Determinación y Uso de la Razón del Seno

En esta sección del capítulo, determinarás y usarás la razón del seno.

La clase del Sr. Watson decidió hacer un servicio comunitario y reparar la rampa que estaba fuera de la bodega. La capa de pintura fresca brillaba a la luz del sol y el Sr. Watson cruzó el césped con todos sus estudiantes para mirar la rampa que estaba fuera de la puerta de la bodega.

“¿Siempre ha estado ahí?” Preguntó Dan.

“No, de hecho, recién la trajeron ayer", explicó el Sr. Watson.

“Bueno, si es nueva ¿entonces por qué tenemos que arreglarla?”, Preguntó Emily.

“Porque no se ajusta a la perfección bajo la puerta.”

Así era, los estudiantes miraron y se dieron cuenta de que la parte trasera de la rampa era muy alta y los estudiantes necesitarían arreglarla para que quepa bajo la puerta. El arreglo de esta rampa ayudaría a todos porque haría más fácil empujar o tirar el carrito con el equipamiento atlético dentro y fuera de la cancha. Ya que el equipamiento era usado por los equipos infantiles de la localidad además de los equipos de la escuela, esta era una buena manera de ayudar a la comunidad.

“¿Qué necesitamos hacer?”, Preguntó Dan.

Observaron la rampa. El Sr. Watson dibujó el siguiente bosquejo.

“Eso no ayuda mucho”, comentó Dan.

“Sí lo es”, dijo Emily.

Esta Sección se trata de usar la razón del seno. Al final de la Sección, sabrás cómo calcular la altura de la rampa.

Orientación

Consideremos las razones trigonométricas.

Una razón trigonométrica de un ángulo específico será constante sin importar qué tan grande o pequeño sea el triángulo. La idea es que los lados siempre estarán en proporción con los demás. Así que, si necesitas la medida de un ángulo (y, por lo tanto, puede identificar el valor de una razón trigonométrica) y el valor de un lado, puedes usar la trigonometría para calcular las longitudes de los otros lados.

El truco es usar buenas técnicas algebraicas y asegurarte de que cada vez que establezcas una razón, estás usando los valores y las variables de la forma correcta.

Puedes encontrar las razones trigonométricas usando tu calculadora.

Comprendes las razones trigonométricas y hemos tenido la oportunidad de practicar al leer valores específicos de una tabla.

Puedes encontrar la razón de cualquier valor trigonométrico usando tu calculadora. Busca los botones de seno, coseno y tangente en la calculadora. Ten en cuenta que, generalmente, el seno se abrevia como sin , el coseno como cos , y la tangente como tan.

Presiona la tecla de la razón que quieres encontrar e ingresa el ángulo en cuestión. Si presionas enter, o calcular, la calculadora te mostrará los valores de esa razón específica.

Veamos cómo encontrar la razón del seno usando una calculadora.

$\text{sine} \ 47^{\circ}$

Puedes encontrar el valor de cada razón tu calculadora. Cuando te enfrentes a valores con decimales largos, generalmente es mejor redondear los números al milésimo más cercano. Te dará un valor razonablemente apropiado, que no será muy largo para trabajar con él.

El seno de $47^{\circ}$ es 0.73135370161917..., o alrededor de 0.731.

Observa que debido a que estamos usando una calculadora, no necesitamos saber la longitud de los lados. La calculadora calcula las razones trigonométricas basada en proporciones y el ángulo dado. ¡Calcular el seno, el coseno y la tangente usando una calculadores es tan fácil como apretar un botón!

Ahora, usemos la razón del seno para resolver problemas.

La razón del seno es $\frac{opposite}{hypotenuse}$ . Si conoces el valor del seno del ángulo en cuestión y la longitud de la hipotenusa, puedes encontrar la medida del lado opuesto. Mira la siguiente fórmula algebraica.

$\text{sine} \angle X&=\frac{opposite}{hypotenuse}\\\\text{sine} \angle X \times hypotenuse&=\frac{opposite}{hypotenuse} \times hypotenuse\\\\text{sine} \angle X \times hypotenuse&=opposite$

Si multiplicas el seno de cualquier ángulo $X$ y la longitud de la hipotenusa, el resultado es la longitud del lado opuesto.

