Comprensión del Seno
En esta sección del capítulo, aprenderás a identificar las razones trigonométricas, específicamente la razón del seno y a usarla para la resolución de problemas.
¿Alguna vez has construido una rampa? Observa este dilema.
La clase del Sr. Watson decidió hacer un servicio comunitario y reparar la rampa que estaba fuera de la bodega. La capa de pintura fresca brillaba a la luz del sol y el Sr. Watson cruzó el césped con todos sus estudiantes para mirar la rampa que estaba fuera de la puerta de la bodega.
“¿Siempre ha estado ahí?”, preguntó Dan.
“No, de hecho, recién la trajeron ayer”, explicó el Sr. Watson.
“Bueno, si es nueva ¿entonces por qué tenemos que arreglarla?”, preguntó Emily.
“Porque no se ajusta a la perfección bajo la puerta”.
Así era, los estudiantes miraron y se dieron cuenta de que la parte trasera de la rampa era muy alta y los estudiantes necesitarían arreglarla para que quepa bajo la puerta. El arreglo de esta rampa ayudaría a todos porque haría más fácil empujar o tirar el carrito con el equipamiento atlético dentro y fuera de la cancha. Ya que el equipamiento era usado por los equipos infantiles de la localidad además de los equipos de la escuela, esta era una buena manera de ayudar a la comunidad.
“¿Qué necesitamos hacer?”, preguntó Dan.
Observaron la rampa. El Sr. Watson dibujó el siguiente bosquejo.
“Eso no ayuda mucho”, comentó Dan.
“Sí, lo hace”, dijo Emily.
¿Quién está en lo correcto? ¿Es posible calcular la longitud del lado faltante usando el diagrama del Sr. Watson? ¿Qué tipo de matemáticas necesitas? Esta sección te mostrará cómo usar las razones trigonométricas para resolver problemas como este.
Orientación
Una forma de analizar los triángulos rectángulos es a través de las razones trigonométricas .
Hay tres razones trigonométricas y nos ayudan a entender las proporciones entre los lados y los ángulos.
Observemos la primera razón trigonométrica.
Se llama seno .
Un seno se refiere a un ángulo particular en un triángulo rectángulo. El seno de un ángulo es la razón de la longitud del cateto opuesto al ángulo que estamos estudiando con el largo de la hipotenusa.
Recuerda que en una razón, anotas el primer elemento en la parte de arriba de la fracción y el segundo en la parte de abajo. Por lo tanto, la razón del seno sería
.
Veamos cómo podemos encontrar el seno de un ángulo en particular.
¿Veamos cómo podemos encontrar el seno de un ángulo en particular
y
en el siguiente triángulo?
Para encontrar el seno, todo lo que tienes que hacer es construir la razón cuidadosamente.
Observa que una vez que tengamos la razón, podemos dividir el numerador por el denominador para convertirlo en un decimal. El decimal es la respuesta que buscamos en relación a la razón trigonométrica.
El seno de
es 0,6 y el seno de 0.6
es 0,8.
Como puedes ver, el lado puesto a un ángulo es al que el ángulo se abre. Un lado opuesto nunca será una de las líneas que forman el ángulo.
Usa este triángulo para responder las siguientes preguntas. Puedes aproximar al céntimo más cercano.
La longitud de la hipotenusa es 13.
Ejemplo A
¿Cuál es el seno de
?
Solución:
Ejemplo B
¿Cuál es el seno de
?
Solución:
Ejemplo C
¿Cuál es la razón del seno?
Solución: La longitud del lado opuesto al ángulo sobre la hipotenusa.
Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.
Sobre este problema, Emily está en lo correcto. Puedes usar el diagrama para resolver el problema. Para hacerlo, necesitarás usar razones trigonométricas. De hecho, necesitarás la razón del seno para calcular la altura de la rampa.
Vocabulario
- Razones Trigonométricas
- Razones que nos ayudan a entender las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos.
- Seno
- La razón del lado opuesto a la hipotenusa.
Práctica Guiada
Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.
Encuentra el seno de cada ángulo agudo en el diagrama.
Solución
Primero, necesitamos identificar los ángulos agudos. Sabemos que un ángulo agudo tiene menos de
, así que en este triángulo,
y
son los ángulos agudos. Encontraremos el seno de cada uno de estos ángulos.
Sabemos que el seno es el opuesto sobre la hipotenusa. Aquí están las razones del seno.
Revisión en Video
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Khan Academy Basic Trigonometry
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Práctica
Instrucciones: Resuelve cada problema.
-
¿Cuál es el seno de
?
-
¿Cuál es el seno de
?
-
¿Puedes encontrar el seno de
?
-
¿Cuál es el seno de
?
-
¿Cuál es el seno de
?
-
¿Cuál es el seno de
?
-
¿Cuál es el seno de
?
- ¿Cuál es la longitud del lado faltante aproximado al centésimo más cercan?
Instrucciones: Responde cada pregunta: verdadero o falso.
- 9. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado faltante en el triángulo rectángulo.
- Un triángulo rectángulo debe tener un ángulo de 90 grados.
- La razón del seno es la hipotenusa sobre el lado opuesto.
- Si solo sabes la longitud del lado, entonces puedes buscar las longitudes de todos los lados.
- La razón del seno tiene que ver con la longitud de los lados.
- La hipotenusa siempre es la opuesta al ángulo recto.
- Debes tener la longitud de los tres lados para calcular la razón del seno.
