}$

Ejemplo C

Si la longitud de la hipotenusa es 14, ¿Cuál es la longitud del cateto más grande?

Solución: $7 \sqrt{3}$

Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.

La redacción en este problema es complicada, pero solo necesitas notar unas pocas cosas. Puedes decir a partir del dibujo que este triángulo tiene ángulos de $30^\circ,60^\circ$ , y $90^\circ$ . El mástil es el cateto más grande en el triángulo, así que usa la proporción en los diagramas anteriores para encontrar la longitud de la hipotenusa.

El cateto más grande es el producto del cateto más corto y $\sqrt{3}$ . Por lo tanto, la longitud del cateto más corto será 7 pies.

La hipotenusa en un triángulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ siempre será el doble de la longitud del cateto menor, por tanto será igual a $7 \times 2$ , o 14 pies.

La respuesta es 14.

Vocabulario

Triángulo Equilátero: Un triángulo con los tres ángulos de $60^\circ$ .

Triángulo 30 - 60 - 90: Un triángulo rectángulo especial que se crea cuando un triángulo equilátero se divide a la mitad.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

¿Cuál es la longitud del cateto faltante en el triángulo rectángulo de grado 30/60/90 con un cateto corto de 5 y una hipotenusa de 10?

Solución

Ya que la longitud del cateto más grande es el producto del cateto más corto y $\sqrt{3}$ , puedes calcular fácilmente esta longitud. El cateto corto tiene 5 pies, así que la hipotenusa será $5 \sqrt{3}$ , o alrededor de 8,66 pies.

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Introduction to 30-60-90 Triangles

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Encuentra la longitud faltante del cateto más largo en cada triángulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ .

cateto corto = 3
cateto corto = 4
cateto corto = 2
cateto corto = 8
cateto corto = 10

Instrucciones: Ahora usa una calculadora para calcular los valores aproximados de cada cateto más grande. Puedes redondear tu respuesta cuando sea necesario.

$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$2 \sqrt{3}$
$8 \sqrt{3}$
$10 \sqrt{3}$

Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver cada problema.

Jania tenía una cartulina cortada en forma de un triángulo equilátero. Ella quiere cortarlo en dos triángulos congruentes más pequeños. ¿Cuál será la medida del ángulo de los triángulos resultantes?
Madeleine tiene un póster con la forma de un cuadrado. Quiere cortar el póster en dos triángulos congruentes sin que quede ningún pedazo sobrante. ¿Cuáles serán las medidas de los ángulos de los triángulos resultantes?
Una ventana cuadrada tiene un diagonal de $2 \sqrt{2} \ feet$ . ¿Cuál es la longitud de su lado más corto?
Un cubo de queso cuadrado se corta en dos porciones triangulares congruentes. Si el lado más corto del cubo original tenía 9 pulgadas, ¿Cuál es la longitud del corte diagonal?
Jerry quiere encontrar el área de un triángulo equilátero, pero solo sabe que la longitud del lado más corto es de 4 centímetros. ¿Cuál es la altura del triángulo de Jerry?

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