Escribe este enunciado en tu cuaderno. Asegúrate de escribir que está conectado con la razón del seno.

Ahora, mira esta situación.

¿Cuál es la longitud del lado $AC$ en el siguiente triángulo?

Usa la siguiente ecuación para encontrar la longitud del lado opuesto al ángulo $B$ .

Observa que vamos a multiplicar el seno del ángulo $B$ por la longitud de la hipotenusa para encontrar el otro lado.

Por lo tanto, primero tendrás que encontrar el seno del ángulo $B$ .

Luego, multiplicas eso por la longitud de la hipotenusa.

Observa que encontramos la longitud del lado opuesto con el seno.

$\text{sine} \angle B \times hypotenuse&=opposite\\\\text{sine} 14.5 \times 5&=opposite\\\0.250 \times 5&=opposite\\\1.25 &=opposite$

La longitud del lado $AC$ es 1,25 unidades.

Usa una calculadora para determinar cada seno. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

Ejemplo A

$\text{Sine} \ 45^{\circ}$

Solución: $.71$

Ejemplo B

$\text{Sine} \ 83^{\circ}$

Solución: $.99$

Ejemplo C

$\text{Sine} \ 27^{\circ}$

Solución: $.45$

Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.

Ahora aplica la razón del seno y calcula la altura de la rampa.

Primero, tomamos las medidas y usamos la razón del seno.

$\text{Sine} \ 15^{\circ} = \frac{Opposite}{Hypotenuse}$

El opuesto en este ejemplo es el lado faltante. Usamos $x$ para representar esta medida desconocida. Esta es la medida que estamos buscando.

$\text{Sine} \ 15^{\circ} = \frac{opposite}{hypotenuse}=\frac{x}{4 \ ft}$

Ahora, podemos multiplicar ambos lados por 4 para encontrar la medida.

$4 \ \text{Sine} \ 15 &= x\\\2.6 & = x$

La altura de la rampa es 2,6 pies

Vocabulario

Seno: Una razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un ángulo dado.

Coseno: Una razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un ángulo dado.

Tangente: Una razón entre el lado opuesto y el adyacente de un ángulo dado.

Razones Trigonométricas: Usadas para encontrar las longitudes faltantes de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen las medidas de los ángulos.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

Encuentra la longitud de la hipotenusa.

Solución

Primero, aquí está la razón que vamos a usar.

$\text{Sine} \ 45^{\circ} = \frac{Opposite}{Hypotenuse}$

La hipotenusa en este ejemplo es el lado faltante. Usamos $x$ para representar esta medida desconocida. Esta es la medida que estamos buscando.

$\text{Sine} \ 45^{\circ} = \frac{opposite}{hypotenuse}=\frac{4}{x}$

Ahora podemos escribir la siguiente ecuación.

$x\text{Sine} \ 45^{\circ} = 4$

Luego, encontramos el seno de 45 = 0.8 = 0.71

$.71x &= 4 \\\x &= 5.6$

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

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Khan Academy Basic Trigonometry II

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Usa una calculadora para encontrar cada seno. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

$\text{Sine} \ 55^{\circ}$
$\text{Sine} \ 25^{\circ}$
$\text{Sine} \ 11^{\circ}$
$\text{Sine} \ 60^{\circ}$
$\text{Sine} \ 75^{\circ}$
$\text{Sine} \ 12^{\circ}$
$\text{Sine} \ 29^{\circ}$
$\text{Sine} \ 15^{\circ}$

Instrucciones: Usa la información dada y lo que has aprendido acerca de las razones trigonométricas para calcular la medida de cada lado faltante. Puedes redondear cuando sea necesario.

Ángulo simple $D \ 2^{\circ}$ , hipotenusa – 12, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?
Ángulo simple $E \ 65^{\circ}$ , hipotenusa – 8, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?
Ángulo simple $F \ 45^{\circ}$ , hipotenusa – 2, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?
Ángulo simple $D \ 25^{\circ}$ , hipotenusa – 10, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?
Ángulo simple $D \ 80^{\circ}$ , hipotenusa – 8, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?
Ángulo simple $D \ 45^{\circ}$ , hipotenusa – 5, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?
Ángulo simple $D \ 40^{\circ}$ , hipotenusa – 18, ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?

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