Determinación y Uso de la Razón del Coseno

En esta sección del capítulo, determinarás y usarás la razón del coseno.

¿Sabes cómo usar cosenos para la resolución de problemas? Observa este dilema.

Un triángulo tiene una hipotenusa de 4,5 pulgadas. El ángulo A es igual a 40 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

Para calcular esto, necesitarás saber cómo usar las medidas de los ángulos y los cosenos. Aprenderás como cumplir con esta tarea en esta Sección.

Orientación

Consideremos las razones trigonométricas.

Una razón trigonométrica de un ángulo específico será constante sin importar qué tan grande o pequeño sea el triángulo. La idea es que los lados siempre estarán en proporción con los demás. Así que, si necesitas la medida de un ángulo (y, por lo tanto, puede identificar el valor de una razón trigonométrica) y el valor de un lado, puedes usar la trigonometría para calcular las longitudes de los otros lados.

El truco es usar buenas técnicas algebraicas y asegurarte de que cada vez que establezcas una razón, estás usando los valores y las variables de la forma correcta.

Puedes encontrar las razones trigonométricas usando tu calculadora.

Comprendes las razones trigonométricas y hemos tenido la oportunidad de practicar al leer valores específicos de una tabla.

Puedes encontrar la razón de cualquier valor trigonométrico usando tu calculadora. Busca los botones de seno, coseno y tangente en la calculadora. Ten en cuenta que, generalmente, el seno se abrevia como sin , el coseno como cos , y la tangente como tan.

Presiona la tecla de la razón que quieres encontrar e ingresa el ángulo en cuestión. Si presionas enter, o calcular, la calculadora te mostrará los valores de esa razón específica.

Veamos cómo encontrar la razón del coseno usando una calculadora.

$\text{cosine} \ 23^{\circ}$

Puedes encontrar el valor de cada razón tu calculadora. Cuando te enfrentes a valores con decimales largos, generalmente es mejor redondear los números al milésimo más cercano. Te dará un valor razonablemente apropiado, que no será muy largo para trabajar con él.

El coseno de $23^{\circ}$ es 0.92050485345244..., o alrededor de 0.921.

Ahora que trabajamos con cosenos, usaremos la información dada para encontrar la longitud del lado adyacente de un triángulo rectángulo.

Recuerda que el lado adyacente es el lado junto al ángulo con el que estamos trabajando. Como recordarás, la razón del coseno es $\frac{adjacent}{hypotenuse}$ .

Si conoces el valor del coseno del ángulo en cuestión y la longitud de la hipotenusa, puedes encontrar la medida del lado adyacente.

Mira la siguiente situación algebraica.

$\text{cosine} \angle X&=\frac{adjacent}{hypotenuse}\\\\text{cosine} \angle X \times hypotenuse&=\frac{adjacent}{hypotenuse} \times hypotenuse\\\\text{cosine} \angle X \times hypotenuse&=adjacent$

multiplicas el coseno de cualquier ángulo $X$ y la longitud de la hipotenusa, el resultado es la longitud del lado adyacente.

Escribe este enunciado en tu cuaderno. Asegúrate de incluir que se trata de cosenos.

Mira esta situación.

¿Cuál es la longitud del lado $BC$ en el siguiente triángulo?

Usa la siguiente ecuación para encontrar la longitud del lado adyacente al ángulo $B$ . Observa que para encontrar la longitud del lado adyacente, primero necesitarás el coseno del ángulo $B$ . Luego, puedes multiplicar esa respuesta por la longitud de la hipotenusa. Esto de dará la medida del lado junto al ángulo o adyacente a este.

$\text{cosine} \angle B \times hypotenuse&=adjacent\\\\text{cosine} 14.5 \times 5&=adjacent\\\0.968 \times 5 &=adjacent\\\4.84 &=adjacent$

La longitud del lado $BC$ es 4,84 unidades.

Usa una calculadora para encontrar cada coseno. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

Ejemplo A

Coseno $45^{\circ}$

Solución: $.71$

Ejemplo B

Coseno $62^{\circ}$

Solución: $.47$

Ejemplo C

Coseno $22^{\circ}$

Solución: $.93$

Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.

Para trabajar con este dilema, podemos usar la siguiente ecuación y resolver.

$\text{cosine} \angle A \times hypotenuse&=adjacent\\\\text{cosine} 40 \times 4.5&=adjacent\\\.77 \times 4.5 &=adjacent\\\3.46 &=adjacent$

La longitud faltante del lado adyacente es 3,46 pulgadas.

Vocabulario

Seno: Una razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un ángulo dado.

Coseno: Una razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un ángulo dado.

Tangente: Una razón entre el lado opuesto y el adyacente de un ángulo dado.

Razones Trigonométricas: Usadas para encontrar las longitudes faltantes de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen las medidas de los ángulos.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.

Un triángulo tiene una hipotenusa de 7,5 pulgadas. El ángulo A es igual a 55 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

Solución

Para hacer esto, podemos usar la siguiente ecuación.

$\text{cosine} \angle A \times hypotenuse&=adjacent\\\\text{cosine} 55 \times 7.5&=adjacent\\\.57 \times 7.5 &=adjacent\\\4.27 &=adjacent$

La longitud del lado adyacente es 4,27 pulgadas.

Revisión en Video

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Khan Academy Trigonometry Word Problems

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Usa una calculadora para encontrar cada coseno. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

1. $\text{Cosine} \ 33^{\circ}$

2. $\text{Cosine} \ 29^{\circ}$

3. $\text{Cosine} \ 73^{\circ}$

4. $\text{Cosine} \ 88^{\circ}$

5. $\text{Cosine} \ 50^{\circ}$

6. $\text{Cosine} \ 67^{\circ}$

7. $\text{Cosine} \ 42^{\circ}$

8. $\text{Cosine} \ 18^{\circ}$

9. $\text{Cosine} \ 9^{\circ}$

Instrucciones: Encuentra la longitud del lado adyacente.

10. Un triángulo tiene una hipotenusa de 7 pulgadas. El ángulo A es igual a 60 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

11. Un triángulo tiene una hipotenusa de 12 pulgadas. El ángulo B es igual a 45 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

12. Un triángulo tiene una hipotenusa de 8 pulgadas. El ángulo A es igual a 35 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

13. Un triángulo tiene una hipotenusa de 12 pulgadas. El ángulo A es igual a 28 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

14. Un triángulo tiene una hipotenusa de 6 pulgadas. El ángulo A es igual a 33 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

15. Un triángulo tiene una hipotenusa de 14 pulgadas. El ángulo A es igual a 72 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

16. Un triángulo tiene una hipotenusa de 11 pulgadas. El ángulo A es igual a 80 grados. Encuentra la longitud del lado adyacente.

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